第 5 讲 函数的综合应用
考点 1 函数与方程
例 1.(1)已知函数 2 , 0,( )
, 0.
x a xf x
x x
若 ( )y f x 的图象上存在两个点 ,A B 关于原点对
称，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[ 1, ) B． ( 1, )
C．[1, ) D． (1, )
【答案】D
【解析】设 0 0x ，则 0 0x ， ( )y f x 的图象上存在两个点 ,A B 关于原点对称，
则 0
02 0x a x 在 0, 上有解，即 0
02xa x 在 0, 上有解，
由 0
02xy x 在 0, 上的值域为 (1, ) ，则实数 a 的取值范围是 (1, ) ．故选:D．
(2)已知函数
2
2
log , 2
log 4 , 2
x x
f x x x
，若函数 y f x k 有两个零点，则 k 的取值范
围是（ ）
A． ,2 B． ,1
C． 2, D． 1,
【答案】D
【解析】由函数 2logy x 与 2log 4y x 的图象关于直线 2x 对称，
可得 f x 的图象如图所示，
所以当 1k 时，直线 y k 与函数 y f x 的图象有两个交点．故选:D．
【点睛】解决函数零点(方程有根)的问题常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出
函数的图象，利用数形结合的方法求解．
【跟踪演练】1.
(1)对于函数 y f x 与 y g x ，若存在 0x ，使 0 0f x g x ，则称 0 0,M x f x ，
0( ,N x 0 )g x 是函数 f x 与 g x 图象的一对“隐对称点”．已知函数 1f x m x ，
ln xg x x
，函数 f x 与 g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数 m 的取值范围
为（ ）
A． 1,0 B． , 1
C． 0,1 1, D． , 1 1,0 U
【答案】A
【解析】由题意函数 1y m x 与 ln xy x
的图象有两个交点，
令 ln xh x x
，则 2
1 ln xh x x
，当 0,x e 时， 0h x ， h x 单调递增；
当 ,x e 时， 0h x ， h x 单调递减；
又 1y m x 恒过点 1,0 ，当 1x 时， 0h x ，
在同一坐标系中作出函数 1y m x 、 ln xh x x
的图象，如图，
由图象可知，若函数 1y m x 与 ln xy x
的图象有两个交点，则 0m ，
当直线 1y m x 为函数 ln xy x
图象的切线时，由 1 1h 可得 1m ，
0 1m 即 1,0m ．故选:A．
(2)已知函数 2 ( 0)( )
ln ( 0)
x xf x
x x
，且关于 x 的方程 ( ) 0f x x a 有且只有一个实数根，
则实数 a 的取值范围（ ）
A．[0, ) B． (1, )
C． (0, ) D．[ ,1)
【答案】B
【解析】若要使方程 ( ) 0f x x a 即 ( )f x x a 有且只有一个实数根，
则函数 ( )y f x 的图象与直线 y x a 有且仅有一个交点，
在同一坐标系中作出函数 ( )y f x 及 y x a 的图象，如图，
数形结合可得，若函数 ( )y f x 的图象与直线 y x a 有且仅有一个交点，
则 1a ，所以实数 a 的取值范围为 (1, ) ．故选:B．
考点 2 函数性质的综合
例 2.(1)已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数， 2 2f x f x ，且 2,0x 时，
2log 3 1f x x ，则 2021f （ ）
A．4 B． 2log 7
C．2 D．-2
【答案】D
【解析】因为 2 2f x f x ，所以函数 ( )f x 是周期为 4 的周期函数，
则 (2021) (505 4 1)f f f （1） 2 2( 1) log (3 1) log 4 2f ，故选:D．
(2)已知函数 1 3 x
bf x a a
（ 0a 且 1a ）是奇函数，且 (1) 2f ．
①求 ,a b 的值及 f x 的定义域；
②设函数 ( ) ( ) 2g x kf x 有零点，求常数 k 的取值范围；
③若 2( 2) ( 3 ) 0f t f t ，求 t 的取值范围．
【答案】① 3a ， 6b ， ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, ) ；② ( 2,0) (0,2) ；③
( 2, 1) (1,2) .
