北京平谷区九年级数学上期末试卷

平谷区 2009～2010 学年度第一学期末考试试卷 初 三 数 学 2010 年 1 月 一、选择题（共 8 个题，每小题 3 分，共 24 分） 下列各小题均有 4 个选项，其中只有一个选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下 表中相应的题号下面。 1．－5 的相反数是（ ） A．－5 B． 5 1－ C． 5 1 D．5 2．如图 1，在 Rt⊿ABC 中，  90ACB ，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ） 2 3Asin.A  2 1Atan.B  3Btan.C  2 3Bcos.D  图 1 3．2008 年 9 月 27 日，神舟七号航天员翟志刚完成中国历史上第一次太空行走，他相对地球行 走了 5 100 000 米路程，用科学记数法表示为 （． ）． A． 6101.5  米 B．5.1×105 米 C．51×105 米 D．0.51×107 米 4．已知:如图 2，⊙O 的半径为 5，AB 为弦，OC⊥AB，垂足为 C， 若 OC＝3，则弦 AB 的长为 （． ）． A．4 B．6 C．8 D．10 图 2 5．如图 3，在直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 B 是 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 C A B A C B O x y O A B D B C O A 双曲线 3y x  （ 0x  ）上的一个动点，当点 B 的横坐标逐渐增大时， OAB△ 的面积将会（． ）． A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大后减小 图 3 6．如图 4，小莉站在离一棵树水平距离为 a 米的地方，用一块含 3 0 ° 的 直 角 三 角 板 按 如 图 所 示 的 方 式 测 量 这 棵 树 的 高 度 ， 已 知 小 莉 的 眼 睛 离 地 面 的 高 度 是 1 . 5 米 ， 那 么 她 测得这棵树的高度为（． ）． A. 3( )3 a 米 B. ( 3 )a 米 C. (1.5 3 )a 米 D. 3(1.5 )3 a 米 图 4 7．甲、乙两袋均有红、黄色球各一个，分别从两袋中任意取出一球，那么 所取出的两球是同色球的概率为（． ）． A． 1 2 B． 1 3 C． 1 6 D． 2 3 8．如图 5（1），在矩形 ABCD 中动点 P 从点 B 出发，沿 BC、CD、DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，⊿ABP 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图像如图（2） 所示，那么，⊿ABC 的面积是（． ）． A．20 B．18 C．10 D．16 \ 二、填空题（共 5 道小题，每小题 4 分，共 20 分） 9. 二次函数 y=x2－5x 4 的图象与 x 轴的交点坐标是 . 10．在半径为 9cm 的圆中，120°圆心角所对的弧长为 .（不取近似值） 11.把抛物线 y 2 2 3x x  化为 y  2x m k  的形式，其中 ,m k 为常数， 则 m k = . 12.如图 6，⊿ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径， 图 5 （1） （2） D 是⌒ BC的中点，如果∠ABC= 22 ，那么 ∠DBC= 度. 13. 如图 7，已知矩形OABC 的面积为100 3 ，它的对角线OB 与双曲线 ky x  相交于点 D ，且 : 5:3OB OD  ，则 k  ． 三、解答题（本题共 13 分，其中第 14 小题 5 分，第 15、16 小题各 4 分） 14．计算： 8 cos45°－sin30°－ 0)2010( 解 ： 15.已知 04b 2  ，求代数式 3)b2a(a)ba( 2  的值． 解： 图 6 y x 图 7 A C B O D D B O A C F D A B C E 16. 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 13AB  ， 5BC  ． （1）求sin BAC 的值； （2）如果OD AC ，垂足为 D ，求 AD 的长． 解： 四、证明题（本题共 10 分，每小题 5 分） 17.如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边CD 上一点， BF AE 于 F . 求证： AD BF AE AB  ． 证明： D A O B C 18. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC  AB 于点 B，连接 OC，弦 AD//OC,作射线 CD. 求证： CBCD  . 证明： 五、解答题（本题共 9 分，第 19 小题 4 分，第 20 小题 5 分） 19. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看成一点） 的路线是抛物线 23 3 15y x x    的一部分，如图． （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 3.4BC  米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米， 问这次表演是否成功？请说明理由． 解： 20.已知：如图，反比例函数的图象经过点 A B， ，点 A 的坐标为 (13)， ， 点 B 的坐标为(m,1)，点C 的坐标为 (2 0)， ． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线 BC 的解析式． 解： 六、解答题（本题共 11 分，第 21 小题 5 分，第 22 小题 6 分） 21. 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， AB DC AD  ， 60C  °， AE BD 于 点 1E AE ， ，求梯形 ABCD 的高． 解： B A D E C 22．已知：如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于Ｅ，⌒ BC＝⌒ BD，BF⊥AB 与弦 AD 的延长 线相交于点 F． (1)求证:CD∥BF； (2)连结 BC,若⊙O 的半径为 4,cos∠C= 3 4 ,求线段 AD、CD 的长． (1)证明： （2）解： 七、解答题（本题 6 分） E F C D B O A 23. 