第2章 有理数
2.1 有理数
第1课时 正数和负数
1 u正数和负数
u0的意义
u相反意义的量
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
1 正数和负数
知1－导
你能再举出几对日常生活中具有相反意义的量吗？
知1－讲
1.定义：像13、3.5、500、1.2这样大于0的数叫做 正数 .
像－2、－2.5、－237、－0.7这样在正数前面加上符号
“-”（负）的数叫做负数．
要点精析：
(1) 正数的实质是大于0的数，它可以含“＋”号，也可以
不含“＋”号 .
(2) 负数就是在正数前面加上“－”号 .
知1－讲
(3) 正数与负数的特征：
①不为零； ②含“＋” “－” 号 .
2. 数的特征及种类：
(1)数有带符号(＋、－)的数和不带符号的数两种呈
现形式；
(2)数包括正数、0、负数三种情况．
知1－讲
拓展：符号“＋、－”的“双重”含义：
(1)作为运算符号是加减号；
(2)作为数的性质是正负号．
3. 易错警示：表示正负数时， “＋” 可以省略不写，
而 “－” 不能省略不写．
知1－讲
例1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
＋0.005，－100， 0.333…，－4，5，0.
导引：直接根据定义判断即可．解此题的关键点是看符号.
解： 正数：＋0.005，
负数：－100，
警示：判断正负数时，不能简单地认为带“+”号的数就
是正数，带“-”号的数就是负数．
2 5
3 4
，－ ，
， , ；2 0.333 53
…
－ ，－5 4.4
知1－讲
解题关键点 特征 结论
看符号
数(0除外)前面带“＋”
号或无符号
正数
数(0除外)前面带“－”
号的数
负数
知1－讲
例2 把下列各数填入表示相应集合的大括号内：
－3，＋8 848，0， 2 016，－8.9，－155，
非正数集合：{ …};
非负数集合：{ …}.
导引：非正数指的是负数和零，非负数指的是正数和零．
1
2
－ ， 22
7
.
－ ,－ ,－ ,－ ，13, 0 8.9 1552
＋ ， ， ， ，228 849 0 2 016 7
知1－讲
1. 非正数和非负数是两个常见的数学概念，要弄清它
们的真正含义.
2. 集合中的3个点是省略号，表示集合中分别有无数个
负数和正数，填进去的只是其中的有限部分.
3. 如果集合中没有省略号，那么我们在填入数后，必
须补上省略号．
1 (中考·广州)四个数－3.14，0，1，2中为负数的
是( )
A．－3.14 B．0 C．1 D．2
知1－练
2 下列各组数中，都是正数或都是负数的是( )
A．8，4，－2 B．2，5，4，
C．－6，0.5，0 D．0，6，9
1
2
4 (中考·遵义)在0，－2，5， －0.3中，负数的
个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3 (中考·桂林)下列四个数中最大的是( )
A．－5 B．0 C．π D．3
知1－练
1
4
，
2 0的意义
知2－导
数的产生与发展
我们学过各种各样的数，那么，数是怎样产生并发
展起来的呢？
我们知道，为了表示物体的个数或者顺序，产生了
整数1, 2, 3,…;为了表示“没有”，引入了数0;有时分配、
测量的结果不是整数， 需要用分数(小数)表示;为了表示
具有相反意义的量，我们又引进了负数……总之，数是
为了满足生产和生活的需要而产生、发展起来的.
知2－讲
1. 0的意义：
(1)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点；
(2)0既表示没有，也表示有，它常用来表示某些量的基
准数；
(3)0不是最小的数，它小于任何正数，大于所有负数．
2. 易错警示：
(1)0是一个中性数，它没有性质符号，“＋0”、“－0”
都为0，不要误认为它含有“正、负”号．
(2)0有“双重”意义，它既表示“没有”，也表示“有”．
知2－讲
例3 下列结论正确的是( )
A．0既是正数，又是负数
B．海拔高度是0米表示没有高度
C．0是正数与负数的分界
D．不是正数的数一定是负数
导引：选项A中0既不是正数，也不是负数；选项B中
“海拔高度是0米”表示的是:“与海平面一样高”；
选项D中“不是正数的数”可以是负数或0.
C
本例我们采用了排除法进行解答：排除选项A、
B、D后选择C.
知2－讲
1 在－3，－5，－1，0这四个数中，与其余三个数不
同的是( )
A．－3 B．－5 C．－1 D．0
知2－练
2 下列关于“0”的叙述，正确的有( )
①0是正数与负数的分界；②0比任何负数都大；
③0只表示没有；④0常用来表示某种量的基准.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3 下列判断正确的个数是( )
①带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数；
②任意一个正数，前面加上“－”号，就是一个负数；
③大于零的数是正数；
④一个数不是正数，就是负数．
A．0 B．1 C．2 D．3
知2－练
3 相反意义的量
知3－讲
1.生活中到处都存在相反意义的量．
2.在相反意义的量中，我们把其中一个意义的量规定为
正，那么另一个量就是负．
相反意义的量的“两要素”：(1) 具有相反意义的量是
成对出现 的， 单独的一个量 不 能 称为具有相 反意义的量.
(2) 具有相反意义的量必须 是同类量，只要求具有相反意义
和数量，不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反
意义的量不止一个.
