综合训练题4-人教版九年级数学下册课堂训练

人教版九年级数学下册综合训练题 4 考试时间：100 分钟；总分：120 分 一、单选题(每题 3分，共 36 分，将唯一正确答案的代号填在题后的括号内) 1．若点 P1(-1, y1)和 P2(-2, y2)是反比例函数 2 1ky x    （k为常数）图象上的两点， 则 y1和 y2的大小关系为（ ） A．y1=y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．不能确定 2．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则 sinA的值为（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 A、C的坐标分别是(1, 2)、(3, 1)，以 原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似 比为 2︰1，则线段 DF的长度为（ ） A． 5 B．2 C．4 D． 2 5 2题图 4题图 4．如图，小明夜晚从路灯下 A处走到 B处这一过程中，他在路上的影子（ ） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．长度不变 D．先变短后变长 5．红星中学冬季储煤 120吨，若每天用煤 x吨，则使用天数 y与 x的函数关系的大 致图象是（ ） A． B． C． D． 6．下列说法中，不正确的是（ ） A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是 100°的两个等腰三角形相似 7．若一个正 n边形(n为大于 2的整数）的半径为 r，则这个正 n变形的边心距为（ ） A． 360sinr n   B． 360cosr n   C． 180sinr n   D． 180cosr n   8．下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，小正方形的边长均为 1，则下面 4个阴影部分三角形中，能与△EFG相似 的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点 A的坐标为(﹣1，1)，点 B在 x轴正半轴上，点 D在第三象限的双曲线 y＝ 8 x 上，过点 C作 CE∥ x轴交双曲线于 点 E，则 CE的长为( ) A． 8 5 B． 23 5 C．3.5 D．5 9题图 11题图 12题图 11．如图，已知 A(3，6)、B(0，n)(0＜n≤6)，作 AC⊥AB，交 x轴于点 C，M为 BC的 中点，若 P( 3 2 ，0)，则 PM的最小值为( ) A．3 B． 3 17 8 C． 4 5 5 D． 6 5 5 12．如图，是用一把直尺、含 60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点 A为 60°角与 直尺交点，点 B为光盘与直尺唯一交点，若 AB=3，则光盘的直径是（ ）． A．6 3 B．3 3 C．6 D．3 二、填空题(每题 3分，共 24 分，将正确答案填在题中的横线上) 13．若反比例函数的图象经过点(2，﹣2)，(m，1)，则 m＝_____． 14．如图，小华在地面上放置一个平面镜 E来测量铁塔 AB的高度，镜子与铁塔的距 离 EB=20米，镜子与小华的距离 ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点 A， 已知小华的眼睛距地面的高度 CD=1.5米，则铁塔 AB的高度是____米； 14题图 15题图 16题图 15．如图，点 P是正方形 ABCD内的一点，且 PA=1，PB=PD= 2 ，则∠APB的度数 为_______． 16．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是 48，则它的表面积是______. 17．如图，等边△ABO的边长为 2，点 B在 x轴上，反比例函数图象经过点 A，将 △ABO绕点 O顺时针旋转 a（0°＜a＜360°），使点 A仍落在双曲线上，则 a= ． 17题图 18题图 18．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点 P从 A出发，以每秒 2厘米的速 度向 B运动，点 Q从 C同时出发，以每秒 3厘米的速度向 A运动，其中一个动点到 端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以 A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为_________________. 19．已知，如图矩形DEFG的一边DE在 ABC△ 的边 BC上，顶点G、F分别在边 AB、 AC上， AH是边 BC上的高， AH与GF相交于点K，已知 12BC  ， 6AH  ， : 1: 2EF GF  ，则矩形DEFG的周长是______________. 19题图 20题图 20．如图是某科技馆展览的一个升降平台模型，在其示意图中，A为固定支点，C为 滑动支点，四边形 GEDF为菱形，且 AD＝CD＝DE＝GI＝GH，当点 C在线段 AB上 滑动时，∠CAD从 30°变化到 60°，平台的高度也随之发生变化，从而控制平台面 HI 的升降. 