2021年中考数学压轴题专项训练图形的相似含解析

2021 年中考数学压轴题专项训练《图形的相似》 1．如图 1，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上 以每秒 3cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 2cm 的速 度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜2），连接 PQ． （1）若△BPQ 与△ABC 相似，求 t 的值； （2）（如图 2）连接 AQ，CP，若 AQ⊥CP，求 t 的值． 解：（1）①当△BPQ∽△BAC 时， ∵ ，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴ ， ∴ ； ②当△BPQ∽△BCA 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 时，△BPQ 与△ABC 相似； （2）如图所示，过 P 作 PM⊥BC 于点 M，AQ，CP 交于点 N， 则有 PB＝3t， ， ， ， ∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM 且∠ACQ＝∠PMC＝90°， ∴△ACQ∽△CMP， ∴ ， ∴ 解得： ； 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，﹣1）， 请解答下列问题： （1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1，点 A1 的坐标为 （2，1） ； （2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把△A1B1C1 按相似比 2：1 放大，得到△A2B2C2， 请画出△A2B2C2；若边 AC 上任意一点 P 的坐标为（m，n），则两次变换后对应点 P2 的坐标 为 （﹣2m+3，2n+3） ． 解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；点 A1 的坐标为（2，1）； 故答案为：（2，1）； （2）如图所示，△A2B2C2 即为所求；P2 的坐标为（﹣2m+3，2n+3）． 故答案为：（﹣2m+3，2n+3）． 3．综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题 问题情境： 已知正方形 ABCD 中，点 O 在 BC 边上，且 OB＝2OC．将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转得 到正方形 A′B′C′D′（点 A′，B′，C′，D′分别是点 A，B，C，D 的对应点）．同学 们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析：（1）“乐思”小组提出问题： 如图 1，当点 B′落在正方形 ABCD 的对角线 BD 上时，设线段 A′B′与 CD 交于点 M．求证：四边形 OB′MC 是矩形； （2）“善学”小组提出问题：如图 2，当线段 A′D′经过点 D 时 ，猜想线段 C′O 与 D ′D 满足的数量关系，并说明理由； 深入探究： （3）请从下面 A，B 两题中任选一题作答．我选择 A 题． A．在图 2 中连接 AA′和 BB′，请直接写出 的值． B．“好问”小组提出问题：如图 3，在正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转的过程中，设直线 BB′交线段 AA′于点 P．连接 OP，并过点 O 作 OQ⊥BB′于点 Q．请在图 3 中补全图形， 并直接写出 的值． （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD，∠C＝90°， ∴∠CBD＝∠CDB＝45°； 由旋转可知，OB＝OB’， ∴∠OB’B＝∠OBB’＝45°， ∵∠B’OC 是△BOB’的一个外角， ∴∠B’OC＝∠OB’B+∠OBB’＝45°+45°＝90°， ∵四边形 A’B’C’D’是正方形， ∴∠OB’M＝90°， ∴四边形 OB’MC 是矩形； （2）解：D’D＝2C’O，理由如下： 如图 2①，连接 OD，OD’，过点 O 作 OE⊥D’D 于点 E，则∠OED’＝90°， 由旋转可知，OD＝OD’，则 D’D＝2D’E， ∵四边形 A’B’C’D’是正方形， ∴∠C′＝∠OED′＝90°， ∴四边形 OC’D’E 是矩形， ∴C’O＝D’E， ∴D’D＝2C’O； （3）解：A、如图 2②，连接 AA′，BB′，OA，OA′， ∵将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转得到正方形 A′B′C′D′， ∴OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′， ∴ ， ∴△OBB′∽△OAA′， ∴ ＝ ， ∵AB＝BC，OB＝2OC， ∴设 OC＝x，则 OB＝2x， ∴AB＝BC＝3x， ∴OA＝ ＝ ＝ x， ∴ ＝ ＝ ＝ ； B、如图 3，连接 OA，OA′， ∵将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转得到正方形 A′B′C′D′， ∴OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′， ∴∠OBB′＝∠OAA′， ∴点 A，B，O，P 四点共圆， ∴∠ABO+∠APO＝180°， ∴∠APO＝90°， ∵OQ⊥BB′， ∴∠BQO＝∠APO＝90°， ∴△OAP∽△OBQ， ∴ ＝ ． 