第七章 数系的扩充与复数的引入-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1．对复数的相关概念混淆不清 【例 1】 以下有四个命题：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若 Cz  ，则 02 z ；（3）若 ,, 21 Czz  且 021  zz ，则 21 zz  ;（4） 2 2 1 2 2 3( ) ( ) 0z z z z    ，则 1 2 3z z z  ．其中正确的有 个． 【错解】4 个 【错因】（1）当得到 bizz 2 时就认为是纯虚数，忽略了 b 可以为 0 的条件．（2）认为任何一个实数的平方大于等于 0 可以推广到复数 中．（3）认为两个实数之差大于 0 等价于前一个实数大于后一个实数 可推广到复数中．（4）把实数等式性质错误的推广到复数中． 知识点：考查复数的概念要 明确：两个虚数不能比较大 小。若复数的运算与复数 概念相结合．要先利用 复数的运算法则化简， 一般化为 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再结合相关定 义解答． 【正解】（1）错，设互为共轭复数的两个复数分别为 biaz  及 biaz  （ Rba , ），则 bizz 2 或 bizz 2 ，当 0b 时， zz  是纯虚数，当 0b 时， 0 zz ； （2）错，反例设 iz  则 0122  iz ；（3）错，反例设 iziz  2,3 21 满足 0121  zz 但 21, zz 不能比较大小；（4） 错，设 1 1z  ， 2z i ， 3 1z   ，则 2 2 1 2 2 3( ) ( ) 0z z z z    ，但它们并不 相等．故答案是 0 个． 易错点 2．对复数的几何意义理解不够 【例 2】已知 ( 3) ( 1)iz m m    在复平面内对应的点在第四象限， 则实数 m 的取值范围是（ ） （A） ( 31) ， （B） ( 13) ， （C） (1, )+ （D） ( 3) - ， 【错解】要使复数对应的点在第四象限应满足： 3 0 1 0 m m      ，无解. 【错因】没有理解复数的几何意义，不知道如何将复数与复平面内的 点对应. 知识点：由于复数、点、 向量之间建立了一一对 应的关系。但解题时一 定要先看复数是否为 a ＋bi(a，b∈R)的形式， 以确定实部和虚部． 【正解】要使复数对应的点在第四象限应满足： m 3 0 m 1 0      ，解得 3 m 1   ，故选 A 易错点 3．对复数的模理解不透 【例 3】设 (1 )=1+ ,x i yi 其中 x , y 实数,则 i =x y ( ) （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 【错解】因为 (1 )=1+ ,x i yi 所以 =1+ , =1, 1,x xi yi x y x   ， =1 1 2x yi   ，故选 D. 【答案】不理解复数的模的公式 知识点：复数的模实质上就 是复平面内复数对应的点 到原点的距离，也就是复数 对应的向量的模 【正解】因为 (1 )=1+ ,x i yi 所以 =1+ , =1, 1,| | =|1+ | 2,x xi yi x y x x yi i     故选 B. 易错点 4．复数相等的条件应用出错 【例 4】已知 x 是实数， y 是纯虚数，且满足 (2 1) ( 1)x i y y i     ， 求 x 与 y 的值． 【错解】根据复数相等的充要条件，可得 2 1 1 1 x y y      ，解得 1 2 2 x y     ． 【错因】误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解。 知识点：利用复数相等 a＋ bi＝c＋di 列方程时，注意 a， b，c，d∈R 的前提条件. 【 正 解 】 依 题 意 设 ( , 0)y bi b R b   ， 带 入 关 系 式 (2 1) ( 1)x i y y i     ，整理得： (2 1) ( 1)x i b b i      ，根据根据复 数相等的充要条件，可得 2 1 1 1 x b b       ， 解得 3 2 2 x b      ，则有 3 2 2 x y i      ． 易错点 5．复数的“模”与“绝对值”混淆出错 【例 5】在复数范围内解不等式 2 4 3 1z z z    ． 【 错 解 】 原 不 等 式 3 1 1z z z     1 ( 3 1) 0z z     ， 1 0z   ， 3 1z   ． 1 3 1z    即有 2 4z   ． 【错因】把实数中绝对值的性质“ )0(  aaxaax ”生 搬硬套到复数模中来． 知识点：不能把实数中绝对 值的性质生搬硬套到复数 模中来．复数的绝对值要利 用几何意义求解. 【 正 解 】 原 不 等 式 3 1 1z z z     1 ( 3 1) 0z z     ， 1 0z   ， 3 1z   ，且 1z ． 其解为以点（3，0）为圆心，1 为半径的圆内部，且去除点（1，0）． 易错点 6．方程有解的条件判断出错 【例 6】已知关于 x 的方程 02)2(2  kixikx 有实数根，求实 数 k 应满足的条件． 【错解】由于方程有实数根，得 0)2(4)2( 2  kiik ，解得 32k 或 32k 【错因】误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件 0 ，方程 有实数根时，可把实数根 0xx  代入方程整理成复数的标准形式，再 根据复数相等的充要条件解出 0x 和的值即可． 知识点：复数范围内解方程 的一般思路是：依据题意设 出方程的根，代入方程，利 用复数相等的充要条件求 解．切不可利用判别式求解 【 正 解 】 设 0xx  是 方 程 的 实 数 根 ， 代 入 方 程 并 整 理 得 0)2()2( 00 2 0  ikxkxx ， 由复数相等的充要条件，得      02 02 0 0 2 0 kx kxx ，解得      22 20 k x 或      22 20 k x ． 易错点 7．对复数的运算不熟悉致错 【例 7】【2016 高考新课标 3 理数】若 i1 2z   ，则 4i 1zz   （ ） (A)1 (B) -1 (C) (D) i 【错解】 4i 4i 4 i(1 2i)(1 2i) 1 1 4 11 i zz         ，选 D． 【错因】计算出现错误，将 2 1i  带入了计算． 知识点：除法的关键是分 子分母同乘以分母的共 轭复数，解题时要注意 把 i 的幂写成最简形式． 【正解】 4i 4i i(1 2i)(1 2i) 11zz     ，故选 C． 考场必记内容 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如 a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数， 其中实部为 a，虚部为 b 若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di ⇔ a＝c 且 b＝d(a，b，c， d∈R) 共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭 ⇔ a＝c 且 b＝－ d(a，b，c，d∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚 轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内 的点都表示虚数 复数的模 设OZ→ 对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 OZ→ 的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模 |z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2 2.复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起 点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ→ . 3.复数的运算 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：z1 z2 ＝a＋bi c＋di ＝(a＋bi)(c－di) (c＋di)(c－di) ＝ac＋bd＋(bc－ad)i c2＋d2 (c＋di≠0). 考场技法 1.(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i，1－i 1＋i ＝－i. 2.i 的乘方具有周期性 in＝ 1，n＝4k， i，n＝4k＋1， －1，n＝4k＋2， －i，n＝4k＋3 (k∈Z). 3.复数的模与共轭复数的关系 z·z － ＝|z|2＝|z － |2. 4.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小； (2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的前提条件. 5.复数加法的几何意义：若复数 z1，z2 对应的向量OZ1 ―→， OZ2 ―→不共线，则复数 z1＋z2 是以OZ1 ―→，OZ2 ―→ 为邻边的平行四边形的对角线 OZ―→所对应的复数. 6.复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是OZ1 ―→－OZ2 ―→＝Z2Z1 ―→所对应的复数.