【解析】①由 (1) 2f 得 12
b
a
又 ( )f x 是奇函数，
( 1) (1) 2f f 即 2 33
ab
a
,注意到 0a 解得 3a ， 6b
2( ) 1 3 1xf x
,由3 1 0x 得 0x
( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )
② 3, 6a b ， 3 1( ) ( ) 2 23 1
x
xg x kf x k
( )g x 有零点，即关于 x 的方程 3 1 2 03 1
x
xk
有实数解
2(3 1)
3 1
x
xk
( 0)x 有实数解
2(3 1) 423 1 3 1
x
x x
， 3 1 1x 且3 1 2x
2(3 1)2 23 1
x
x
且 2(3 1) 03 1
x
x
k 的取值范围是 ( 2,0) (0,2)
③先证明函数 2( ) 1 3 1xf x
在 (0, ) 上单调递减
设 0m n ，则 3 3 1m n 3 1 3 1 0m n
2 2
3 1 3 1m n
， 2 21 13 1 3 1m n
即 ( ) ( )f m f n
函数 2( ) 1 3 1xf x
在 (0, ) 上单调递减
由 2( 2) ( 3| |) 0f t f t 得 2( 2) ( 3| |)f t f t 又 ( )f x 是奇函数
2( 2) (3| |)f t f t 2 2 3| |t t 1 | | 2t
所以t 的取值范围是 ( 2, 1) (1,2)
【点睛】本题考查了奇函数的性质和单调性的应用以及函数的零点，考查了利用函数的单调
性解不等式.
【跟踪演练】2.
(1)设 ( )f x 是定义域为 ( , ) 的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x ，已知当 0 2x 时，
1( ) 2 1xf x ，则 (2022) (2023)f f （ ）
A．2 B． 2
C．1 D． 1
【答案】B
【解析】根据题意， ( )f x 是定义域为 ( , ) 的奇函数，则 ( ) ( )f x f x ，且 (0) 0f ；
又由 (1 ) (1 )f x f x 即有 ( 2) ( )f x f x ，则 ( 2) ( )f x f x ，
进而得到 ( 4) ( 2) ( )f x f x f x ， ( )f x 为周期为 4 的函数，
则 (2022) (2 4 505) (2)f f f (0) 0f ，
(2023) ( 1 2024) ( 1) (1)f f f f ，
当 0 2x 时， 1( ) 2 1xf x ，则 f （1） 1 12 1 2 ，
则 (2023) (1)f f 2 ，故 (2022) (2023) 0 ( 2) 2f f ，故选:B．
(2)已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且 0 0f ，当 0x 时， f x 单调递增．若
实数 a 满足 1 33 3
af f
，则 a 的取值范围是（ ）
A． 3 1,2 2
B． 3 1, ,2 2
C． 4 2,3 3
D． 4 2, ,3 3
【答案】B
【解析】由题意可知 f x 为偶函数，且在 ,0 上单调递增，所以 f x 在 0,+ 上单
调递减，所以 f x 的图象越靠近 y 轴对应的函数值越大，
因为 1 33 3
af f
，所以 1 33 3
a ，所以 1
1
233 a
，
所以 11 2a ，所以 11 2a ，所以 3 1, ,2 2a ，故选:B．
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式的解集,常见利用函数性质求
解抽象不等式的方法：
（1）根据奇偶性分析出函数在对称区间上的单调性；
（2）将关于函数值的不等式中的自变量通过奇偶性转变到同一单调区间内；
（3）通过单调性得到自变量的大小关系，由此求解出不等式的解集．
考点 3 函数的极值与极值点个数
例 3.(1)已知函数 f x 的导函数 1f x a x x a ，若 f x 在 x a 处取得极大值，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 1,0 B． 2, C． 0,1 D． , 3
【答案】A
【解析】由 f x 在 x a 处取得极大值可知，当 x a 时， ( ) 0f x ；
当 x a 时， ( ) 0f x ，其等价于①存在 , ,b x b a ，使得 ( 1)( ) 0a x x a ，
且②存在 , ,c x a c ，使得 ( 1)( ) 0a x x a ；
若 0a 时， ( 1)( ) 0a x x a 的解集为 ( , 1) ( , )a ，不满足②即不存在 ( , )x a c ，
使得 ( 1)( ) 0a x x a ，故 0a 时 ( )f x 在 x a 不是极大值；
若 1 0a 时， ( 1)( ) 0a x x a 的解集为 ( 1, )a ， ( 1)( ) 0a x x a 的解集为
( , 1) ( , )a ，满足①②，故 1 0a 时， ( )f x 在 x a 处取得极大值；
若 1a ， ( 1)( )a x x a 恒小于等于 0，不满足①，故 1a 时， ( )f x 在 x a 取不到极
大值；
若 1a 时， ( 1)( ) 0a x x a 的解集为 ( , 1)a ，不满足②，故 1a 时， ( )f x 在 x a 处
取不到极大值.
