2013年顺义区初三一模数学试题和答案

顺义区 2013届初三第一次统一练习 数学试卷 2013.4 学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1．本试卷共 5页，共五道大题，25道小题，满分 120分．考试时间 120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共 32分，每小题 4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． 3 的倒数是 A． 1 3  B． 1 3 C． 3 D．3 2．据 2013年 4 月 1 日《CCTV—10讲述》栏目报道，2012年 7 月 11日，一位 26 岁的北 京小伙樊蒙，推着坐在轮椅上的母亲，开始从北京到西双版纳的徒步旅行，圆了母亲的 旅游梦，历时 93天，行程 3 359公里．请把 3 359用科学记数法表示应为 A． 233.59 10 B． 43.359 10 C． 33.359 10 D． 433.59 10 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 A B C D 4．我区某一周的最高气温统计如下表： 则这组数据的中位数与众数分别是（ ） A．17，17 B． 17，18 C．18，17 D．18，18 5．下列计算正确的是 A． 2 3 5a a a  B． 2 3 6a a a  C. 2 3 5( )a a D. 5 3 2a a a  最高气温（℃） 13 15 17 18 天 数 1 1 2 3 6．如图，AB∥CD ，点 E在 BC上， 68BED  ， 38D  ， 则 B 的度数为 A． 30 B． 34 C． 38 D．68 7．若 x y， 为实数，且 3 3 0x y    ，则 2013y x       的值为 A．1 B． 1 C． 2 D． 2 8．如图，AB为半圆的直径， 点 P为 AB上一动点，动点 P从 点 A出发，沿 AB匀速运动到点 B，运动时间为 t，分别以 AP 和 PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积 S与时间 t之间的 函数图象大致为 A． B． C． D． 二、填空题（本题共 16分，每小题 4分） 9．分解因式： 23 12 12ab ab a  = ．ww w. 10．袋子中装有 3个红球和 4个黄球，这些球除颜色外均相同．在看不到球的条件下，随机 从袋中摸出一个球，则摸出红球的概率是_____________． 11．如图，扇形的半径为 6，圆心角 为120，用这个扇形围 成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 ． 12．如图，边长为 1 的菱形 ABCD中， 60DAB  °，则菱形 ABCD的 面积是 ，连结对角线 AC，以 AC为边作第二个菱形 1 1ACC D ， 使 1 60D AC  °；连结 1AC ，再以 1AC 为边作第三个菱形 1 2 2AC C D ，使 2 1 60D AC  °；……，按此规律所作的第 n个菱形的面积为___________． w ww . C1 D1 D2 C2 D C A B 图 三、解答题（本题共 30分，每小题 5分） 13．计算： 1 01( ) 4sin 60 ( 3.14) 12 3       ． 14．解不等式组 3 1 2( 1) 3 1 2 x x x        ， ≥ ， 并把解集在数轴上表示出来． 15．已知：如图，CA平分 BCD , 点 E在 AC上， BC EC ， AC DC ． 求证： A D   ． 16．已知 2 3 2 0a a   ，求代数式 2 2 3 1( ) 9 3 3 a a a a      的值． 17．如图，已知 ( 2, 2)A   ， ( , 4)B n 是一次函数 y kx b  的图象和反比例函数 my x  的 图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求 AOB 的面积. 18．某商店销售一种旅游纪念品，3月份的营业额为 2000元，4月份该商店对这 种纪念品打 8折销售，结果销售量增加 30件，营业额增加 800元，求该种纪念 品 3月份每件的销售价格是多少？ 四、解答题（本题共 20分，每小题 5分） 19．已知：如图，四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 E，BD DC ， 45ABD  ， 30ACD  ， 2 3AD CD  ，求 AC和 BD的长 . 20．