初始状态时，∠CAD为 30°，点 C与点 B重合，平台的高度为 28cm. 当 C 从 B向 A移动时，平台的高度最多比初始状态时上升了_______cm. 三、解答题(本题共 10 小题，共 60 分) 21．(本题 4分)计算： 68 2 2cos 45 3     . 22．(本题 4分)在△ABC中，DE∥BC, DF∥AC, 求证：△ADE∽ △DBF． 22题图 23．(本题 6分)如图，一次函数 y1＝x+b的图象与与反比例函数 y2＝ k x （k≠0，x＜0） 的图象交于点 A（﹣2，1），B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 23题图 24．(本题 6分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为 a，b，c，且 : : 3: 4 :5a b c  ， 求证： 7sin sin 5 A B  ． 25．(本题 6分)将油箱注满 k升油后，轿车可行驶的总路程 S（单位：千米）与平均 耗油量 a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系 kS a  （k是常数，k≠0）．已知某 轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油 0.1升的速度行驶，可行驶 700千米． （1）求该轿车可行驶的总路程 S与平均耗油量 a之间的函数解析式； （2）当平均耗油量少于 0.07升/千米时，该轿车至少可以行驶多少千米？ 26．(本题 6分)如图，一次函数 y 1 2   x+b的图象与 x轴，y轴分别交于 A，B两点， 与反比例函数 y k x  (x＜0)的图象交于点 C(﹣2，2)． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点 B作 x轴的平行线交反比例函数的图象于点 D，连接 CD． 求△BCD的面积． 26题图 27．(本题 6分)把边长为 2厘米的 6个相同正方体摆成如图所示的几何体， (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图： (2)试求出该几何体的表面积： (3)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从 上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加 个小正体. 28．(本题 8分)在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（a，b）和点 Q（a，b′），给出 如下定义：若 b′= ( 1) ( 1) b a b a       ，则称点 Q为点 P的理想点．例如：点（1，2）的理想 点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）． （1）点（ 3 2 ，﹣1）理想点的坐标是_____；若点 C在函数 y=2x2的图象上，则它 的理想点是 A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？_____； （2）若点 P在函数 y=﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为 Q： ①若其理想点 Q的纵坐标 b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求 k的值； ②在①的条件下，若点 P的理想点 Q都不在反比例函数 y= m x （m＜0，x＞0）上， 求 m的取值范围． 29．(本题 6分)问题探究： 新定义：将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积 线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的 直径就是圆的“等积线段”） 解决问题：已知在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 2 . （1）如图 1，若 AD⊥BC，垂足为 D，则 AD是△ABC的一条等积线段，直接写出 AD的长； （2）在图 2和图 3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度. （要求： 图 1、图 2和图 3中的等积线段的长度各不相等） 30．(本题 8分)在平行四边形 ABCD中，E是 AD上一点，AE=AB，过点 E作直线 EF， 在 EF上取一点 G，使得∠EGB=∠EAB，连接 AG． （1）如图 1，当 EF与 AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG； （2）如图 2，当 EF与 AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线 段 EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）； （3）如图 3，当 EF与 CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数量关系，并证明你的结论． 