2021年中考数学压轴题专项训练圆的综合含解析
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2021年中考数学压轴题专项训练圆的综合含解析

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资料简介
2021 年中考数学压轴题专项训练《圆的综合》 1.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ,AC 为直径,DE⊥BC,垂足为 E. (1)求证:CD 平分∠ACE; (2)若 AC=8,CE=3,求 CD 的长. (1)证明:∵四边形 ABCD 是⊙O 内接四边形, ∴∠BAD+∠BCD=18 0°, ∵∠BCD+∠DCE=180°, ∴∠DCE=∠BAD, ∵ , ∴∠BAD=∠ACD, ∴∠DCE=∠ACD, ∴CD 平分∠ACE; (2)解:∵AC 为直径, ∴∠AD C=90°, ∵DE⊥BC, ∴∠DEC=90°, ∴∠DEC=∠ADC, ∵∠DCE=∠ACD, ∴△DCE∽△ACD, ∴ ,即 , ∴ . 2.如图,AB 为⊙O 的直径,C、F 为⊙O 上两点,且点 C 为 的中点,过点 C 作 AF 的 垂线,交 AF 的延长线于点 E,交 AB 的延长线于点 D. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)当 BD=2,sinD= 时,求 AE 的长. (1)证明:连接 OC,如图, ∵点 C 为弧 BF 的中点, ∴弧 BC=弧 CF. ∴∠BAC=∠FAC, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC. ∴∠OCA=∠FAC, ∴OC∥AE, ∵AE⊥DE, ∴OC⊥DE. ∴DE 是⊙O 的切线; (2)∵sinD= = , ∴设 OC=3x,OD=5x, 则 5x=3x+2, ∴x=1, ∴OC=3,OD=5, ∴AD=8, ∵sinD= = = , ∴AE= . 3.如图,已知 直线 l 切⊙O 于点 A,B 为⊙ O 上一点,过点 B 作 BC⊥l,垂足为点 C,连 接 AB、OB. (1)求证:∠ABC=∠ABO; (2)若 AB= ,AC=1,求⊙O 的半径. (1)证明:连接 OA, ∵OB=OA, ∴∠OBA=∠OAB, ∵AC 切⊙O 于 A, ∴OA⊥AC, ∵BC⊥AC, ∴OA∥BC, ∴∠OBA=∠ABC, ∴∠ABC=∠ABO; (2)解:过 O 作 OD⊥BC 于 D, ∵OD⊥BC,BC⊥AC,OA⊥AC, ∴∠ODC=∠DCA=∠OAC=90°, ∴OD=AC=1, 在 Rt△ACB 中,AB= ,AC=1,由勾股定理得:BC= =3, ∵OD⊥BC,OD 过 O, ∴BD=DC= BC= =1.5, 在 Rt△ODB 中,由勾股定理得:OB= = , 即⊙O 的半径是 . 4.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E, AD⊥EC 交 EC 的延长线于点 D,连接 AC. (1)求证:AC 平分∠DAE; (2)若 cos∠DAE= ,BE=2,求⊙O 的半径. (1)证明:连接 OC, ∵DE 是⊙O 的切线, ∴OC⊥DE, ∵AD⊥DE, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC, ∴∠DAC=∠OAC, ∴AC 平分∠DAE; (2)解:设⊙O 的半径为 r, ∵OC∥AD, ∴∠DAE=∠COE, ∴cos∠DAE=cos∠COE= ,BE=2, ∴ = , 解得:r=4, 即⊙O 的半径为 4. 5.如图 a,AB 为⊙O 直径,AC 为⊙O 的为弦,PA 为⊙O 的切线,∠APC=2∠1. (1)求证:PC 是⊙O 的切线. (2)当∠1=30°,AB=4 时,其他条件不变,求图 b 中阴影部分的面积. (1)证明:连结 OC, 在圆 O 中,OA=OC, ∴∠BOC=2∠1=∠APC,∠BOC+∠AOC=180°, ∴∠APC+∠AOC=180°, ∵PA 为⊙O 的切线, ∴∠OAP=90° 又四边形内角和为 360°, ∴∠OCP=90°,OC 为⊙O 的半径, ∴PC 为⊙O 的切线; (2)解:PA 为⊙O 的切线,PC 为⊙O 的切线. ∴PA=PC, ∵∠1=30°,∠APC=2∠1, ∴∠APC=60°, ∴△APC 为等边三角形, 连结 OP,OC, ∵S 四边形 AOCP=2× ×2×2=4,S 扇形 AOC=×π×4=π, ∴S 阴影部分的面积=4﹣π. 6.