综上， a 的取值范围是 1,0 .故选：A.
【点睛】本题考查了利用导数极值求参数取值范围,其中求函数 f x 极值的步骤：(1) 确定
函数的定义域；(2) 求导数 f x ；(3) 解方程 0,f x 求出函数定义域内的所有根；(4)
检查 f x 在 0f x 的根 0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 f x
在 0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 f x 在 0x 处取极小值。
(2)已知函数 ( ) lnx
af x xe
.
（1）若 a e ，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（2）求函数 ( )f x 的极值点个数.
【答案】（1） 1 0y ；（2）答案见解析
【解析】（1）依题意， 1' x
ef x e x
，故 ' 1 0f ，
又 1 0f ，故所求切线方程为 1 0y .
（2）依题意 1 1'
x x
x x x
a e ax ef x ae x xe e x
.
令
xem x x
，则
2
1'
xx em x x
，且当 0 1x 时， ' 0m x 当 1x 时， ' 0m x ，
所以函数 m x 在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增， min 1m x m e ，
当 a e 时， m x a 恒成立， ' 0f x .
函数 f x 在区间 0, 单调递增， f x 无极值点；
当 a e 时， min 1m x m e a ，
故存在 1 0,1x 和 2 1,x ，使得 1 1m x m x a ，
当 10 x x 时， ' 0f x ，
当 1 2x x x 时， ' 0f x ，
当 2x x 时， ' 0f x ，所以函数 f x 在 1 2,x x 单调递减，在 10, x 和 2,x 单调递
增，所以 1x 为函数 f x 的极大值点， 2x 为函数 f x 的极小值点.
综上所述，当 a e 时， f x 无极值点；当 a e 时， f x 有 2 个极值点.
【点睛】本题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的极值点个数，考查了分类讨论思
想.
【跟踪演练】3.
(1)已知函数 22ln 3f x x ax x 在 2x 处取得极小值，则 f x 的极大值为（ ）
A． 2 B． 5
2
C．3 ln 2 D． 2 2ln 2
【答案】B
【解析】由题意得， 2 2 3f x axx
，
2 4 2 0f a ，解得 1
2a ，
212ln 32f x x x x ， 2 3f x xx
1 2x x
x
，
f x 在 (0,1),(2, ) 上单调递增，在 (1,2) 上单调递减，
f x 的极大值为 1 51 32 2f .故选：B
(2)已知函数 2 2ln 1 2sin , 0f x ax x x a .
①若 1a ，证明：当 0, 2x
时， 0f x ；
②若 0x 是 f x 的极大值点，求正实数 a 的取值范围.
【答案】①证明见解析；② 0 1a
【解析】①由题知 22 2cos1f x ax xx
， 0 0f ，
令 h x f x ，则 2
1' 2 sin
1
h x a x
x
，
若 1a ，当 0, 2x
时，
2 2
1 12 sin 2 1 sin 0
1 1
h x a x x
x x
，
所以 h x 在 0, 2
上单调递增，
所以 0 0h x h ，所以 f x 在 0, 2
上单调递增；
所以 0 0f x f .
②若 1a ，由（1）知： f x 在 0, 2
上单调递增；
因此 0x 不可能是 g x 的极大值点.
若 0 1a ，令 2
12 sin
1
x h x a x
x
，
因为当 1, 2x
时， 3
42cos 0
1
x x
x
，所以 x 即 h x 在 1, 2
上单调
递增.
又因为 ' 0 2 1 0(0) h a ， 2
12 1 02 2 1 2
h a
，
因此存在 0, 2a
满足： 0h a ，所以当 1,x a 时， 0ah x h ，
所以 f x h x 在 1,a 上单调递减， 0 0 0f h ，
所以当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x a 时， 0f x ；
所以 f x 在 1,0 上单调递增；在 0,a 上单调递减；
综上，当 0x 是 f x 的极大值点时， 0 1a .
【点睛】本题考查了运用导函数研究函数的单调性、极值、最值等问题，关键在于构造合适
的函数，由其导函数的正负得出原函数的单调性，及其图象趋势，从而可得出所研究的函数
的极值、最值、零点等相关的问题.
