十字相乘法分解因式
一、教学目标：
1、进一步理解因式分解的定义；
2、会用十字相乘法进行二次三项式（ qpxx 2 ）的因式分解；
3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的
观察能力。
二、教学的重点、难点
1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（ qpxx 2 ）的因式
分解。
2、教学难点：在 qpxx 2 分解因式时，准确地找出a 、b ，使 pab ， qba 。
三、导学过程：
（一）创设情境，导入新课：
1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？
2、你知道 X2+5X+6 怎样分解因式吗？
（二）自主学习
我们知道 22 3 5 6x x x x ，反过来，就得到二次三项式 2 5 6x x 的
因式分解形式，即 2 5 6 2 3x x x x ，其中常数项 6 分解成 2,3 两个因数
的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数 5，即 6=2×3，且 2+3=5。
一般地，由多项式乘法， 2x a x b x a b x ab ，反过来，就得到
2x a b x ab x a x b
（三）合作探索
这就是说，对于二次三项式 2x px q ，如果能够把常数项q 分解成两个因数 a、
b 的 积 ， 并 且 a+b 等 于 一 次 项 的 系 数 p ， 那 么 它 就 可 以 分 解 因 式 ， 即
2 2x px q x a b x ab x a x b 。可以用交叉线来表示：
十字相乘法的定义： 利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的
x
x
+ a
+b
方法叫做十字相乘法。
（四）、展示交流：
例 1 把 2 3 2x x 分解因式。
分析：这里，常数项 2 是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而 2=1×
2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于 3，只需取 1,2 即可。
（后三个例题鼓励学生独立完成）
（五）点拨升华
通过以上例题可以看出，怎样对 2x px q 分解因式？
如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项
系数 p 的符号相同。
如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因
数与一次项系数 p 的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数 p。
（六）拓展提高
例 5 把下列各式分解因式：（这三个例题鼓励学生独立完成）
(1) x
2
+3x-4 (2) 2 4 3a b a b （3）x
4
+13x
2
+36
四、布置作业：
1、因式分解：
（1） 62 xx （2） 652 xx （3） 62 xx （4） 432 xx （5） 432 xx
选作：若多项式 mxx 22 可分解为 ))(3( nxx ，求m 、 n 的值.
五 、课堂小结：通过本节课学习，你有什么收获？还有什么不懂得
知识呢？
六、教后后反思：
学生对整式乘法是熟悉的，是学生的原有认知！因此对十字相乘
法的教学，我觉得还是从学生的原有知识出发，逆向使用式子。因式
分解与整式的乘法实际上是互逆的两个运算过程。因式分解的方法都
是逆向使用整式乘法的结果。这样处理既符合学生的认知规律，又符
合建构主义的相关理论。在介绍十字相乘法时，先从二次三项式一般
式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字
相乘。在对系数的处理上，学生搭配较简单的数时很快，但对系数较
大的十字分解还缺乏经验。所以介绍了对常数项进行因式分解，再合
理尝试十字交叉相乘。学生经过理解后，且在经过多个方程的十字相
乘后，积累了一定的经验，对符号的处理上能找到巧妙方法，通过先
考虑合系数的绝对值，再确定符号所处位置。最后出现的问题在交叉
相乘以后对分解式的书写，正确的应是横向书写，所以要多强调、多
指导、多个别指出学生的错误。为此特意编了口诀：(1).因式分解竖
直写;(2).交叉相乘验中项;(3).横向写出两因式。 十字相乘法是因式分
解中非常重要的方法，也为后续分式的计算奠定基础的重要环节。这
节课的我就以二次项系数为 1 的二次三项式的因式分解为目标，从因
式分解的意义入手，对公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 进行观察研究，
发现反过来就是 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，适用于因式分解，从而，
对于二次三项式 x2+mx+n 的因式分解，关键就是找两个数 p、q 使：
p+q=m，pq=n，由学生思考后，提出从积入手找两个数，因此，新的
方法就可以理解掌握了，借助十字相乘的特殊书写方法，便于操作演
算，要教育学生学会不断尝试，不怕受挫，不断动脑，增强对数的洞
察能力。
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