如图,线段 AB 经过⊙O 的圆心,交⊙O 于 A,C 两点,BC=1,AD 为⊙O 的弦,连 接 BD,∠BAD=∠ABD=30°,连接 DO 并延长交⊙O 于点 E,连接 BE 交⊙O 于点 M. (1)求证:直线 BD 是⊙O 的切线; (2)求切线 BD 的长; (3)求线段 BM 的长. (1)证明:∵∠BAD=∠ABD=30°, ∴∠DOB=2∠BAD=60°, ∴∠ODB=180°﹣30°﹣60°=90°, 即 OD⊥BD, ∵OD 过 O, ∴直线 BD 是⊙O 的切线; (2)解:设 OD=OC=r, 在 Rt△BDO 中,sin30°= = , 解得:r=1, 即 OD=1,OB=1+1=2, 由勾股定理得:BD= = ; (3)解:连接 DM, ∵DE 是⊙O 的直径, ∴∠DME=90°, 即∠DMB=∠BDE=90°, ∵∠DBM=∠DBE, ∴△BMD∽△BDE, ∴ , ∴ , 解得:BM= . 7.如图,四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,且 AC 为⊙O 的直径, = ,延长 BC 到 E,使得 BE=AB,连接 DE. (1)求证:AD=DE; (2)若 DE 为⊙O 的切线,且 DE=2 ,求 的长度. (1)证明:连接 BD, ∵ = , ∴∠ABD=∠DBE, ∵AB=BE,BD=BD, ∴△ABD≌△EBD(SAS), ∴AD=DE; (2)解:连接 OD, ∵ = , ∴AD=CD, ∵AD=DE, ∴CD=DE, ∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠B=∠ADC=90°, ∵AD=CD,O 为 AC 的中点, ∴∠ODE= ∠ADC=45°, ∵DE 为⊙O 的切线, ∴∠ODE=90, ∴∠CDE=45°, ∴∠ADE=90°+45°=135°, ∵CD=DE, ∴∠DCE=∠DEC=67.5°, ∴∠BAD=67.5°, ∵AD=CD,∠ADC=90°, ∴∠DAC=45°, ∴∠BAC=22.5°, ∴AD=CD=2 , ∴AC=4, ∴OC=2, ∴ 的长度是 = . 8.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,OD⊥AC,垂足为 D 点,直线 OD 与⊙O 相交于 E,F 两点,P 是⊙O 外一点,P 在直线 OD 上,连接 PA,PB,PC,且满足∠PCA =∠ABC (1)求证:PA=PC; (2)求证:PA 是⊙O 的切线; (3)若 BC=8, ,求 DE 的长. (1)证明∵OD⊥AC, ∴AD=CD, ∴PD 是 AC 的垂直平分线, ∴PA=PC, (2)证明:由(1)知:PA=PC, ∴∠PAC=∠PCA. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠CBA=90°. 又∵∠PCA=∠ABC, ∴∠PCA+∠CAB=90°, ∴∠CAB+∠PAC=90°,即 AB⊥PA, ∴PA 是⊙O 的切线; (3)解:∵AD=CD,OA=OB, ∴OD∥BC,OD= BC= =4, ∵ = , 设 AB=3a,DF=2a, ∵AB=EF, ∴DE=3a﹣2a=a, ∴OD=4= ﹣a, a=8, ∴DE=8. 9.如图,C 是 上的一定点,D 是弦 AB 上的一定点,P 是弦 CB 上的一动点,连接 DP, 将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段 PD′,射线 PD′与 交于点 Q.已知 BC=6cm,设 P,C 两点间的距离为 xcm,P,D 两点间的距离为 y1cm,P,Q 两点间 的距离为 y2cm. 小石根据学习函数的经验,分别对函数 y1,y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探 究,下面是小石的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量,分别得到了 y1,y2 与 x 的几组对 应值: x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 4.29 3.33 1.65 1.22 1.50 2.24 y2/cm 0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.20 0.98 (2)在同一平面直角坐标系 xOy 中,描出补全后的表中各组数据所对应的点(x,y1), (x,y2),并画出函数 y1,y2 的图象; (3)结合函数图象,解决问题:连接 DQ,当△DPQ 为等腰三角形时,PC 的长度约为 1.3 或 5.7 cm.