如图，已知 ABC△ ，以 AC为直径的 O 交 AB于点D，点E为 AD的中点， 连结CE交 AB于点 F ，且BF BC . （1）判断直线 BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若 O 的半为 2, 3cos 5 B  ,求CE的长. 21．某课外实践小组的同学们为了解 2012 年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区 部分家庭，并将调查数据进行如下整理， 请解答以下问题： （1）表中m  ， n  ； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）求该小区用水量不超过 15t 的家庭占被调查家庭总数的百分比； （4）若该小区有 1500 户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约 有多少户？ 22． 如图 1，在四边形 ABCD中， AB CD ，E F、 分别是 BC AD、 的中点，连结 EF 并延长，分别与 BA CD、 的延长线交于点M N、 ，则 BME CNE  （不需证明）． 小明的思路是：在图 1中，连结 BD，取 BD的中点H ，连结HE HF、 ，根据三角形中位 线定理和平行线性质，可证得 BME CNE  ． 问题：如图 2，在 ABC△ 中，AC AB ，D点在 AC上，AB CD ，E F、 分别是 BC AD、 的中点，连结 EF 并延长，与 BA的延长线交于点G，若 60EFC  °，连结GD，判断 AGD△ 的形状并证明． 月均用水量 x (t) 频数(户) 频率 0 5x  6 0.12 5 10x  m 0.24 10 15x  16 0.32 15 20x  10 0.20 20 25x  4 n 25 30x  2 0.04 五、解答题（本题共 22分，第 23题 7分，第 24题 7分，第 25题 8分） 23．已知关于 x的方程 2 (3 2) 2 2 0mx m x m     （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根. （2）若关于 x的二次函数 2 (3 2) 2 2y mx m x m     的图象与 x轴两个交点的横坐标均 为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式. 24．如图 1，将三角板放在正方形 ABCD上，使三角板的直角顶点 E与正方形 ABCD的顶 点 A重合．三角板的一边交CD于点 F ，另一边交CB的延长线于点 .G （1）求证： EF EG ； （2）如图 2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形 ABCD的对角线 AC上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经 过点 B，其他条件不变，若 AB a ， BC b ，求 EF EG 的值． 25．如图，已知抛物线 2 3y ax bx   与 y轴交 于点 A，且经过 (1,0) (5,8)B C、 两点，点D是抛 物线顶点，E是对称轴与直线 AC的交点，F 与 E关于点D对称． （1）求抛物线的解析式； （2）求证： AFE CFE   ； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使 AFP 与 FDC 相似．若有，请求出所有符合条 件的点 P的坐标；若没有，请说明理由． 顺义区 2013届初三第一次统一练习 数学试题参考答案及评分参考 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B D A B D 二、填空题 题号 9 10 11 12w ww . 答案 23 ( 2)a b  3 7 2 3 2 ， 2 1( 3) 2 n 三、解答题 13．解：原式= 33 4 1 2 3 2     …………………………………………4分 = 2 ……………………………………………… 5分 14． 解：解不等式3 1 2( 1)x x   ，得 3x  ． ………………………………… 1分 解不等式 3 1 2 x  ≥ ，得 1x ≥ ． ………………………………… 2分 ∴不等式组的解集为 1 3x ≤ ． ………………………………… 4分 在数轴上表示其解集为如图所示 …………………………………5分 15．证明：∵CA平分 BCD ∴ ACB DCE   ……………………………………………1分 在 ABC 和 DEC 中 ∵ BC EC ACB DCE AC DC       ……………………………………………3分 ∴ ABC ≌ DEC …………………………………………… 4分 ∴ A D   ……………………………………………5分 16．