已知抛物线 2 2y x x n   与 x 轴交于不同的两点 A B， ，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，其顶 点是 C． （1）求实数 n 的取值范围； （2）求顶点C 的坐标； （3）求线段 AB 的长； （4）当 AB= 2 时，求抛物线的解析式． 解： 八、解答题（本题 7 分） 24．如图，已知直线 1 12y x  与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 21 2y x bx c   与直线交于 A、E(4,m)两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 (1，0). ⑴求该抛物线的解析式； ⑵设动点 P 在 x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标.. 解： 平谷区．．．2009．．．．～．2010．．．．学年度第一学期末初．．．．．．．．．三．数学试卷．．．． D B O A C F D A B C E 参考答案及评分参考．．．．．．．．． 2010．．．．年．1．月． 一、选择题（共．．．．．．．8．个题，每小题．．．．．．3．分，共．．．24．．分）．． 二、．．填空题（共．．．．．5．个小题，每小题．．．．．．．4．分，共．．．20．．分）．． 9.．． )0,1( ，． )0,4( ；． 10．．．．6．∏．；． 11．．．． 3 ；． 12.．．． 34 ；． 14．．．．12.．．． 三、解答题（本题共 13 分，其中第 14 小题 5 分，第 15、16 小题各 4 分） 14．计算： 8 cos45°－sin30°－ 0)2010( 解 ：原式= 12 1 2 222  …………………………………………4 分  2 1 …………………………………………………………………….5 分 15.．．．解：原式．．．．=． 3ab2abab2a 222  ………………………………．．．．．．．．．．．．2．分． = 3b 2  .……………………………………………………………………..3 分 ∵． 04b 2  ,． ∴原式 114b 2  ． ………………………………………………..4 分 16.．．．解：（．．．1．）．AB．．是．⊙．O．的直径，点．．．．．C．在．⊙．O．上． ∠．ACB．．．=．90．． o． ………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．..．．1．分． AB．．＝．13．．，．BC．．＝．5． 5sin 13 BCBAC AB     ．．……………………………．．．．．．．．．．．.2．．分． （．2．）在．．Rt．．△．ABC．．．中，．． 2 2 2 213 5 12AC AB BC     ．．…………………………………．．．．．．．．．．．．．.3．．分． OD AC ，． 1 62AD AC   ．．…………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．分． 四、证明题（本题共．．．．．．．．．10．．分，每小题．．．．．5．分）．． 题． 号． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 答． 案． D． C． A． C． B． D． A． C． D A O B C 17.．．．证明：．．． 四边形．．．ABCD 是．矩形，．．． ∴．AB CD∥ ，． 90D   .． BAF AED   ．．……………………．．．．．．．．..2．．．分． BF AE ，． 90AFB   ，． AFB D   ．．………………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.3．．分． ABF EAD△ ∽△ ．．…………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..4．．．分． ∴． AD BF AE AB  ……………………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5．分． 18.．．．证明：联结．．．．．OD.．．．……………．．．．． ………………．．．．．．1．分． ∵．AD．．∥．OC,．．． ∴∠．．A=．．∠．COB,．．．．∠．ADO=．．．．∠．COD．．． ……………．．．．．..2．．．分． ∵．OA=OD,．．．．．．∴∠．．A=．．∠．ADO.．．．． ∴∠．．COB=．．．．∠．COD．．． ……………………………．．．．．．．．．．．3．分． ∵．OD=OB,OC=OC,．．．．．．．．．．．． ∴△．．OCD．．．≌△．．OCB.．．．． ………………．．．．．．..．．……………．．．．．4．分． ∴．CD=CB．．．．． …………………………………．．．．．．．．．．．．．..．．……………………………………．．．．．．．．．．．．．．5．分． 五、解答题（本题共．．．．．．．．．9．分，第．．．19．．小题．．4．分，第．．．20．．小题．．5．分）．． 19.．．．解：（．．．1．）． 2 23 3 5 193 15 5 2 4y x x x           ．．……………………………．．．．．．．．．．．1．分． 3 05   ，．函数的最大值是．．．．．．．19 4 ．．…………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．2．分． 答：演员弹跳的最大高度是．．．．．．．．．．．．19 4 米．．． …………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．3．分． （．2．）因为当．．．． 4x  时，．． 23 4 3 4 1 3.45y BC        ，所以这次表演成功．．．．．．．．．．．…．4．分． 20．．.．解：（．．．1．）设所求反比例函数的解析式为：．．．．．．．．．．．．．．． ( 0)ky kx   ．． 点． (1 3)A ， 在此反比例函数的图象上，．．．．．．．．．．．． 3 1 k  ，． 3k  ．．…………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．分． 