4．如图，矩形 OABC 边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴上，且 OA＝8，OC＝6，连接 OB，点 D 为 OB 中点，点 E 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度运动到点 B 停止，设运动时间为 t（0＜t＜6）， 连 接 DE ， 作 DF ⊥ DE 交 OA 于 F ， 连 接 EF． （1）如图 1，当四边形 DFAE 为矩形时，求 t 的值； （2）如图 2，试证明在运动过程中，△DFE∽△ABO； （3）当 t 为何值时，△AEF 面积最大？最大值为多少？ 解：（1）∵四边形 OABC 是矩形， ∴AB＝OC＝6，∠OAB＝90°， ∵四边形 DFAE 是矩形， ∴∠BED＝90°＝∠OAB， ∴DE∥OA， ∵点 D 是 OB 的中点， ∴点 E 是 AB 中点， ∴AE＝ AB＝3， 由运动知，AE＝t， ∴t＝3； （2）如图 2 所示： 作 DM⊥OA 于 M，D N⊥AB 于 N， ∵四边形 OABC 是矩形， ∴OA⊥AB， ∴四边形 DMAN 是矩形， ∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA， ∴ ＝ ， ＝ ， ∵点 D 为 OB 的中点， ∴M、N 分别是 OA、AB 的中点， ∴DM＝ AB＝3，DN＝ OA＝4， ∵∠EDF＝90°， ∴∠FDM＝∠EDN， 又∵∠DMF＝∠DNE＝90°， ∴△DMF∽△DNE， ∴ ＝ ＝ ， ∵OA＝8，AB＝6， ∴ ， ∴ ， ∵∠FDE＝∠BAO＝90°， ∴△DFE∽△ABO； （3）如图 2，由（2）知，△DMF∽△DNE， ∴ ， 由运动知，AE＝t， 当 0＜t≤3 时，NE＝3﹣t， ∴ ， ∴MF＝ （3﹣t）， ∴AF＝AM+MF＝4+ （3﹣t）＝8﹣ t 当 3＜t＜6 时，NE＝t﹣3， ∴ ∴MF＝ （t﹣3）， ∴AF＝AM﹣MF＝4﹣ （t﹣3）＝8﹣ t， ∴S△AEF＝ AE×AF＝ •t（8﹣ t）＝﹣ （t﹣3）2+6， 当 t＝3 时，△AEF 面积最大，最大值为 6． 5．如图，∠MBN＝45°，点 P 为∠MBN 内的一个动点，过点 P 作∠BPA 与∠BPC，使得∠BPA ＝∠BPC＝135°，分别交 BM、BN 于点 A、C． （1）求证：△CPB∽△BPA； （2）连接 AC，若 AC⊥BC，试求 的值； （3）记 AP＝a，BP＝b，CP＝c，若 a+b﹣c＝20，a≥2b，且 a、b、c 为整数，求 a，b，c 的值． （1）证明：∵∠BPA＝135°， ∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°， ∵∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°， ∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP， ∴∠BAP＝∠CBP， ∵∠BPA＝∠BPC， ∴△CPB∽△BPA； （2）解：∵AC⊥BC，∠MBN＝45°， ∴△ACB 是等腰直角三角形， ∴AB＝ BC， ∵△CPB∽△BPA， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ， 设 PC＝a， 则 BP＝ a，AP＝2a， ∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝ a， ∴ ＝ ＝ ； （3）解：∵△CPB∽△BPA， ∴ ＝ ， 即 ＝ ≥2， ∴c≤ ， ∴a+b﹣c≥2b+b﹣ ＝ b， ∴ b≤20， ∴b≤8， ∵a、b、c 为整数， ∴当 b＝8 时，a＝16，c＝4； 当 b＝7 时，a＝14，c＝1； 当 b＜7 时，c＜0（不合题意舍去）， ∴a，b，c 的值分别为 16，8，4 或 14，7，1． 6．如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D 是 BC 边上一点，且 BD＝CD，G 是 BC 边上的一动点，GE∥AD 分别交直线 AC，AB 于 F，E 两点． （1）AD＝ ； （2）如图 1，当 GF＝1 时，求 的值； （3）如图 2，随点 C 位置的改变，FG+EG 是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如 果不是，请说明理由． 