解：原式= 2 3 3 3( ) ( 3)( 3) ( 3)( 3) a a a a a a a         ………………………2分 = 2 3 ( 3)( 3) a a a a a     ………………………………………… 3分 = 1 ( 3)a a  4 3 2 15 0 1 2 3 4 5 1 3x ≤ = 2 1 3a a ……………………………………………… 4分 ∵ 2 3 2 0a a   ∴ 2 3 2a a  ∴原式= 1 2 ………………………………………………5分 17．解：（1）将 ( 2, 2)A   代入 my x  中，得 4m  ． ∴ 4y x  ． …………………………………………………………………1分 将 ( , 4)B n 代入 4y x  中，得． 1n  ………………………………2分 将 ( 2, 2)A   ， (1, 4)B 代入 y kx b  中，得 2 2, 4. k b k b        ………3分 解得 2, 2. k b    ∴ 2 2y x  ． ……………………………………………4分 （2）设直线 AB与 y轴交于点 C 当 0x  时， 2y  ． ∴ 2OC  ． ∴ 1 12 2 2 1 3 2 2AOB AOC BOCS S S           ………………………5分 18．解：设该种纪念品 3月份每件的销售价格为 x元， ……………………………1分 根据题意，列方程得 2000 2000 800 30 0.8x x    ………………………………………………3分 解之得 50x  ． …………………………………………………………4分 经检验 50x  是所得方程的解． 答：该种纪念品 3月份每件的销售价格是 50元． …………………………5分 解法二：设 3月份销售这种纪念品 x件，则 4月份销售（ x +30）件 …………1分 根据题意，列方程得 4 2000 2000 800 5 30x x     ……………………………………………3分 解之得 40x  ． ………………………………………………4分 经检验 40x  是所得方程的解 答：该种纪念品 3月份每件的销售价格是 2000 50 40  （元）…………5分 19解：∵ BD DC ∴ 90BDC   ∵ 30ACD  ， 2 3AD CD  ， ∴ 60 , 30 ,DEC DAC ACD        3tan30 2 3 2 3 DE CD      ∴ 2 4EC DE  ， 30ADE   …………………………………………1分 ∴ 2AE DE  ……………………………………………………… 2分- ∴ 2 4 6AC AE EC     ………………………………………………3分 过点 A作 AM BD ,垂足为M ∵ 60AEB DEC     ∴ 3sin 60 2 3 2 AM AE      1cos60 2 1 2 ME AE     ………………………………………………4分 ∵ 45ABD   ∴ 3BM AM  ∴ 3 1 2 3 3BD BM ME DE        …………………………5分 20．⑴ BC与⊙O相切 证明：连接 AE， ∵ AC是 O 的直径 ∴ 90E   ∴ 90EAD AFE    ∵BF BC ∴ BCE BFC   又 ∵E为AD的中点 ∴ EAD ACE   …………………………1分 ∴ 90BCE ACE    即 AC BC 又∵ AC是直径 ∴BC是 O 的切线 …………………………2分 （2）∵ O 的半为 2 ∴ 4AC  , ∵ 3cos 5 B  由（1）知， 90ACB   ， ∴ 5AB  , 3BC  ∴ 3BF  , 2AF  ………………………… 3 分 ∵ EAD ACE   , E E   ∴ AEF ∽ CEA ， ∴ 1 2 EA AF EC CA   ∴ 2EC EA ， …………………………4分 设 , 2EA x EC x  由勾股定理 2 24 16x x  ， 4 5 5 x   （舍负） ∴ 8 5 5 CE  …………………………5 分 21． 解：（1）表中填 12m  ； 0.08n  . …………………………2 分 (2）补全的图形如下图. …………………………3 分 （3）0.12 0.24 0.32 0.68   . 即月均用水量不超过 15t 的家庭占被调查的家庭总数的 68%. …………………………4分 （4） (0.08 0.04) 1500 180   . 所以，该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约有 180 户. ………………5 分 22．