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数， 2 2f x f x ，且 2,0x 时，
2log 3 1f x x ，则 2021f （ ）
A．4 B． 2log 7
C．2 D．-2
【答案】D
【解析】因为 2 2f x f x ，所以函数 ( )f x 是周期为 4 的周期函数，
则 (2021) (505 4 1)f f f （1） 2 2( 1) log (3 1) log 4 2f ，故选:D．
2.下列不可能是函数 ( )a x xf x x e e a Z 的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数 ( )a x xf x x e e a Z ，
当 0a 时， x xf x e e 其中定义域为 | 0x x 关于原点对称，
且 x x x xf x e e e e f x ，所以函数 f x 为偶函数，不经过原点且在第一象
限为单调增函数，故选项 A 符合题意；
当 a 为正整数时， a x xf x x e e ，其定义域为 R ，图象经过原点，没有选项符合；
当 a 为负整数时， a x xf x x e e ，其定义域为 | 0x x ，
可得 1 a x x a x xf x ax e e x e e ，
当 0x 时， 1 1[ ( ) ( )] [( ) ( ) ]a x x x x a x xf x x a e e x e e x a x e a x e ，
可得 f x 先负后正，故函数 f x 不经过原点且在第一象限先减后增，
其中 a 为负偶数时，函数 f x 为偶函数，此时 D 符合题意；
a 为负奇数时，函数 f x 为奇函数，此时 B 符合题意；故选:C
3.已知函数 2 5xf x e x 的零点位于区间 , 1m m ， mZ 上，则 42 logm m
（ ）
A． 1
4
B． 1
4
C． 1
2
D． 3
4
【答案】D
【解析】易知函数 f x 单调递减，因为 22 1 0f e ， 1 3 0f e ，
由零点存在定理可知，函数 f x 的零点在区间 2, 1 内，则 2m ．
所以 2
4 4
1 1 32 log 2 log 2 4 2 4
m m ．故选:D．
4.已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 1xf x e ，若 26f a f a ，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ( , 2) (3, ) B． 3,2
C． 2,3 D． ( , 3) (2, )
【答案】C
【解析】因为当 0x 时， ( ) 1xf x e ，根据指数函数的性质，可得 xy e 是增函数，
所以 ( ) 1xf x e 在 0, 上单调递增，又 f x 是定义在 R 上的奇函数， 0 0f ，
所以 f x 在 ,0 上单调递增，因此 f x 在 R 上单调递增；
所以由 26 ( )f a f a ，得 26 a a 解得 2 3a ．故选:C．
5.设函数 2 ln 1f x x m x 有两个极值点，则实数 m 的取值范围是( )
A． 1( 1, )2
B． 1(0, )2
C． 1(0, ]2
D． ( ]11, 2
【答案】B
【解析】 f x 的定义域为 1, .
22 2
1
x x mf x x
，令其分子为
22 2 1g x x x m x ，在区间 1, 上有两个零点，故
1 0
1 1 1 02 2
g m
g m
，解得 10, 2m
，故选:B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
6.已知 f x 为定义在 R 上的奇函数，当 0x 时，有 1f x f x ，且当 0,1x 时，
2log 1f x x ，下列命题正确的是（ ）
A． 2019 2020 0f f B．函数 f x 在定义域上是周期为 2 的函数
C．直线 y x 与函数 f x 的图象有 2 个交点 D．函数 f x 的值域为 1,1
【答案】A
【解析】 函数 y f x 是 R 上的奇函数， 0 0f ，由题意可得 1 0 0f f ，
当 0x 时， 2 1f x f x f x ，
2019 2020 2019 2020 1 0 0f f f f f f ，A 选项正确；
当 0x 时， 1f x f x ，则 2
6 1 6log5 5 5f f
，
2
4 4 9log5 5 5f f
， 4 4 625 5 5f f f
，
则函数 y f x 不是 R 上周期为 2 的函数，B 选项错误；
若 x 为奇数时， 1 0f x f ，
若 x 为偶数，则 0 0f x f ，即当 xZ 时， 0f x ，
当 0x 时， 2f x f x ，若 n N ，且当 2 ,2 1x n n 时， 2 0,1x n ，
2 0,1f x f x n ，
当 1,2x 时，则 1 0,1x ， 1 1,0f x f x ，
当 2 1,2 2x n n 时， 2 1,2x n ，则 2 1,0f x f x n ，
所以，函数 y f x 在 0, 上的值域为 1,1 ，
由奇函数的性质可知，函数 y f x 在 ,0 上的值域为 1,1 ，
由此可知，函数 y f x 在 R 上的值域为 1,1 ，D 选项错误；
如下图所示：
由图象可知，当 1 1x 时，函数 y x 与函数 y f x 的图象只有一个交点，
当 1x 或 1x 时， 1,1f x ，此时，函数 y x 与函数 y f x 没有交点，
则函数 y x 与函数 y f x 有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.