知3－讲
例4 (1)气球上升20米记作＋20米，那么下降8米
记作__________；
(2)上涨5点记作＋5点，那么－8点的实际意
义是__________．
导引：正确理解“相反意义”，找出已知量的相反意
义的量是解此类题的突破口．
－8米
下跌8点
(1)正、负数可以很直观地表示生活中的相反意义的量；
(2)相反意义的量中的两个量，哪个量为正没有硬 性规定．
警示：(2)题中答案“下跌8点”不要误写作“下跌－8
点”,而下跌－8点表示的意义是上涨8点．
知3－讲
知3－讲
例5 某公司生产的零食包装袋上印有(200±5) g的字
样，其中±5 g表示什么意思？质检局随机抽查
了5袋该产品，质量分别是198 g，206 g， 201 g，
200 g，193 g，哪些是合格的？
知3－讲
解： “+5 g”表示比 200 g 多 5 g，“-5 g”表示比 200 g 少 5 g，
即质量在(200－5) g与(200＋5) g这个范围内的产品都
是合格的 .因为 198 g，201 g，200 g 都在（200-5） g
与（200+5） g 之间，所以它们 是合格的,即合格产品
是质量为198 g，201 g，200 g的产品 ．
解答本题，先要明确产品合格的意义，弄 清它的标准
质量及最大误差各是多少，确定合格产品的质量范围；再
看 抽查的产品的质量是否在这个范围之内 ，若在范围内 ，
则为合格产品， 否则不合格 .
知3－讲
1 下列不是具有相反意义的量的是( )
A．前进5 m和后退5 m
B．节约3 t和浪费10 t
C．身高增加2 cm和体重减少2 kg
D．超过5 g和不足2 g
知3－练
2 (中考·南通)如果水位升高6 m时水位变化记作＋6
m，那么水位下降6 m时水位变化记作( )
A．－3 m B．3 m
C．6 m D．－6 m
知3－练
知3－练
3 (中考·咸宁)如图，检测4个足球，其中超过标准质
量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，
从轻重的角度看，最接近标准的是( )
判断相反意义的量的方法：
要紧扣相反意义的量 的“两要素”，先看它们是
否是同 一类量，再 看它们是否意义相反，两者缺一不
可 .
第2章 有理数
2.1 有理数
第2课时 有理数
1 u有理数及相关概念
u有理数的分类
u数的集合
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
1 有理数及相关概念
知1－导
到目前为止，我们所学过的数就可以分为以下几类:
正整数，如1, 2, 3,…；
零，即0;
负整数，如－1, －2, －3,…；
正分数，如
负分数，如
， ， 即 ， ；1 22 14.5 43 7 2
…
－ ，－ ，－ 即－ ， .1 2 32 0.32 7 10
…
知1－讲
1. 整数和分数：正整数、0、负整数统称为整数．
正分数、负分数统称为分数．
2. 定义：整数和分数统称有理数．
3. 数的认知过程：
自然数 非负有理数
有理数．
引入分数 引入负有理数
知1－讲
4. “有理数”的英文名rational number中的单词rational
应看成ratio(比、比率)的形容词形式.因此，rational
number应该理解为“比率数”，即可以表示为两个整
数之商(比率)的数.在学习了有理数的除法(第2. 10节)
之后我们可以看到，这样的解释准确地描述了有理
数的本质.
知1－讲
5. 易错警示：
(1) 0是有理数，也是整数，也是最小的自然数．
(2)奇数、偶数也扩充到了负数，如－1，－3是负
奇数，－2，－4是负偶数．
(3)整数也可以看作是分母为1的分数．
(4)有限小数与无限循环小数可以化成分数，所以
是有理数．
(5)无限不循环小数，比如π，0.131 131 113…不
能化成分数，所以不是有理数．
知1－讲
例1 〈易错题〉在－3.5， 0， 0.161 616…中，
有理数共有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
导引：判别有理数要紧扣其定义，也就是看一个数是
是整数还是分数．
23
7
，
2
，
B
知1－讲
整数和分数统称为有理数 . 对于分数的识别有两个误区：
(1) 不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环的
小数就不能化成 分数；
(2) 有些数形似分数，但不是分数.
知1－讲
例2 下列说法正确的是( )
A．0是最小的偶数
B．－5是质数
C．－5是奇数
D．1是最小的奇数
C
知1－讲
(1)引入负数后，奇数、偶数的范围扩充了负奇数、
负偶数；质数、合数的范围没有变化；
(2)本例中，因为偶数含负偶数，所以A是错误的；
质数没有负质数，所以B也是错误的；奇数含负
奇数，所以D是错误的．因此选C.
1 (中考·丽水)在数0，2，－3，－1.2中，属于负整
数的是( )
A．0 B．2 C．－3 D．－1.2
知1－练
2 不属于( )
A．负数 B．分数
C．负分数 D．整数
1
2
－
4 下列关于“0”的说法正确的是( )
①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；
③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数．
A．①④ B．②③ C．①② D．①③
3 下列说法不正确的是( )
A．－0.5不是分数 B．0是整数
C. 不是整数 D．－2既是负数又是整数
知1－练
1
2
2 有理数的分类
知2－讲
有理数有两种常用的分类方式．
(1)按定义分类：
有理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
知2－讲
(2)按性质分类：
有理数
正有理数
负有理数
正整数
0
正分数
负整数
负分数
知2－讲
有理数分类的三原则：
(1)分类不重复：所分的各类应当互不包含 . 例如，
有理数分为非负有理数、零和非正有理数，就违反了
这一原则；
(2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的
全部 . 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏
掉了零 .