(结果保留一位小数) 解:(1)观察图象发现规律可知: 表格数据为:2.44; (2)如图所示: 即为两个函数 y1,y2 的图象; (3)观察图象可知: 两个图象的交点的横坐标即为△DPQ 为等腰三角形时,PC 的长度, 两个交点的横坐标为 1.3 和 5.7. 故答案为:1.3 或 5.7. 10.如图(1),某数学活动小组经探究发现:在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 P,此 时 PA•PB=PC•PD (1)如图(2),若 AB 与 CD 相交于圆外一点 P,上面的结论是否成立?请说明理由. (2)如图(3),将 PD 绕点 P 逆时针旋转至与⊙O 相切于点 C,直接写出 PA、PB、PC 之间的数量关系. (3)如图(3),直接利用(2)的结论,求当 PC= ,PA=1 时,阴影部分的面 积. 解:(1)成立.理由如下: 如图(2),连接 AD、BC, 则∠B=∠D ∵∠P=∠P ∴△PAD∽△PCB ∴ = ∴PA•PB=PC•PD; (2)PC2=PA•PB 理由如下: 如图(3),连接 BC,OC, ∵PC 与⊙O 相切于点 C, ∴∠PCO=90°, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90° ∴∠PCA=∠OCB ∵OC=OB ∴∠OCB=∠OBC ∴∠PCA=∠OBC ∵∠P=∠P ∴△PCA∽△PBC ∴PC:PB=PA:PC ∴PC2=PA•PB. (3)如图(3),连接 OC, ∵PC2=PA•PB,PC= ,PA=1 ∴PB=3,AO=CO=1 ∴PO=2 ∵PC 与⊙O 相切于点 C, ∴△PCO 是直角三角形 ∴sin∠CPO= = ∴∠CPO=30°,∠COP=60° ∴△AOC 为等边三角形 ∴S△AOC= = S 扇形 AOC= = ∴S 阴影=S 扇形 AOC﹣S△AOC = ﹣ . 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,2),点 B 在 x 轴上,以 AB 为直径作⊙C, 点 P 在 y 轴上,且在点 A 上方,过点 P 作⊙C 的切线 PQ,Q 为切点,如果点 Q 在第一 象限,则称 Q 为点 P 的离点.例如,图 1 中的 Q 为点 P 的一个离点. (1)已知点 P(0,3),Q 为 P 的离点. ①如图 2,若 B(0,0),则圆心 C 的坐标为 (0,1) ,线段 PQ 的长为 ; ②若 B(2,0),求线段 PQ 的长; (2)已知 1≤PA≤2,直线 l: y=kx+k+3(k≠0). ①当 k=1 时,若直线 l 上存在 P 的离点 Q,则点 Q 纵坐标 t 的最大值为 6 ; ②记直线 l:y=kx+k+3(k≠0)在﹣1≤x≤1 的部分为图形 G,如果图形 G 上存在 P 的离点,直接写出 k 的取值范围. 解:(1)①如图可知:C(0,1), 在 Rt△PQC 中,CQ=1,PC=2, ∴PQ= , 故答案为(0,1); ; ②如图,过 C 作 CM⊥y 轴于点 M,连接 CP,CQ. ∵A(0,2),B(2,0), ∴C(1,1). ∴M(0,1). 在 Rt△ACM 中,由勾股定理可得 CA= . ∴CQ= . ∵P(0,3),M(0,1), ∴PM=2. 在 Rt△PCM 中,由勾股定理可得 PC= . 在 Rt△PCQ 中,由勾股定理可得 PQ= = . (2)①如图 1:当 k=1 时,y=x+4, ∴Q(t﹣2,t), ∴CQ= , 当 t=2 时,CQ 最大, 在 Rt△CDQ 中,CD= ,CQ 最大则 DQ 最大, ∴Q(2,6), 故答案为 6; ②∵﹣1≤x≤1, Q 点的在端点(﹣1,3)和(1,2k+4)之间运动, 当 Q 在(1,2k+4),P(0,4)时, 直线 PQ 的解析式 y=(2k﹣1)x+4, 点 C(1,1)到直线 PQ 的距离为 时,可得 k=0 或 k=4, ∴0<k<4. 12.已知 AB 为⊙O 的直径. (1)如图 a,点 D 为 的中点,当弦 BD=AC 时,求∠A. (2)如图 b,点 D 为 的中点,当 AB=6,点 E 为 BD 的中点时,求 OE 的长. (3)如图 c,点 D 为 上任意一点(不与 A、C 重合),若点 C 为的中点,探求 BD、 AD、CD 之间的数量关系,直接写出你探求的结论,不要求证明. 解:(1)如图 1,连结 OC, 点 D 为 的中点, ∴ = ═ , ∵弦 BD=AC, ∴ = , ∴ ═ = ,即点 C 为 的中点. ∴ = ═ ∠A= ∠COB= × ×180°=30°. (2)如图 2,连结 OD,BC,OD 交 AC 于点 F, AB 为⊙O 的直径, ∴∠C=90o 点 D 为 的中点,半径 OD 所在的直线为⊙O 的对称轴, 则点 A 的对应点为 C, ∴OD⊥AC,OD 平分 AC,即:AF=CF, 在△DEF 和△BEC 中, , ∴△DEF≌△BEC (AAS), ∴CE=EF,BC=DF, ∵AO=BO,AF=CF, ∴OF= BC= DF,又 AB=6, ∴OD=3 ∴OF=1,BC=DF=2. 