北师大版数学八年级下册课件：6.4.多边形的内角和与外角和(共28张PPT)

4.多边形的内角和与外角和 北师版·八年级数学下册 新课导入 三角形是如何定义的？ 思考 三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条 线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形. 仿照三角形定义，你能学 着给四边形.五边形……n 边形下定义吗？ 在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾 顺次连接组成的封闭图形叫做多边形. . .. . . 顶点 对角线边 内角 外角 推进新课 (1)上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设 法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流. (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形 的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？ 图6-22 图6-23 五边形的内角和等于3个三角 形内角和之和： 180°×3 = 540° 五边形的内角和等于5个三角 形内角和之和减去一个周角： 180°×5－360° = 540° 你还有其他的方 法吗？ 按照图6-22的方法，六边形能分成多少个三角 形？n边形呢？你能确定n边形的内角和吗？ 想一想 4个 …… 多边形边数 从一个顶点引出 的对角线条数 分割成的三角形 个数 多边形内角和 三角形（n=3） 四边形（n=4） 五边形（n=5） 六边形（n=6） …… n边形 0 1 180° 1 2 360° 2 3 540° 3 4 720° n－3 n－2 （n－2）·180° 归纳小结 定理 n边形的内角和等于(n-2)·180° （n是大于或等于3的自然数）. 按照图6-22的方法再试一试. 例1 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°. ∠B与∠D有怎样的关系？ 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D =（4－2）×180°=360°， ∴ ∠B+∠D =360°－（ ∠A+∠C ） =360°－180°=180°. 如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补. 观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 想一想 正多边形定义：在平面内，每个内角都相等、每条 边也都相等的多边形叫做正多边形。 1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？ 2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ 思考 1. 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正 八边形的内角分别是多少度？ 练习 60° 90° 108° 120° 135° 正n边形呢？  2 180n n   o 2. 小彬求出一个正多边形的一个内角为145°.他 的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内 角？如果不正确，请说明理由. 如图，小刚沿一个五边 形广场周围的小路，按逆时 针方向跑步. （1）小刚每从一条小路转 到下一条小路时，跑步方向 改变的角是哪个角？在图上 标出这些角. （2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几 个？它们的和是多少？ 小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别 是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5. ∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°， ∠5+∠DEA=180°， ∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+ ∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900° ∵五边形的内角和为（5－2）×180°=540°， 即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540° ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360° 1 .如果广场的形状是六边形，那么还有类 似的结论吗？ 问题延伸 2 .如果广场的形状是八边形呢？ 6×180°－（6－2）×180°=360° 8×180°－（8－2）×180°=360° 1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的 角叫做这个多边形的外角. 2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和 叫做这个多边形的外角和. 归纳小结 定理 多边形的外角和都等于360°. 1 . 还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？ 思考 2 . 利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形 内角和的结论？ 例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍， 它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n －2）·180°，外角和等于360°.根据题意，得 （n－2）·180°=3×360°. 解得n=8. 所以，这个多边形是八边形. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？ 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角 等于多少度？ 练习 随堂练习 1.四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°， 则∠B的度数是（ ） A ． 8 0 ° B ． 9 0 ° C ． 1 7 0 ° D．20° 2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边 形的边数是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 A B 3．内角和等于外角和2倍的多边形是（ ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 4．六边形的内角和等于______度． 5．正十边形的每一个内角的度数等于______， 每一个外角的度数等于______． B 720 144° 36° 6.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C= 90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与 DF有怎样的位置关系？为什么？ 解：BE∥DF． 理由：∵∠A=∠C=90°， ∴∠A+∠C=180°． ∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°． ∵∠ABE=1/2∠ABC，∠ADF=1/2∠ADC， ∴∠ABE+∠ADF= 1/2（∠ABC+∠ADC）=1/2 ×180°=90°． 又∵∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠AEB=∠ADF， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 7. 如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径 画圆，求圆与五边形重合的面积． 解：（5-2）×180°÷360°×12×π=1.5π． 课堂小结 谈谈你在这节课中，有什么收获？ 1.完成课本P155习题6.7；P157习题6.8， 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业