(3)标准要统一：必 须 按同一分类标准进行分类 .
例如，将有理数分为正有理数、零和负分数，分类标
准不统一，漏掉了负整数这一类 .
知2－讲
例3 〈易错题〉 把下列各数分别填入相应的括号里 .
－2，0，－0.314，25%，11，
非负有理数:{ …}；
整数:{ …}；
分数:{ …}；
自然数:{ …}；
非正整数:{ …}.
，－ ， ， 22 1 34 0.3 2 .7 3 5
， ， ， ， ， ，22 30 25% 11 0.3 27 5
－ ， ， ，2 0 11
－ ， ， ，－ ， ， ，22 1 30.314 25% 4 0.3 27 3 5
－ ， ，2 0
， ，0 11
导引：按照各类数的特征进行填写.
(1)非负有理数一定是有理数，它包含正有理数和0；
不要误认为是除负有理数以外的任何数；
(2)非正整数一定是整数；
(3)找各类数时，要时刻考虑它是否包括“0”．
知2－讲
1 在有理数中，不存在( )
A．既是整数，又是负数的数
B．既不是正数，也不是负数的数
C．既是正数，又是负数的数
D．既是分数，又是负数的数
知2－练
2 下列说法错误的是( )
A．负整数和负分数统称为负有理数
B．正整数、负整数和0统称为整数
C．正有理数和负有理数统称为有理数
D．0是整数，但不是分数
知2－练
3 下列关于有理数－107.987的判断中，正确的
有( )
①这个数不是分数，但是有理数；
②这个数是负数，也是分数；
③这个数与π一样，不是有理数；
④这个数是一个负小数，也是负分数．
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
知2－练
3 数的集合
知3－讲
定义：把一些数放在一起，就组成一类数的集合．
要点精析：
(1)一类数的集合必须是符合条件的所有数，不能遗漏．
(2)若一类数的集合有无数个数，则表示这类数的集合
时，除写上题中给定的有限个数之外，必须加上省
略号．
知3－讲
拓展：两个集合的交叉部分即为两个集合的公共部
分，由于两个集合不是按同一标准分类的，因此必
然有具有两个集合共同特征的数，如：正数集合和
分数集合的交叉部分为正分数．
...
...
知3－讲
例4 把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：
－18， 3.1416，0, 2012， －0.142 857，
95%.
－ ，3
5
22
7
，
正数集 负数集
3.1416，
2012， 95%，
－18，
－0.142 857，
，22
7
－ ，3
5
...
...
知3－讲
整数集 有理数集
－18，0, 2012，
－18， 3.1416，0, 2012，
－0.142 857，95%，
，22
7
－ ，3
5
知3－讲
例5 将下列各数填入如图所示的相应的圈内．
－ ，＋ ，－ ， ， ， ，－3 3 13 1 0 2 .2 4 3
正数集合 整数集合 负数集合
，2＋ ， ，3 3
2 4
，0
－ ，
－ ，
3
1
－ ，1
3
知3－讲
导引：按照集合的类别，紧扣集合的交叉部分
是各个集合共同含有的数进行解答 ．
将数填入带有交叉部分的集合中时，先将具有
相同特征的数填入交叉的部 分 ，再填单一的部分 ，
如：正数和整数的交叉部分，先填入正整数，然后
在正数集合中填除正整数外的正数，即正分数．
知3－讲
知3－练
1 下列选项中，所填的数正确的是( )
A．正数集：
B．非负数集：
C．分数集：
D．整数集：
， ， ， ，12 1 5 2
…
，－ ，－ ，0 1 2.5 …
－ ， ， ，12.5 5 3
…
，－ ，13 52
…
2 所有的正整数和负整数合在一起构成( )
A．整数集合
B．有理数集合
C．自然数集合
D．以上说法都不对
知3－练
3 已知下列各数：7，－9.25， ，－301， ，
－3.5，0，2， ，－7，1.25， ，－3， .
把它们填入相应的大括号内．
正整数集合:{ …}；
正分数集合:{ …} ；
负整数集合:{ …} ；
负分数集合:{ …} ；
正数集合:{ …} ；
负数集合:{ …}.
知3－练
－ 9
10
4
27
15 2
－7
3 －3
4
1. 有理数的分类：对有理数分类时，要注意分类标
准，做到不重复、不遗漏；若按集合分类，则每
个集合最后要加上“…”．
2. 常见的三种数集的含义：
(1)非负整数集：零和正整数集(即自然数集)；
(2)非负数集：零和正数集；
(3)非正数集：零和负数集．
3. 有理数的判别技巧：
(1)凡是整数、分数都是有理数．
(2)有限小数和无限循环小数都可化为分数，所以
是有理数；无限不循环小数不能化为分数，所
以不是有理数．
第2章 有理数
2.2 数 轴
第1课时 数轴
1 u数轴
u数轴上的点与有理数的对应关系
u数轴上两点间的距离
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
1 数 轴
知1－导
我们在小学学习数学时，就能用直线上依次
排列的点来表示自然数，它帮助我们认识了自然
数的大小关系.