判断 AGD 是直角三角形 证明：如图连结 BD，取 BD的中点H ，连结HF HE、 ，……………………1分 F 是 AD的中点， ∴HF AB∥ ， 1 2 HF AB ，………………… 2分 ∴ 1 3  ． 同理， 1 2 HE CD HE CD∥ ， ， ∴ 2 EFC  ． AB CD ， A B C DF G H E 1 2 3 ∴HF HE ， ∴ 1 2   ． …………………………………………3分 60EFC  °， ∴ 3 60EFC AFG    °， ∴ AGF 是等边三角形．………………………………4分 AF FD ， ∴GF FD ， ∴ 30FGD FDG   ° ∴ 90AGD  ° 即 AGD△ 是直角三角形．…………………………… 5分 23．（1）证明：①当 0m  时，方程为 2 2 0x   ，所以 1x  ，方程有实数根.…… 1分 ②当 0m  时,  2(3 2) 4 (2 2)m m m      = 2 29 12 4 8 8m m m m    = 2 4 4m m  = 2( 2) 0m   ………………………………2分 所以,方程有实数根 综①②所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分 （2）令 0y  ，则 2 (3 2) 2 2 0mx m x m     解关于 x的一元二次方程，得 1 1x  ， 2 22x m   ……………………5分 二次函数的图象与 x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数， 所以m只能取 1，2 所以抛物线的解析式为 2 5 4y x x   或 22 8 6y x x   ………………7分 24． （1）证明：∵ 90 90GEB BEF DEF BEF     °， °， ∴ .DEF GEB  又∵ ED BE ， ∴Rt RtFED GEB△ ≌ △ . ∴ .EF EG ………………………………………………………2分 （2）成立. 证明：如图，过点 E分别作BC CD、 的垂线，垂足分别为H I、 ， 则 90EH EI HEI  ， °. ∵ 90 90GEH HEF IEF HEF     °， °， ∴ .IEF GEH  ∴Rt RtFEI GEH△ ≌ △ . ∴ .EF EG …………………………………4分 （3）解：如图，过点 E分别作 BC CD、 的垂线，垂足分别为M N、 ，则 90MEN  °， .EM AB EN AD∥ ， ∥ ∴ .EM CE EN AB CA AD   ∴ .EM AD a EN AB b   …………………………………5分 ∴ 90 90GME MEF FEN MEF     °， °， ∴ .MEN GEM  ∴Rt RtFEN GEM△ ∽ △ . ww w. ∴ .EF EN b EG EM a   …………………………………7 分 25．解：（1）将点 (1,0) (5,8)B C、 代入 2 3y ax bx   得 3 0 25 5 3 8 a b a b        ……………………1分 解之得 1 4 a b     ， 所以抛物线的解析式为 2 4 3y x x   ……………………2分 （2）由（1）可得抛物线顶点 (2, 1)D  [来源:学*科*网] ……………………3分 直线 AC的解析式为 3y x  由 E是对称轴与直线 AC的交点，则 (2,5)E 由 F 与E关于点D对称 ，则 (2, 7)F  ……………………4分 证法一： 从点 ,A C 分别向对称轴作垂线 ,AM CN ，交对称轴于 ,M N 在 Rt FAM 和Rt FCN 中 090AMF CNF    ， 2 1 3 10 5 15 AM CN MF NF     所以 Rt FAM ∽ Rt FCN 所以 AFE CFE   …………………………………5分 证法二：直线 AF 的解析式为 5 3y x   点 (5,8)C 关于对称轴的对称点是 ( 1,8)Q  将点 ( 1,8)Q  代入 5 3y x   可知点Q在直线 AF 所以 AFE CFE   （3）在 FDC 中，三内角不等，且 CDF 为钝角 10 若点 P在点 F 下方时， 在 AFP 中， AFP 为钝角 因为 AFE CFE   ， 0 0180 , 180AFE AFP CFE CDF      所以 AFP 和 CDF 不相等 所以，点 P在点 F 下方时，两三角形不能相似 …………………… 6分 20 若点 P在点 F 上方时， 由 AFE CFE   ，要使 AFP 与 FDC 相似 只需 AF PF CF DF  （点 P在DF之间）或 AF PF DF CF  （点 P在 FD的延长线上） 解得点 P的坐标为 (2, 3) 或 (2,19) ………………………………………8分