人教版九年级数学下册综合训练题 4 参考答案 1．B. 解析：∵ 2 1 0k   ，∴反比例函数 2 1ky x    的图象在二、四象限，在 每个象限，y随 x的增大而增大，∵  11 1P y ， 和  22 2P y ， 在第二象限， 1 2   ，∴ 1 2y y ，故选：B． 2．A. 解析：根据题干可得如下图，则 3sin 5 BCA AB   ， 故选择 A. 3．D. 解析：∵A、C的坐标分别是 (1, 2)、 (3,1)，∴AC= 5， 又∵△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为 2 :1， 2 2 5DF AC   ， 故选：D． 4．A. 解析：当他远离路灯走向 B处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在 地面上留下的影子越来越长，所以他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度逐 渐变长，故选：A． 5．A.解析：∵储煤量为 120吨，每天用煤量为 x吨，使用天数 y，∴ 120y x  ， 且 0x  ，∴y与 x的的函数关系是反比例函数，且图象在第一象限. 故选 A. 6．A. 解析：解：A. 所有的菱形都相似，错误； B. 所有的正方形都相似，正确； C. 所有的等边三角形都相似，正确； D. 有一个角是 100°的两个等腰三角形相似，正确； 故选：A. 7．D. 解析：由题意可得如图： 假设 AB为正 n多边形的一条边，OC⊥AB，  1 360 180 2 AOC n n       ，OA=r， 180cos cosOC OA AOC r n       ； 故选 D． 8．C. 解析：A、主视图是 3个正方形，左视图是两个正方形，俯视图是 5个正 方形，故本选项不合题意； B、主视图是 2个正方形，左视图是 3个正方形，俯视图是 4个正方形，故本选 项不合题意； C、三视图都相同，都是有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2；符合题 意； D、主视图和俯视图相同，有两列，从左到右正方形的个数分别为：2、1；左视 图有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2，故本选项不合题意． 故选：C． 9．B. 解析：由勾股定理可得，△EFG三边的比为： 2 :2: 10 =1: 2 : 5， A.三角形的三边的比为 1: 5 :2 2；B.三角形的三边的比为 1: 2 : 5； C.三角形的三边的比为 2 : 5 :3；D.三角形的三边的比为 2: 5 : 13，故选 B. 10．B. 解析：设点 D(m， 8 m )，过点 D作 x轴的垂线交 CE于点 G，过点 A过 x 轴的平行线交 DG于点 H，过点 A作 AN⊥x轴于点 N，如图所示： ∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD， 又 AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°， ∴△DHA≌△CGD(AAS)，∴HA＝DG，DH＝CG， 同理△ANB≌△DGC(AAS)， ∴AN＝DG＝1＝AH，则点 G(m， 8 m﹣1)，CG＝DH， AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2， 故点 G(﹣2，﹣5)，D(﹣2，﹣4)，H(﹣2，1)， 则点 E(﹣ 8 5 ，﹣5)，GE＝ 2 5 ，CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣ 2 5 ＝ 23 5 ， 故选 B． 11．D. 解析：如图，作 AH⊥y轴于 H，CE⊥AH于 E，作 MN⊥OC于 N． 则四边形 CEHO是矩形，OH＝CE＝4， ∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°， ∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°， ∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA， ∴ AH BH EC AE  ，∴ 3 6 BH AE  ， ∴AE＝2BH，设 BH＝x，则 AE＝2x， ∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x， ∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0） ∵BM＝CM，∴M（ 3 2 2 x ， 6 2 x ），∵P（ 3 2 ，0）， ∴PN＝ON﹣OP＝ 3 2 2 x ﹣ 3 2 ＝x， ∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（ 6 2 x ）2＝ 5 4 x2﹣3x+9＝ 5 4 （x﹣ 6 5 ）2+ 36 5 ， ∴x＝ 6 5 时，PM2有最小值，最小值为 36 5 ， ∴PM的最小值为 36 5 ＝ 6 5 5 ．故选 D． 12．A. 