知1－讲
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
要点精析：
(1)数轴是一条直线，可以向两端无限延伸．
(2)三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可．
(3)原点的选定、正方向的选取、单位长度的确定都是
根据实际需要“规定”的，通常规定向右为正．在解
决具体问题时，可灵活选定原点的位置和单位长度
的大小，一经选定就不能随意改动．
知1－讲
2.数轴的画法：
一画：画一条直线(一般是水平直线)；
二取：选取原点，并用这点表示数字0；
三定：确定正方向，用箭头表示(一般规定向右为正)；
四统一：单位长度应统一；
五标数：在原点左右两边依次标上对应的刻度数．
3.易错警示：在画数轴时常出现以下几种错误：
(1)没有正方向；(2)没有原点；(3)单位长度不统一；
(4)标数时顺序不对．
知1－讲
例1 图中，是数轴的是( )
导引：A中没有正方向，B中原点左侧标数顺序错误，
C中单位长度不统一．
D
知1－讲
认识数轴，要紧扣数轴的定义，围绕数轴的
“三要素”进行判断，三者缺一不可，同时还要
注意标数顺序．
知1－讲
例2 画出数轴，并说明画法．
导引：画数轴，要紧扣数轴的三要素：原点、正方
向、单位长度．
解：如图.
画法：(1)画一条直线(水平)；
(2)取原点并标注“0”；
(3)画箭头(通常向右)；
(4)确定单位长度(适当)；
(5)标注刻度数(直线下方)
知1－讲
(1)画数轴的步骤：一画(直线)，二取(原点)，三定(正
方向)，四统一(单位长度)，五标数(刻度数)；
(2)数轴被原点分成两个区域：①从原点向右表示正数
区域，序号顺序从左至右；②从原点向左表示负数
区域，序号顺序从右至左；
(3)数标注在直线刻度下方．
1 下列各图中，所画数轴正确的是( )
知1－练
A
C
B
D
2 下列说法中，错误的是( )
A．在数轴上，原点位置的确定是任意的
B．在数轴上，可以不确定正方向
C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要任意选取
D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线
知1－练
知数画点
知点读数
2 数轴上的点与有理数的对应关系
知2－讲
1. 数轴的两个最基本的应用：
一是知点读数,二是知数画点,即:数
它是最直观的数形结合体．
2. 数轴上的点与有理数间的关系：数轴上的每一个点都
表示一个数，所有的有理数都可以用数轴上的点来表
示，但数轴上还有一部分点表示的不是有理数，它们
之间不是一一对应的关系，比如π这样的数也能在数
轴上表示．
点(形)，
知2－讲
例3 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
4，－2，－4. 5， 0．
解：如图所示.
，11 3
知2－讲
例4 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示哪个
有理数？
导引：紧扣点的位置的特征与点表的数的关系读数.
解: 点 表示 ，点 表示－ ，点 表示－ ，点 表示1 1 11 2 0.2 2 2A B C D
对于数轴上的一个点，我们总能找一个数(不一
定是有理数)和它对应，即知点读数，读数时要明确
两点：区域位置(原点右、左两侧)决定正、负，到原
点的距离决定数字．
知2－讲
例5 画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点．
导引：紧扣数的特征与数与点的位置关系描点．
解: 如图.
知2－讲
－ ，－ ，－ ， ， ．1 1 12 2 32 2 2
已知数在数轴上找点的方法步骤：
第 1 步：根据数的正负性确定在原点的左侧还是右侧；
第 2 步：确定与原点之间的距离 ；
第 3 步：标出点后将数写在数轴的上方 .