7.已知
2
sinxf x x x .（ ）
A． f x 的零点个数为 4 B． f x 的极值点个数为 3
C．x 轴为曲线 y f x 的切线 D．若 1 2( )f x f x ，则 1 2x x
【答案】BC
【解析】 21 cosxf x x
，令 0f x ，得到 21 cosx x .
分别画出 21 xy 和 cosy x 的图像，如图所示：
由图知： 21 cosx x 有三个解，即 0f x 有三个解，分别为 0 ，
2
， .
所以 ,0x ， 21 cos 0xf x x
， f x 为增函数，
0, 2x
， 21 cos 0xf x x
， f x 为减函数，
,2x
， 21 cos 0xf x x
， f x 为增函数，
,x ， 21 cos 0xf x x
， f x 为减函数.
所以当 0x 时， f x 取得极大值为 0 ，当
2x 时， f x 取得极小值为 14
，
当 x 时， f x 取得极大值为 0 ，
所以函数 f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.
因为函数 f x 的极大值为 0 ，所以 x 轴为曲线 y f x 的切线，故 C 正确.
因为 f x 在 ,0 为增函数， 0, 2
为减函数，
所以存在 1x ， 2x 满足 1 20 2x x ，且 1 2f x f x ，
显然 1 2 2x x ，故 D 错误.故选：BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分．
8.设 ( )f x 为定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 2
2( ) log ( 1) 1f x x ax a （ a 为常数），
则不等式 (3 5) 2f x 的解集为_________________
【答案】 ( 2, )
【解析】因为 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 (0) 0f ，解得 1a ，所以，当 0x 时，
2
2log 1f x x x ．当 [0, )x 时，函数 2log ( 1)y x 和 2y x= 在 [0, )x 上
都是增函数，所以 ( )f x 在 [0, )x 上单调递增；由奇函数的性质可知， ( )y f x 在 R 上
单调递增，因为 (1) 2 ( 1) 2f f ， ，故 (3 5) 2 (3 5) 1f x f x f ，即有
3 5 1x ，解得 2x ．故答案为: ( 2, ) ．
9.已知 ( )f x 是奇函数，且当 0x 时， ( ) eaxf x ．若 (ln 2) 8f ，则 a __________．
【答案】-3
【解析】因为 ( )f x 是奇函数，且当 0x 时 0x ， ( ) ( ) axf x f x e ．
因为 ln 2 (0,1) ， (ln 2) 8f ，
所以 ln2 8ae ，两边取以 e 为底的对数得 ln 2 3ln 2a ，所以 3a ，即 3a ．
故答案为:-3
10.已知函数 1xf x e x ，则它的极小值为_______；若函数 g x mx ，对于任意的
1 2,2x ，总存在 2 1,2x ，使得 1 2f x g x ，则实数 m 的取值范围是
_____________.
【答案】 (1). 1 (2). 1, 1,2
【解析】（1）由 1xf x e x ，得 1x x xf x e x e xe ，令 0f x ，得 0x ，
列表如下：
x ,0 0 0,
f x 0
f x 极小值
所以，函数 y f x 的极小值为 00 0 1 1f e ；
（2） 1 2,2x ， 2 1,2x ，使得 1 2f x g x ，即 min minf x g x ，
min min 1g x f x .
①当 0m 时，函数 y g x 单调递增， min 1g x g m ，
1m ，即 1m > ；
②当 0m 时，函数 y g x 单调递减， min 2 2g x g m ， 2 1m ，即 1
2m ；
③当 0m 时， 0g x ，不符合题意.综上： 1, 1,2m .
故答案为： 1 ； 1, 1,2
.