解析：设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，如下图所示： 由切线长定理知 3AB AC OA BAC＝ ＝ ， 平分 ，∴ 60OAB ＝ ， 在Rt ABO 中， OBtan OAB AB   ∴   3 3 3 3OB ABtan OAB  ＝ ＝ ，∴光盘的直径为6 3 ， 故选 A． 13．-4. 解析：设反比例函数的图象为 y＝ k x ，把点（2，﹣2）代入得 k＝﹣4， 则反比例函数的图象为 y＝﹣ 4 x ，把（m，1）代入得 m＝﹣4． 故答案为﹣4． 14．15. 解析：结合光的反射原理得：∠CED=∠AEB. 在 Rt△CED和 Rt△AEB中， ∵∠CDE=∠ABE=90∘，∠CED=∠AEB， ∴ Rt△CED∽ Rt△AEB， ∴ DC AB = DE EB ，即 1.5 AB = 2 20 ，解得 AB=15(m). 故答案为：15 15．105°. 解析：过点 P作 PH⊥AB于 H， ∵四边形 ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°， 在△APB和△APD中 AB AD AP AP PB PD      ∴△APB≌△APD，∴∠BAP=∠DAP， 由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°，∴∠APH=90°-45°=45°， ∵PA=1， 2sin 45 = 2  ，∴ 2sin = = 1 2 PH PHBAP AP ∠ ，∴ 2 2 PH  ， ∵PB= 2 ，∴∠PBA=30°，∴∠BPH=90°-30°=60°， ∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105° 16．88. 解析：由题中的三视图可以判断，该几何体是一个长方体.从主视图可以 看出，该长方体的长为 6；从左视图可以看出，该长方体的宽为 2. 根据体积公式可知，该长方体的高为： 48 4 6 2   ， ∴该长方体的表面积是  2 6 2 6 4 2 4 88       . 17．30°或 180°或 210°. 解析： 根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线 y=x对称， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴AO与直线 y=x的夹角是 15°， ∴a=2×15°=30°时点 A落在双曲线上， 根据反比例函数的中心对称性， ∴点 A旋转到直线 OA上时，点 A落在双曲线上， ∴此时 a=180°， 根据反比例函数的轴对称性，继续旋转 30°时，点 A落在双曲线上， ∴此时 a=210°； 故答案为：30°或 180°或 210°． 18． 16 7 秒或 4秒. 解析：（1）当△APQ∽△ABC时， 设用 t秒时，以 A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． AP AQ AB AC  ，则 AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t． 于是 16 7 = 16 3t 8  ，解得，t= 16 7 . （2）当△APQ∽△ACB时， AP AQ AC AB  ， 设用 t秒时，以 A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 则 AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t． 于是 1616 = 7 3 8 t ，解得 t=4． 故答案为 t= 16 7 或 t=4． 19．18. 解析：根据题意，设 EF=x，则 GF=2x, AK=6-x 则 6 2 6 12 x x  ，解得 x=3, 矩形 DEFG的周长为  2 2 6 18x x x    . 20．  28 3 1 . 解析：如下图，作 DH⊥AC于 H，D′H′⊥AC于 H′． ∵平台的高度为 28cm， ∴点 D的高度为 28÷4=7(cm)，即 DH=7(cm). 在 Rt△ADH中，∠HAD=30°，∴AD=2DH=14(cm). 在 Rt△AD′H′中，AD′=AD=14(cm)，∠H′AD′=60°， ∴D′H′=AD′∙sin60°=7 3 (cm)， ∴点 D上升的高度为 D′H′-DH=  7 3 1 (cm). ∵△HIG≌△GEF≌△EFD≌△ACD， ∴当 C从 B向 A移动时，平台的高度最多比初始状态时上升了    4 7 3 1 28 3 1    (cm). 故答案为：  28 3 1 . 20题图 23题图 21．解：原式 24 2 2 2     4 2 2   4 22．证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B． 又∵DF∥AC，∴∠A＝∠BDF． ∴△ADE∽△DBF． 23．