知2－讲
1 如图，分别用数轴上的点A，B，C，D表示数，正确
的是( )
A．点D表示－2.5 B．点C表示－1.25
C．点B表示1.5 D．点A表示1.25
知2－练
2 有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下
列说法正确的是( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都是负数
C．a，b是正数，c是负数
D．a，b是负数，c是正数
知2－练
3 在数轴上表示－2，0，6.3， 的点中，在原点
右边的点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
知2－练
1
5
3 数轴上两点间的距离
知3－讲
例6 数轴上到表示2的点的距离是5的点表示的数是
________．
错误答案：7
错解分析：只考虑了表示2的点右侧的点，忽视了左侧还
有一个点；画出数轴，利用数形结合思想能克
服片面理解的误区，很直观看出数轴上与表示
2的点相距5个单位长度的点在表示2的点的两
侧，有两个点．
7或－3
距离是一个长度，在数轴上表示到某个点的距离
为a的点时，用分类讨论思想时要考虑在这个点左侧
且距此点a个单位长度有一个点；在这个点右侧且距
此点a个单位长度也有一个点．
知3－讲
1 数轴上到原点的距离等于2的点所表示的数是______．
知3－练
2 (中考·永州)在数轴上表示数－1和2 014的两点分别
为A和B，则A，B两点之间的距离为( )
A．2 013 B．2 014
C．2 015 D．2 016
3 在数轴上，一点从原点开始，先向右移动2个
单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终
点，这个终点表示的数是( )
A．5 B．1
C．－1 D．－5
知3－练
1.数轴的“两点应用”：
(1)根据有理数在数轴上找到表示该有理数的点；
(2)根据数轴上表示有理数的点读出其表示的有理
数，简单地说，一是知数画点， 二是知点读数．
2.数轴上的点与有理数间的关系：所有的有理数都可
用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的不一定
都是有理数．
3.数轴定义包含三层含义：
(1)数轴是一条直线；
(2)数轴有“三要素”：原点、正方向、单位长度；
(3)“规定”是指原点位置、正方向选取、单位长度
大小都根据需要而定．
第2章 有理数
2.2 数 轴
第2课时 在数轴上比
较数的大小
1 u利用数轴比较数的大小
u利用法则比较数的大小
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
在小学里，我们已经学会比较两个正数的大小，
那么，引进负数后，怎样比较两个有理数的大小呢？
例如，1与－2哪个大？－1与0哪个大？－3与－4哪
个大？
1 利用数轴比较数的大小
知1－导
(1)任意写出两个正数，在数轴上画出表示它们的点，
较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系？
(2)1℃与－2℃哪个温度高？－1℃与0℃哪个温度高？
－3℃与－4℃哪个温度高？这些关系在温度计上
表现为怎样的情形？
把温度计横过来放，就像一条数轴．从这个事实中，
能得到怎样的启发？
知1－讲
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
2.利用数轴比较大小关键有两步：
一是在数轴上标点；
二是观察表示数的点在数轴上的位置．
知1－讲
例1 将下列各数按从小到大的顺序排列，并用
“＜”号连接起来：
3，0， ，－4．
解：容易知道
51 6
51 6
－ 54 0 1 3.6
在数轴上画出表
示这些数的点，再比
较大小，结果怎样？
＜3,再由上面的比较法则，得
知1－讲
例2 将下列各数按从小到大的顺序排列，并用
“＜”号连接起来：
导引：先把这些数准确地表示在同一条数轴上，按
右边的点表示的数大于左边的点表示的数，
将各数按从小到大的顺序排列．
－ ， ， ，－ ，－ ， ．3 12 0 1 0.5 22 2
知1－讲
解： 将这些数在数轴上表示出来，如图所示．
所以－ － － ．3 12 0.5 0 1 22 2
知1－讲
本题运用了数形结合思想，由点在数轴上的位
置来判断表示的数的大小．
知1－讲
例3 不小于－4的负整数有( )
A. 5个 B. 4个
C. 3个 D. 无数个
导引：画出数轴，通过观察数轴可知，在表示－4
的点的右侧的点所表示的数中负整数有－3、
－2、－1，包括－4本身共有4个．
B
知1－讲
(1)不小于－4说明包括－4；(2)负整数不包括0.
1 数轴上点A、B的位置如图所示，若点A、B表示的
数分别为a、b，则a________(填“＞”“＜”或
“＝”)b．
知1－练
2 (中考·随州)在－1，－2，0，1四个数中最小的
数是( )
A．－1 B．－2 C．0 D．1
4 (中考·呼和浩特)以下四个选项表示某天四个城
市的平均气温，其中平均气温最低的是( )
A．－3 ℃ B．15 ℃
C．－10 ℃ D．－1 ℃
3 (中考·雅安)下列各数中最小的是( )
A．－5 B．－4 C．3 D．4
知1－练
2 利用法则比较数的大小
知2－讲
1. 有理数大小比较法则：正数都大于零，负数都小于
零，正数都大于负数．
2. 法则的优缺点：
(1)优点：两个数相比较时，可依据法则直接比较，
不需要借助数轴．
(2)缺点：当两个数是负数时，法则无法解决，只
有利用数轴比较．
知2－讲
例4 比较下列各数的大小：
－1.3 , 0.3 ，－3，－5.
解：将这些数分别在数轴上表示出来，如图．
可以看出－5＜－3＜－1.3＜ 0.3 .
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
由此容易得到如下大小比较法则：
正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数.
知2－讲
知2－讲
例5 下列各数是否存在，如果存在，把他们找出来：
(1)最大的正数；(2)最小的负数；
(3)最大的负整数；(4)最小的正整数；
(5)最小的自然数；(6)最大的非负数．
导引：找最大或最小的数，主要以0为参照物，符合条
件且唯一就存在，否则不存在．
解： (1)不存在． (2)不存在． (3)存在，－1.
(4)存在，1. (5)存在， 0. (6)不存在．
正数与负数均无最大与最小，对于整数而言，
取最大或最小都是以0为界点，注意：非负数没有
最大但有最小．
知2－讲
1 用“＞”“＜”或“＝”填空：
(1)－10________0；
(2) ________
(3)－0.25________
(4)－π________3.14.