解：（1）∵∠BAC＝90°，且 BD＝CD， ∴AD＝ BC， ∵BC＝ ＝ ＝2 ， ∴AD＝ ×2 ＝ ， 故答案为： ； （2）如图 1，∵GF∥AD， ∴∠CFG＝∠CAD， ∵BD＝CD＝ BC＝AD＝ ， ∴∠CAD＝∠C， ∴∠CFG＝∠C， ∴CG＝FG＝1， ∴BG＝2 ﹣1， ∵AD∥GE， ∴△BGE∽△BDA， ∴ ＝ ＝ ＝ ； （3）如图 2，随点 C 位置的改变，FG+EG 是一个定值，理由如下： ∵AD＝ BC＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∵AD∥EG， ∴∠BAD＝∠E， ∴∠B＝∠E， ∴EG＝BG， 由（2）知，GF＝GC， ∴EG+FG＝BG+CG＝BC＝2 ， ∴FG+EG 是一个定值，为 2 ． 7．△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为 1cm 的线段 MN 在△ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动（运动前点 M 与点 A 重合）．过 M，N 分别作 AB 的垂线 交直角边于 P，Q 两点，线段 MN 运动的时间为 ts． （1）当 0≤t≤1 时，PM＝ tcm ，QN＝ （3﹣t）cm （用 t 的代数式表示）； （2）线段 MN 运动过程中，四边形 MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时 t 的值； 若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以 C，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 解：（1）由题意得：AM＝t， ∵PM⊥AB， ∴∠PMA＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠APM＝30°， ∴PM＝ AM＝ t． ∵∠C＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∴AB＝2AC＝4，BC＝ AC＝2 ， ∵MN＝1， ∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t， ∵QN⊥AB， ∴QN＝ BN＝ （3﹣t）； 故答案为： tcm， （3﹣t）cm． （2）四边形 MNQP 有可能成为矩形，理由如下： 由（1）得：QN＝ （3﹣t）． 由条件知，若四边形 MNQP 为矩形， 则需 PM＝QN，即 t＝ （3﹣t）， ∴t＝ ． ∴当 t＝ s 时，四边形 MNQP 为矩形； （3）由（2）知，当 t＝ s 时，四边形 MNQP 为矩形，此时 PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC． 除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC， 此时 ＝tan30°＝ ． ∵ ＝cos60°＝ ， ∴AP＝2AM＝2t． ∴CP＝2﹣2t． ∵ ＝cos30°＝ ， ∴BQ＝ （3﹣t）． 又∵BC＝2 ， ∴CQ＝2 ． ∴ ． 综上所述，当 s 或 s 时，以 C，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似． 8．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E 两点分别在 AC，BC 上，且 DE∥AB， 将△CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：当α＝0°时， 的值为 ； （2）拓展探究：当 0°≤α＜360°时，若△EDC 旋转到如图 2 的 情况时，求出 的值； （3）问题解决：当△EDC 旋转至 A，B，E 三点共线时，若设 CE＝5，AC＝4，直接写出线 段 BE 的长 7 或 1 ． 解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC 为等腰直角三角形，∠B＝45°， ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°， ∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴cos∠C＝ ＝ ， ∵DE∥AB， ∴ ＝ ＝ ， 故答案为： ； （2）由（1）知，△BAC 和△CDE 均为等腰直角三角形， ∴ ＝ ＝ ， 又∠BCE＝∠ACD＝α， ∴△BCE∽△A CD， ∴ ＝ ＝ ， 即 ＝ ； （3）①如图 3﹣1，当点 E 在线段 BA 的延长线上时， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝90°， ∴AE＝ ＝ ＝3， ∴BE＝BA+AE＝4+3＝7； ②如图 3﹣2，当点 E 在线段 BA 上时， AE＝ ＝ ＝3， ∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1， 综上所述，BE 的长为 7 或 1， 故答案为：7 或 1． 