解：（1）把 A（﹣2，1）代入 y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得 b＝3； 把 A（﹣2，1）代入 y2＝ k x （k≠0，x＜0）得 k＝﹣2×1＝﹣2， ∴一次函数的表达式是 y1＝x+3，反比例函数的表达式 y2＝ 2 x  ； （2）由 3 2 y x y x       ，解得 1 2 x y     或 2 1 x y     ， ∴B点坐标为（﹣1，2）， 设直线 y＝x+3与 x轴的交点为 C， 把 y＝0代入求得 x＝﹣3，∴C（﹣3，0）， ∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝ 1 13 2 3 1 2 2      ＝ 3 2 ． 24．解：设 3a k ， 4b k ，  5 0c k k  ，    2 22 2 2 23 4 25a b k k k c     ， ∴△ABC是直角三角形，且 90C  ， 则 3 3sin 5 5 a kA c k    ， 4 4sin 5 5 b kB c k    ， 3 4 7sin sin 5 5 5 A B     . 25．解：（1）由题意得：a=0.1，S=700，代入反比例函数关系 kS a  中， 解得：k=Sa=70，所以函数关系式为： 70S a  ． （2）将 a=0.07代入 70S a  得： 70 0.07 S  ＝1000， 故该轿车至少可以行驶 1000千米． 26．解：（1）把 C(﹣2，2)代入 y 1 2   x+b得 1+b=2，解得：b=1， ∴一次函数解析式为 y 1 2   x+1； 把 C(﹣2，2)代入 y k x  得 k=﹣2×2=﹣4， ∴反比例函数解析式 y 4 x   ； （2）令 x=0，求得 y=1，∴点 B坐标为(0，1), ∵BD∥x轴，∴D点的纵坐标为 1， 当 y=1时， 4 x   1，解得：x=﹣4，则 D(﹣4，1)， ∴BD=0﹣(﹣4)=4，∴△BCD的面积 1 2   4×(2﹣1)=2． 27．解：（1）如图所示： （2）几何体表面积：2×2×5+2×2×4+2×2×5+2×2×12=104（平方厘米）； （3）∵保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变， ∴最多在左起第一列第二行第二层和中间一列的第二行第二层上各填一个， ∴最多可以再添加 2个小正方体． 故答案为：2． 28．解：（1）点（ 3 2 ，﹣1）理想点的坐标是（ 3 2 ，1）， ∵当点 C为（1，2）时，在抛物线上，其的理想点为（1，﹣2）， 当点 C为（-1，2）时，在抛物线上，其的理想点为（-1，﹣2）， ∴点 C在函数 y=2x2的图象上，则它的理想点是 A（1，﹣2） 故答案为（ 3 2 ，1），A（1，﹣2）； （2）①如图 1中，点 P在函数 y=﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上， 其理想点为 Q必在函数     2 4 2 1 2 4 1 x x y x x           上， ∵理想点 Q的纵坐标 b′的取值范围是﹣6≤b′≤10， 观察图象可知﹣2k≤7． 当反比例函数经过（-2,8）点时，m=-16∴反比例函数的解析式 y=﹣ 16 x ， 由反比例的图象性质可知，当 m＜﹣16时，点 P的理想点 Q都不在反比例函 数 y= （m＜0，x＞0）上． 29．解：（1）在 Rt△ADC中，∵AC=2 2，∠C=45°，∴AD=2； （2）符合题意的图形如下所示： E为 AC中点，则有 AE= 1 1 2 2 2 2 2 AC    , 在 Rt△ABE中，根据勾股定理可得 BE=    2 22 2 2 2 2AB AE   = 10 ； GH∥BC，S△AGH= 1 2 S△ABC， ∵GH//BC，∴△AGH∽△ABC，∴ 2 1 2 AGH ABC SGH BC S          ， ∵∠A=90°，AB=AC= 2 2，∴BC= 2 2AB AC =4， ∴ 2 1 4 2 GH      ，∴GH=2 2 . 30．解：(1)证明：如图，作∠GAH=∠EAB交 GE于点 H. ∴∠GAB=∠HAE. ∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH. 在△ABG和△AEH中， GAB HAE AB AE ABG AEH         ， ∴ ABG△ ≌ AEH△ (ASA). ∴BG=EH，AG=AH. 60GAH EAB  ，    ∴△AGH是等边三角形， ∴AG=HG. ∴EG=AG+BG. (2)如图，作∠GAH=∠EAB交 GE于点 H.作 AM⊥EG于点 M， ∴∠GAB=∠HAE. ∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH. 在△ABG和△AEH中， GAB HAE AB AE ABG AEH         ， ∴△ABG≌△AEH (ASA).∴BG=EH，AG=AH. ∵∠GAH=∠EAB=α， 1 1, 2 2 GM MH GH GAM HAM        ， sin 2 GM MH AG     ，∴EG=GH+BG. 2 sin . 2 EG AG BG    (3) 2 .EG AG BG  如图，作∠GAH=∠EAB交 GE于点 H.∴∠GAB=∠HAE. 90 ,EGB EAB     180 .ABG AEG AEG AEH       ∴∠ABG=∠AEH. ∵又 AB=AE，∴△ABG≌△AEH.∴BG=EH，AG=AH. 90GAH EAB     ，∴△AGH是等腰直角三角形. 2 .AG HG  2 .EG AG BG  