知2－练
3
2
２－ ；３ １－ ；４
3 (中考·重庆)在－4，0，－1，3这四个数中，
最大的数是( )
A．－4 B．0
C．－1 D．3
2 (中考·沈阳)下列各数中，比0大的是( )
A．－2 B．
C．－0.5 D．1
知2－练
－ 2
3
要比较几个数的大小，可以先在数轴上分别把
它们对应的点表示出来，再结合它们在数轴上的位
置进行比较；当比较两个数大小时，若这两个数的
性质符号不同，可以利用正数大于0，负数小于0，
正数大于负数进行比较．
第2章 有理数
2.3 相反数
1 u相反数的定义
u相反数的性质
u多重符号的化简
2
逐点
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作业
提升
1 相反数的定义
做一做：
在数轴上，画出表示以下两对数的点：
－6和6，1.5和－1.5.
这两对点有什么共同点？
知1－导
知1－讲
1.代数意义：只有正负号不同的两个数称互为相反数．
特殊规定：0的相反数是0.
几何意义：在数轴上表示互为相反数的两个点分别位
于原点两旁，且与原点距离相等．
要点精析：
(1)相反数是两个数之间的特殊关系，是成对出现
的，不能单独存在．
知1－讲
(2)任何一个有理数，都只有一个相反数．
(3)“只有”指的是除符号不同外，其他完全相同．
(4)相反数与前面所学的“相反意义的量”是不同的
概念．
2. 易错警示：“只有正负号不同”不要错误地理解为
“只要正负号不同”，“只有正负号不同”包含两
层意义：(1)符号相反；(2)所含的数字相同．
知1－讲
例1 下列说法正确的是( )
A．－2是相反数
B． 与－2互为相反数
C．－3与＋2互为相反数
D． 与0.5互为相反数
导引：判断两个数是否互为相反数，按其定义从两个
方面去看：符号(＋、－)和所含数字(相同)．
D
－1
2
－1
2
判断两个数是否互为相反 数，要从两个方面看：
一是符号不能相同；
二是数字一定要相同 （相等的小数和分数是
同一个数）.
知1－讲
知1－讲
例2 如图，点A，B，C，D表示的数中，互为相反
数的两个数对应的点是( )
A．点A与点C B．点B与点C
C．点A与点D D．点B与点D
导引：判断两个点所表示的数是否互为相反数，要
看这两个点所表示的数是否满足几何意义．
C
判断两个点所表示的数是否互为相反数的方法：就
是要看它是否满足两个条件：一是点在原点两侧，二
是点到原点的距离相等．
知1－讲
例3 分别写出下列各数的相反数：
＋5，－7， ，11.2.
解：＋5的相反数是－5，－7的相反数是7，
的相反数是
知1－讲
－ 13 2
－ 13 2
，13 2
11.2的相反数是－11.2.
1 (中考·深圳)－15的相反数是( )
A．15 B．－15
C．±15 D.
知1－练
1
15
2 (中考·广元)一个数的相反数是3，这个数是( )
A. B．
C．3 D．－3
1
3
－1
3
3 如图，所表示的数互为相反数的点是( )
A．点A与点C B．点B与点D
C．点B与点C D．点A与点D
知1－练
4 下列几组数中，互为相反数的是( )
A． 和0.7 B. 和－0.333
C．－(－6)和6 D． 和0.25
－1
7
1
3
－ 1
4
2 相反数的性质
知2－讲
1. 相反数的求法：求一个数的相反数就是在这个数
的前面加上“－”号，即a的相反数是－a，其实
质是改变这个数的符号．
要点精析：
(1)正数的相反数就是在原数前面加上“－”号；
(2)负数的相反数就是将原数前面的“－”号去掉；
(3)0的相反数是0.
知2－讲
2. 相反数的性质：若a、b互为相反数，则a＋b＝0
(a＝－b，b＝－a)；反过来，若a＋b＝0，则a、
b互为相反数．即：
a、b互为相反数
3. 易错警示：
(1)a的相反数是－a，但－a不一定是负数．
(2)求一个式子的相反数，一定要将整个式子加
上括号，再在括号前面添上“－”号．
性质
判定
a＋b＝0.
知2－讲
例4 (1) 的相反数是________；
(2)2m是________的相反数；
(3)π－3的相反数是___________．
导引：求一个数的相反数，只需在这个数的前面添
上“－”号．
－ 85 9
－2m
－(π－3)
85 9
求一个数的相反数，其实质是改变这个数的符
号；当求一个式子的相反数时，先把这个式子加上
括号，再在括号前加上“－”号．
知2－讲
例5 已知：m＋n＝0，n＋p＝0，m－q＝0，则( )
A．p与q相等 B．m与p互为相反数
C．m与n相等 D．n与p相等
导引：先由m＋n＝0，n＋p＝0可知m、p都是n的相反
数，而一个数的相反数是唯一的，所以m＝p，
再由m－q＝0得m＝q；因此q＝p.
知2－讲
A
1 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是( )
A．正数 B．正数或零
C．负数 D．负数或零
知2－练
2 一个数的相反数等于它本身，这样的数一共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
知2－练
3 下列说法中，正确的有( )
①m与－m互为相反数，因此它们一定不相等；
②相反数等于它本身的数只有0； ③ 正数和负
数互为相反数；④ 负数的相反数是正数；⑤ a
的相反数一定是负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3 多重符号的化简
知3－讲
例6 化简：
(1)－( ＋10); (2) ＋( －0.15);
(3) ＋( ＋3); ⑷－(－20).