9．如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连接 DE，交 AC 于 H 点，过点 D 作 DF⊥DE， 交 BC 的延长线于 F，连接 EF 交于 AC 于点 G． （1）请写出 AE 和 CF 的数量关系： 相等 ； （2）求证：点 G 是 EF 的中点； （3）若正方形 ABCD 的边长为 4，且 AE＝1，求 GH•GA 的值． 解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC＝∠EAD＝∠DCB＝∠DCF＝90°，AD＝DC， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF， 故答案为：相等； （2）如右图，过 E 作 EM∥BC 交 AC 于 M， ∵四边形 ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴ ， ∵EM∥BC， ∴∠AEM＝∠B＝90°， ∴∠AME＝90°﹣∠EAM＝45°， ∴∠AEM＝∠EAM， ∴AE＝EM， ∵AE＝CF， ∴EM＝CF， ∵EM∥BC， ∴∠MEG＝∠GFC，∠EMG＝∠GCF， ∴△EMG≌△FCG（ASA）， ∴EG＝FG， ∴G 为 EF 的中点； （3）由（1）知△DAE≌△DCF， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEF＝45°， ∵∠BAC＝45°， ∴∠DEF＝∠BAC， ∵∠AGE＝∠AGE， ∴△GEH∽△GAE， ∴ ＝ ， ∴EG2＝GH•AG， ∵AE＝1，则 CF＝1，BF＝5， ∴EF＝ ＝ ＝ ， ∴ ． 10．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的 顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合，将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线 段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． （1）当点 Q 在线段 CA 上时，如图 1，求证：△BPE∽△CEQ． （2）当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，如图 2，△BPE 和△CEQ 是否相似？说明理由；若 BP＝1，CQ＝ ，求 PQ 的长． （1）证明：∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°， ∵∠BEQ＝∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°， ∴∠BEP＝∠EQC， ∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CEQ； （2）△BPE∽△CEQ；理由如下： ∵∠BEQ＝∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°， ∴∠BEP＝∠EQC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CEQ； ∴ ＝ ， ∵△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合， ∴BE＝CE， ∴ ＝ ， 解得：BE＝CE＝ ， ∴BC＝3 ， 在 Rt△ABC 中，AB＝AC， ∴AB＝AC＝ BC＝ ×3 ＝3， ∴AQ＝CQ﹣AC＝ ﹣3＝ ，AP＝AB﹣BP＝3﹣1＝2， 在 Rt△APQ 中，PQ＝ ＝ ＝ ． 11．已知：在△EF G 中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点 E，F 分别在矩形 ABCD 的边 AB，AD 上． （1）如图 1，当点 G 在 CD 上时，求证：△AEF≌△DFG； （2）如图 2，若 F 是 AD 的中点，FG 与 CD 相交于点 N，连接 EN，求证：EN＝AE+DN； （3）如图 3，若 AE＝AD，EG，FG 分别交 CD 于点 M，N，求证：MG2＝MN•MD 解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF+∠AFE＝90°， ∵∠EFG＝90°， ∴∠AFE+∠DFG＝90°， ∴∠AEF＝∠DFG， ∵EF＝FG， ∴△AEF≌△DFG（AAS）； （2）如图 2，， 延长 NF，EA 相交于 H， ∴∠AFH＝∠DFN， 由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°， ∴∠HAF＝∠D＝90°， ∵点 F 是 AD 的中点， ∴AF＝DF， ∴△AHF≌△DNF（ASA）， ∴AH＝DN，FH＝FN， ∵∠EFN＝90°， ∴EH＝EN， ∵EH＝AE+AH＝AE+DN， ∴EN＝AE+DN； （3）如图 3， 过点 G 作 GP⊥AD 交 AD 的延长线于 P， ∴∠P＝90°， 同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS）， ∴AF＝PG，PF＝AE， ∵AE＝AD， ∴PF＝AD， ∴AF ＝PD， ∴PG＝PD， ∵∠P＝90°， ∴∠PDG＝45°， ∴∠MDG＝45°， 在 Rt△EFG 中，EF＝FG， ∴∠FGE＝45°， ∴∠FGE＝∠GDM， ∵∠GMN＝∠DMG， ∴△MGN∽△MDG， ∴ ， MG2＝MN•MD． 