在 Rt△ABC 中,AB=6,BC=2, ∴AC= = =4 , ∵点 F 为 AC 的中点,点 E 为 FC 的中点 ∴EF= , 在 Rt△OFE 中,EF= ,OF=1, ∴OE= = = . (3)BD、AD、CD 之间的关系为:BD﹣AD= CD, 如图 3,连接 BC,OC, ∵AB 为⊙O 的直径,点 C 为 的中点, ∴∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠BAC=∠BDC=45°, 过点 C 作 CF⊥CD 交 BD 于点 F, ∴△DCF 是等腰直角三角形, ∴ , ∵∠ACD=∠BCF=90°﹣∠ACF, 又∵AC=BC,CD=CF ∴△ACD≌△BCF(SAS) , ∴AD=BF, ∵BD=BF+DF, ∴BD=AD+ CD, 即 BD﹣AD= CD. 13.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=30°,AB=10,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 点 D,交 AC 于点 E,连接 DE,过点 B 作 BP 平行于 DE,交⊙O 于点 P,连接 CP、OP. (1)求证:点 D 为 BC 的中点; (2)求 AP 的长度; (3)求证:CP 是⊙O 的切线. 解:(1)BD=DC.理由如下: 如图 1,连接 AD, ∵AB 是直径, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BC. (2)如图 1,连接 AP. ∵AD 是等腰△ABC 底边上的中线, ∴∠BAD=∠CAD, ∴ = , ∴BD=DE. ∴BD=DE=DC, ∴∠DEC=∠DCE, △ABC 中,AB=AC,∠A=30°, ∴∠DCE=∠ABC= (180°﹣30°)=75°, ∴∠DEC=75°, ∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°, ∵BP∥DE, ∴∠PBC=∠EDC=30°, ∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°, ∵OB=OP, ∴∠OBP=∠OPB=45°, ∴∠BOP=90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形. ∵AO= AB=5. ∴AP= AO=5 ; (3)解法一:设 OP 交 AC 于点 G,如图 1,则∠AOG=∠BOP=90°, 在 Rt△AOG 中,∠OAG=30°, ∴ = , 又∵ = = , ∴ = , ∴ = . 又∵∠AGO=∠CGP, ∴△AOG∽△CPG, ∴∠GPC=∠AOG=90°, ∴OP⊥PC, ∴CP 是⊙O 的切线; 解法二:如图 2,作 CM⊥AB 于 M, ∵∠BOP=90°, ∴CM∥OP, ∵OP= AB, 在 Rt△AME 中, ∵∠BAC=30°,可 ∴CM= AC, ∴CM= AB, ∴CM=OP, ∴四边形 OPCM 是矩形, ∴∠CPO=90°, ∴CP 是圆 O 的切线. 14.如图,⊙O 的半径为 ,AB 是⊙O 的直径,F 是⊙O 上一点,连接 FO、FB.C 为 劣弧 的中点,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,CD 交 FB 于点 E,CG∥FB,交 AB 的 延长线于点 G. (1)求证:CG 是⊙O 的切线; (2)连接 BC,若 BC∥OF,如图 2. ①求 CE 的长; ②图中阴影部分的面积等于 2π . (1)证明:如图 1,连接 CO. ∵C 是 的中点, ∴∠BOC=∠FOC. 又∵OF=OB, ∴OC⊥BF. ∵CG∥FB, ∴OC⊥CG. ∴CG 是⊙O 的切线. (2)①∵OF∥CB, ∴∠AOF=∠OBC,∠COF=∠OCB. ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC. ∴∠AOF=∠COF=∠BOC=60°. ∴△OBC 是等边三角形. ∵CD⊥OB,OC⊥BF, ∴点 E 是△OBC 的重心. ∴CE=2ED= CD. 又∵⊙O 的半径为 , ∴可求得:CD=OC•sin60°=2 × =3,DE=1, ∴CE=2; ② . 故答案是:2π.

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