解：(1)－( ＋10)＝－10．
(2)＋ (－ 0. 15)＝ － 0. 15.
(3)＋( ＋ 3) ＝ ＋ 3 ＝ 3.
(4)－ ( －20) ＝20.
例7 化简下列各数:
(1)－(－3) ; (2)－(＋2) ; (3) ＋ (－8) ;
(4)－[＋(－2)] ; (5)－{－[－ (＋a)]} ;
知3－讲
导引：紧扣多重符号的化简进行逐步简化符号 .
知3－讲
解：(1)－(－3)＝3.
(2) － (＋ 2) = － 2.
(3) ＋ (－8) ) = － 8 .
(4) －[＋(－2)] = － (－ 2) = 2 .
(5) －{－[－ (＋a)]} = －[－(－ a) ] ) = － a .
(1)一般地，在一个数的前面添上一个“－”号，表
示这个数的相反数，在一个数的前面添上“＋”
号，表示这个数本身．利用这一规律，可将带有
多重符号的数中的符号及括号，像剥茧抽丝一样，
一层一层地剥去，进行化简．
知3－讲
(2) 化简一个带有多重符号的数，与它前面的 “＋”
号个数无关，与“－”号个数有关，当“－”号
的个数为奇数时，这个数为负，当“－”号的个
数为偶数时，这个数为正；即我们可以按照“奇
负偶正”的原则直接写出结果．
知3－讲
1 a的相反数是－(＋5)，则a＝________．
知3－练
2 化简下列各数：
(1)－[－(＋2)]＝________；
(2)－[－(－2 )]＝________；
(3)－[＋(－18)]＝________；
(4) ＝________．－ ＋ － ＋2
3
相反数的意义：
代数意义：(1)成对出现；(2)只有符号不同，即a的相反
数是－a；特殊地：0的相反数是0.
几何意义：数轴上原点两旁且到原点距离相等的两个点
所表示的数互为相反数．
多重符号化简的方法规律：
方法一：把所有的正号去掉；负号的个数是偶数个时
结果为正，是奇数个时结果为负，即“奇负偶正”．
方法二：采用两个同号得正，异号得负，分层化简．
第2章 有理数
2.4 绝对值
1 u 绝对值的定义
u 绝对值的性质
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
1 绝对值的定义
知1－导
在一些量的计算中，有时并不注重其方向.例如，
计算汽车行驶所耗的汽油，需要关注的是汽车行驶
的路程， 而无需关注其行驶的方向.
在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观
察它与原点之间相隔多少个单位长度，而与它位于
原点哪一边无关.
知1－讲
几何定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a
的绝对值，记作
代数定义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是
零；一个负数的绝对值是它的相反数；任意
一个数的绝对值为非负数．
用式子表示为：
.a
( 0 );
= ( 0 );
(
0
0 ).
a
a a
a
a
a
知1－讲
试一试
1(1) 2 _____, _____, 8.2 _____;5
(2) 0 ______;
(3) 3 _____, 0.2 _____, 8.2 _____ .
怎样求一个数的绝对值？从这
些结果中你能发现什么规律？
知1－讲
由绝对值的意义，我们可以知道：
1.一个正数的绝对值是它本身；
2.零的绝对值是零；
3.—个负数的绝对值是它的相反数.
知1－讲
要点精析：
(1)任何数都有绝对值，且只有一个；
(2)任何数的绝对值不可能是负数；
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等；而绝对值
相等的两个数相等或互为相反数．
(4)求一个数的绝对值时，要“先判后去”；即先判
断这个数是正数，0，还是负数，再由绝对值
的意义去掉这个数的绝对值符号．
知1－讲
易错警示：
因为当a＞0时， ＝a，当a＝0时， ＝0，也是a
本身，所以绝对值等于它本身的数是非负数；
当a＜0时， ＝－a，是a的相反数，当a＝0时，
＝0，也可以看成是a的相反数，所以绝对值等于它
的相反数的数是非正数．在实际运用中易漏掉0.
a a
a a
知1－讲
例1 求下列各数的绝对值:
15 1 + 4.75, 10.5.2 10
， ，
15 15 1 1= + =2 2 10 10
， 解： ，
4.75 =4.75, 10.5 =10.5.
知1－讲
求一个数的绝对值的方法：要求一个数的绝对值 ，
首先判断这个数是正数、负数还是零，然后根据“一个
正数的绝对值是它本身； 一 个负数的绝对值 是它的相
反 数；0 的绝对值是 0”求出 该数的绝对值，要确保其
结果为非负数且只有一个 .
知1－讲
例2 计算：
(1)|－19|－|10|；(2)|8－6|；(3)
导引：先确定运算顺序，再计算．
解：(1)|－19|－|10|＝19－10＝9.
(2)|8－6|＝|2|＝2.
2.4 .3
2.4 2.4(3) 0.8.3 3
知1－讲
计算绝对值时，只管绝对值符号里边数的运算，
绝对值外面的符号不参与绝对值的运算；运算时，
先去掉绝对值符号，再进行其他运算．
知1－讲
例3 如果|a|＝4，|b|＝8，且a在数轴上对应的点
位于原点的右边，b在数轴上对应的点位于
原点的左边，那么在数轴上这两个点之间
的距离是多少？
导引：题中涉及三个问题：(1)已知一个数的绝对
值，求这个数；(2)由表示数的点在数轴上
的位置，确定这个数；(3)在数轴上求出表
示这两个数的点之间的距离．
知1－讲
解：由|a|＝4，得a＝4或a＝－4.