12．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12． （1）如图 1，折叠△ABC 使点 A 落在 AC 边上的点 D 处，折痕交 AC、AB 分别于 Q、H，若 S△ABC＝9S△DHQ，则 HQ＝ 4 ． （2）如图 2，折叠△ABC 使点 A 落在 BC 边上的点 M 处，折痕交 AC、AB 分别于 E、F．若 FM∥AC，求证：四边形 AEMF 是菱形； （3）在（1）（2）的条件下，线段 CQ 上是否存在点 P，使得△CMP 和△HQP 相似？若存在， 求出 PQ 的长；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图 1 中， 在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12， ∴AC＝ ＝16，设 HQ＝x， ∵HQ∥BC， ∴ ＝ ， ∴ ， ∴AQ＝ x， ∵S△ABC＝9S△DHQ， ∴ ×16×12＝9× ×x× x， ∴x＝4 或﹣4（舍弃）， ∴HQ＝4， 故答案为 4． （2）如图 2 中， 由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE， ∵FM∥AC， ∴∠AEF＝∠MFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝MF＝ME， ∴四边形 AEMF 是菱形． （3）如图 3 中， 设 AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则 BM＝3m，FB＝5m， ∴4m+5m＝20， ∴m＝ ， ∴AE＝EM＝ ， ∴EC＝AC﹣AE＝16﹣ ＝ ， ∴CM＝ ＝ ， ∵QH＝4，AQ＝ ， ∴QC＝ ，设 PQ＝x， 当 ＝ 时，△HQP∽△MCP， ∴ ， 解得：x＝ ， 当 ＝ 时，△HQP∽△PCM， ∴ 解得：x＝8 或 ， 经检验：x＝10 或 是分式方程的解，且符合题意， 综上所述，满足条件长 QP 的值为 或 8 或 ． 13．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝16，点 D 为 BC 边上的一个动点（点 D 不与点 B、 点 C 重合）．以 D 为顶点作∠ADE＝∠B，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AF⊥AD 交射线 DE 于点 F． （1）求证：AB•CE＝BD•CD； （2）当 DF 平分∠ADC 时，求 AE 的长； （3）当△AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长． （1）证明：∵AB＝ AC， ∴∠B＝∠C， ∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C， ∴△BAD∽△CDE， ∴ ＝ ，即 AB•CE＝BD•CD； （2）解：∵DF 平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵∠CDE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴DF∥AB， ∴ ＝ ， ∵∠BAD＝∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B， ∴△BDA∽△BAC， ∴ ＝ ，即 ＝ 解得，BD＝ ， ∴ ＝ ， 解得，AE＝ ； （3）解：作 AH⊥BC 于 H， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝HC＝ BC＝8， 由勾股定理得，AH＝ ＝ ＝6， ∴tanB＝ ＝ ， ∴tan∠ADF＝ ＝ ， 设 AF＝3x，则 AD＝4x， 由勾股定理得，DF＝ ＝5x， ∵△BAD∽△CDE， ∴ ＝ ， 当点 F 在 DE 的延长线上，FA＝FE 时，DE＝5x﹣3x＝2x， ∴ ＝ ， 解得，CD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝11， 当 EA＝EF 时，DE＝EF＝2.5x， ∴ ＝ ， 解得，CD＝ ， ∴BD＝BC﹣CD＝ ； 当 AE＝AF＝3x 时，DE＝ x， ∴ ＝ ， 解得，CD＝ ， ∴BD＝BC﹣CD＝ ； 当点 F 在线段 DE 上时，∠AFE 为钝角， ∴只有 FA＝FE＝3x，则 DE＝8x， ∴ ＝ ， 解得，CD＝20＞16，不合题意， ∴△AEF 是等腰三角形时，BD 的长为 11 或 或 ． 14．