四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.已知函数 0x af x ax
，且满足 1 12f
．
（1）求实数 a 的值；
（2）设函数 ( )f xg x x
，求 g x 在 1 ,42
上的最大值；
（3）若存在实数 m ，使得关于 x 的方程 2 22( ) 2 0x a x x a mx 恰有 4 个不同的正根，
求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） 1a ；（2） 2 ；（3） 10,16
.
【解析】（1）由
1
1 2 112
2
a
f
，
解得： 1a 或 0a ，又 0a ， 1a\ = ；
（2）由（1）知： 1xf x x
， 2
1xg x x
，
当 1 12 x 时，
2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 4
xg x x x x x
，
又 1 12 x ， 1 2x ，
当 1 2x
时， max( ) 2g x ；
当1 4x 时，
2
2 2
1 1 1 1 1 1( ) 2 4
xg x x x x x
，
又 1 4x ， 1 1 14 x
，
当 1
2x 时， max
1( ) 4g x ；
综上所述：当 1 2x
时，即 2x 时， max( ) 2g x ；
（3） 2 22( 1) | 1| 2 0x x x mx 恰有 4 个不同的正根，
2
2
1 12 2 0x x mx x
恰有 4 个不同的正根，
即 22 2 0f x f x m 恰有 4 个不同的正根，
令 t f x ，则方程可化为： 22 2 0t t m ．
要使原方程有 4 个不同的正根，则方程 22 2 0t t m 在 0,1 有两个不等的根 1t ， 2t ，
即：
2
1 16 0
2 0
2 1 1 2 0
m
m
m
，解得： 10 16m ，
实数 m 的取值范围为 10,16
．
12.已知 2( ) ln 2
af x x x x ．
（1）当 0a 时，求 ( )f x 的极值；
（2）当 1a 时，判断函数 ( )f x 的单调性；
（3）当 0a 时，若 ( ) ( ) ( 1)g x f x a x 在 1x 处取得极大值，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）极小值为 1
e
，无极大值，（2）见解析（3） (1, )
【解析】 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，当 0a 时， ( ) lnf x x x ，则 ( ) 1 lnf x x ，
由 ( ) 0f x 得 1x e
，当 10, ex
时， ( ) 0f x ，函数单调递减；
当 1 ,x e
时， ( ) 0f x ，函数单调递增，故当 1x e
时取得极小值为 1 1( )f e e
，
无极大值.
（2）当 1a 时， 21( ) ln 2f x x x x ， ( ) 1 lnf x x x ，
设 ( ) ( )x f x ，则 1 1( ) 1 xx x x
，当 (0,1)x 时， ( ) 0x ，当 (1, )x 时，
( ) 0x ，
所以 ( )x 在 (0,1) 上调递增，在 (1, ) 上单调递减， max (1) 0x ，
所以当 0x 时， ( ) 0x ，即 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减．
（3）由已知得 2( ) ln ( 1)2
ag x x x x a x ，则 ( ) lng x x ax a ，
记 ( ) lnh x x ax a ，则 (1) 0h ， 1 1( ) axh x ax x
，令 ( ) 0h x ，得 1x a
．
①若 0 1a ，则 1 1a
，当 10,x a
时， ( ) 0h x ，故函数 ( )h x 在 10, a
上单调递增，
且当 (0,1)x 时， ( ) (1) 0h x h ，即 ( ) 0g x ；
当 11,x a
时， ( ) (1) 0h x h ，即 ( ) 0g x ，又 (1) 0g ，
所以 ( )g x 在 1x 处取得极小值，不满足题意．
②若 1a ，则当 (0,1)x 时， ( ) 0h x ，故 ( )h x 在 (0,1) 上单调递增；
当 (1, )x 时， ( ) 0h x ，故 ( )h x 在 (1, ) 上单调递减，所以当 (0, )x 时，
( ) (1) 0h x h ，即 ( ) 0g x ，故 ( )g x 在 (0, ) 上单调递减，不满足题意．
③若 1a ，则 10 1a
，当 1 ,x a
时， ( ) 0h x ，故 ( )h x 在 1 ,a
上单调递减，
且当 1 ,1x a
时， ( ) (1) 0h x h ，即 ( ) 0g x ；当 (1, )x 时， ( ) (1) 0h x h ，即
( ) 0g x ，
又 (1) 0g ，所以 ( )g x 在 1x 处取得极大值，满足题意．
综上，实数 a 的取值范围是 (1, ) ．
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