因为a在数轴上对应的点位于原点的右边，所以a＝4.
由|b|＝8，得b＝8或b＝－8.
因为b在数轴上对应的点位于原点的左边，
所以b＝－8.
由图知，数轴上表示4和－8这两个数的点之间的距
离是12.
知1－讲
(1)有关绝对值的问题，需利用数轴来分析，这样
解题更直观明了，能体现“数”与“形”的完美统
一；
(2)对于已知一个数的绝对值，求这个数解的情况，
解答时，常常利用数形结合思想 、分类讨论思
想，从而避免漏解的错误．
知1－讲
【例4】〈易错题〉若|x|＝x，则x是( )
A．正数 B．0
C．非负数 D．非正数
错误答案：A
错解分析：一个非负数的绝对值是它本身，错解中只考
虑了正数，而忽视了0；|x|＝x表示的意义是：
一个数的绝对值等于它本身；而绝对值等
于它本身的数是正数和0.
C
知1－讲
解答这类题一定要把正数和0两种情况都考
虑到，不要忽视“0”．
知1－练
(中考·连云港)数轴上表示－2的点与原点的距
离是________．
(中考·东营) 的相反数是( )
A. B． C．3 D．－3
1
3
1
3
1
3
2
1
知1－练
下列说法正确的是( )
A．|－8|是求－8的相反数
B．|－8|表示的意义是数轴上表示－8的点到原
点的距离
C．|－8|的意义是表示－8的点到原点的距离是
－8
D．以上都不对
3
知1－练
如图，点A所表示的有理数的绝对值是( )
A．－1 B．1
C．±1 D．以上都不对
4
2 绝对值的性质
知2－导
你能将上面的结论用数学式子表示吗？
1. 当 a > 0 时, |a|=________;
2. 当 a = 0 时, |a|=________;
3. 当 a< 0 时, |a|=________; 由此可以看出，任何一个有理数的绝对值总是正数 或 0(通常也称非负数).即对任意有理数a，总有 |a|≥0. 知2－讲 1.非负性：任何一个有理数的绝对值总是正数或0， (通常也称非负数)，即对任意有理数a ，总有|a|≥0. 2.互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a与b互 为相反数，则|a|= |b|.反之，若两个数的绝对值相等， 则这两个数相等或互为相反数，即若|a|= |b|, 则a＝b或a＝－b. 拓展：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为 0.即|a|+|b|+|c|+ …+|m|=0 ，则a＝b＝c＝…＝m＝0. 知2－讲 1 11 ; 2 1 .2 3 化简： 1 1 11 = = .2 2 2 解： 1 12 1 = 1 .3 3 例5 知2－讲 例6 下列各式中无论m为何值，一定是正数的是 ( ) A. B. C. D．－(－m) 解 ： 选项A中当m＝0时，不符合题意；选项B中 当m＝－1时， ＝0，不符合题意；选项 D中－(－m)＝m显然不符合题意；选项C中， 因为 ≥0，所以 ＋1≥1，符合题意． m +1m +1m +1m mm C 知2－讲 绝对值的结果是非负数，包括零 . 若 要使结果是正数 ，则必须再加 上一个正 数 . 知2－讲 例7 已知|a－2|＋|b－1|＝0，求a、b的值． 导引： 因为|a－2|和|b－1|都是非负数，|a－2|＋|b －1|＝0，所以a－2＝0，b－1＝0. 解：根据绝对值的非负性中的二级结论，知： a－2＝0，b－1＝0. 所以a＝2，b＝1. 知2－讲 若几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 知2－练 绝对值最小的数是________；绝对值最小的 负整数是________． 1 如果 ＋|b－1|＝0，那么a＋b＝( ) A． B. C. D．1 1 2a 1 2 3 2 1 2 2 知2－练 完成下列各题． (1)|15|＝______，|2.5|＝______， ＝________； (2)|－15|＝______，|－2.5|＝______， ＝______； (3)由以上可以看出： 当a是正数时，|a|________0； 当a是负数时，|a|________0； 当a为任意有理数时，|a|________0. 2 3 2 3 3 知2－练 (中考·娄底)若|a－1|＝a－1，则a的取值范围 是( ) A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1 4 理解绝对值的意义要从代数与几何两个方面入手，其 实质是任何数的绝对值是非负数，即： (1)正数、负数的绝对值是正数； (2)0的绝对值是0，0是绝对值最小的数； (3)若一个数的绝对值是正数，则这样的数有两个， 它们互为相反数． 与绝对值有关的两种常见题型： (1)求一个数的绝对值：其解法的实质是去掉绝对值 符号，去绝对值符号必须按照“先判后去”的原则， 即先判断这个数的正、负性；再按照定义去绝对 值符号，要确保其结果为非负数且只有一个； (2)已知一个数的绝对值求这个数：有两解(0除外)， 且这两解互为相反数．
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