如图，已知平行四边形 ABCD 中，AD＝ ，AB＝5，tanA＝2，点 E 在射线 AD 上，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为点 E，交射线 AB 于点 F，交射线 CB 于点 G，联结 CE、CF，设 AE＝m． （1）当点 E 在边 AD 上时， ①求△CEF 的面积；（用含 m 的代数式表示） ②当 S△DCE＝4S△BFG 时，求 AE：ED 的值； （2）当点 E 在边 AD 的延长线上时，如果△AEF 与△CFG 相似，求 m 的值． 解：（1）①∵EF⊥AD， ∴∠AEF＝90°， 在 Rt△AEF 中，tanA＝2，AE＝m， ∴EF＝AEtanA＝2m， 根据勾股定理得，AF＝ ＝ m， ∵AB＝5， ∴BF＝5﹣ m， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC＝AD＝ ，AD∥BC， ∴∠G＝∠AEF＝90°， ∴△AEF∽△BGF， ∴ ， ∴ ， ∴BG＝ ﹣m， ∴CG＝BC+BG＝ + ﹣m＝2 ﹣m， ∴S△CEF＝ EF•CG＝ •2m•（2 ﹣m）＝2 m﹣m2； ②由①知，△AEF∽△BGF， ∴ ， ∴FG＝ •EF＝ •2m＝2（ ﹣m）， ∴EG＝EF+FG＝2m+2（ ﹣m）＝2 ， ∴S△CDE＝ DE•EG＝ （ ﹣m）•2 ＝5﹣ m， S△BFG＝ BG•FG＝ （ ﹣m）•2（ ﹣m）＝（ ﹣m）2， S△DCE＝4S△BFG 时， ∴5﹣ m＝4（ ﹣m）2， ∴m＝ （舍）或 m＝ ， ∴DE＝AD﹣AE＝ ﹣ ＝ ， ∴AE：ED＝ ： ＝3， 即：AE：ED 的值为 3； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC＝AD＝ ，AD∥BC， ∵EF⊥AD， ∴EF⊥BC， ∴∠AEF＝∠CGF＝90°， ∵△AEF 与△CFG 相似， ∴①当△AEF∽△CGF 时，如图 1， ∴∠AFE＝∠CFG， ∵EF⊥BC， ∴BG＝ BC＝ ， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠A， ∵tanA＝2， ∴tan∠CBF＝2， 在 Rt△BGF 中，FG＝BGtan∠CBF＝ ， 根据勾股定理得， BF＝ ＝ ， ∴AF＝AB+BF＝5+ ＝ ， ∵BC∥AD， ∴△BGF∽△AEF， ∴ ， ∴ ， ∴m＝ ； ②当△AEF∽△CGF 时，如图 2， ∴∠EAF＝∠GFC， ∵∠EAF+∠AFE＝90°， ∴∠GFC+∠AFE＝90°， ∴∠AFC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠A， ∴tan∠CBF＝tanA＝2， 在 R△BFC 中，CF＝BF•∠CBF＝2BF， 根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2， ∴BF2+4BF2＝（ ）2， ∴BF＝1， ∴AF＝AB+BF＝6， 在 Rt△BGF 中，同理：BG＝ ， ∵AD∥BC， ∴△BGF∽△AEF， ∴ ， ∴ ， ∴m＝ ． 即：如果△AEF 与△CFG 相似，m 的值为 或 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，过原点 O 及 A（8，0）、C（0，6）作矩形 OABC，连接 AC， 一块直角三角形 PDE 的直角顶点 P 始终在对角线 AC 上运动（不与 A、C 重合），且保持一 边 PD 始终经过矩形点 B，PE 交 x 轴于点 Q （1） ＝ ； （2）在点 P 从点 C 运动到点 A 的过程中， 的值是否发生变化？如果变化，请求出其 变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值； （3）若将△QAB 沿直线 BQ 折叠后，点 A 与点 P 重合，则 PC 的长为 2.8 ． 解：（1）∵A（8，0）、C（0，6）， ∴OA＝8，OC＝6， ∵四边形 OABC 是矩形， ∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6， ∴ ＝ ＝ ， 故答案为： ； （2） 的值不发生变化， ＝ ，理由如下： ∵∠OAB＝∠BPQ＝90°， ∴∠AOB+∠BPQ＝180°， ∴A、B、P、Q 四点共圆， ∴∠PQB＝∠PAB， ∵∠ABC＝∠BPQ＝90°， ∴△PBQ∽△BCA， ∴ ＝ ＝ ； （3）设 BQ 交 AP 于 M，如图所示： 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝10， 由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM， ∴∠AMB＝90°＝∠ABC， ∵∠BAM＝∠CAB， ∴△ABM∽△ACB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：AM＝3.6， ∴PA＝2AM＝7.2， ∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8； 故答案为：2.8．