故所求反比例函数的解析式为：．．．．．．．．．．．．．． 3y x  ．． ………………………………．．．．．．．．．．．．2．分． （．2．）设直线．．．．BC 的解析式为：．．．．．． 1 1( 0)y k x b k   ．． 点．B 在反比例函数．．．．．． 3y x  的图象上，点．．．．．．B 的纵坐标为．．．．．1．，． 31 m   ，． 3m  ．．…………………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．分． 点．B 的坐标为．．．．(31)， ．．……………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．分． 由题意，得．．．．． 1 1 1 3 0 2 k b k b      ， ． 解得：．．． 1 1 2 k b     ， ． 直线．．BC 的解析式为：．．．．．． 2y x  ．．…………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5．分． 六、解答题（本题共．．．．．．．．．11．．分，第．．． 21．．小题．．5．分，第．．．22．．小题．．6．分）．． 21.．．．解：作．．．DF．．⊥．BC．．于点．．F.．．………………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．分． ∵．AD．．∥．BC．．，．∴∠．．1=．．∠．2.．． ∵．AB=AD．．．．．，．∴∠．．2=．．∠．3.．． ∴∠．．1=．．∠．3．………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．.2．．分． 又．∵．AB=DC．．．．．，．∠．C=60．．．．°．，． ∴． 1 1 2 2ABC C   =．∠．1=．．∠．3=30．．．．°．…………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．分． 又．∵．AE．．⊥．BD．．于点．．E．，．AE=1．．．．，．∴．AB=DC=2．．．．．．．…………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．.4．．分． 在．Rt．．△．CDF．．．中，由正弦定义，可得．．．．．．．．．． 3DF  .． E F C D B O A 所以梯形．．．．ABCD．．．．的高为．．． 3 ……………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.5．．分． 2．2．．．(1)．．．证明：．．．∵．直径．．AB．．平分．． ⌒．CD．．，． ∴．AB．．⊥．CD.．．．……………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．分． ∵．BF．．⊥．AB,．．． ∴．CD．．∥．BF.．．．…………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．分． (2)．．．联结．．BD．．，． ∵．AB．．是．⊙．O．的直径，．．．． ∴∠．．ADB=90．．．．．．°．.． ………………………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．分． 在．Rt．．△．ADB．．．中，．． ∵．cos．．．∠．A． cos．．．∠．C=．． ,4 3 AB=4．．．．×．2．8． ∴．AD=AB．．．．．·．cos．．．∠．A． 64 38  ,． …………．．．．.．…………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．4．分． 在．Rt．．△．AED．．．中，．． AE=AD．．．．．·．cos．．．∠．A． 2 9 4 36  .．…………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5．分． 由勾股定理，得．．．．．．． DE．． 72 3 2 96AEAD 2 222      ∵．直径．．AB．．平分．． ⌒．CD．．，．∴．CD．． .73DE2  ………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．6．分． 七、解答题（本题．．．．．．．．6．分）．． 23.．．．解：（．．．1．）令．． 2 2 0x x n   ，．由题意知，方程．．．．．．． 0nx2x 2  有两不等实根，．．．．．．． 0n4)2(ac4b 22  解得，．．． .1n  ∵．抛物线与．．．．y．轴交点在．．．．x．轴上方，．．．． ∴． 0n  .． ∴．n．的取值范围是．．．．．． .1n0  ……………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．分． （．2．）直接用顶点坐标公式得．．．．．．．．．．． (1 1)C n ， ；．…． ………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．..．．3．分． （．3．）由于．．．A B， 在．x 轴上，令．．．． 2 2 0x x n   ，． 用求根公式解得．．．．．．． 1 1 1 1A Bx n x n     ， ，． ∴． 2 1A BAB x x n    …．…………………………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．分． （．4．）依题意，得．．．．．． 2n12  解得，．．． 2 1n  ………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．.5．．分． ∴．抛物线的解析式为：．．．．．．．．． 2 1x2xy 2  ………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．6．分． 八、解答题（本题．．．．．．．．7．分）．． 24．．．．解：（．．．1．）将．．A．（．0．，．1．）、．．B．（．1．，．0．）坐标代入．．．．． 21 2y x bx c   得． 解得．． ∴．抛物线的解折式为．．．．．．．． 21 3 12 2y x x   ………．．．2．分． （．2．）．∵．点．E(4,m)．．．．．．在直线．．． 1 12y x  上． ∴． 3142 1m  ∴．E．的坐标为（．．．．．4．，．3．）．……………………………………．．．．．．．．．．．．．．3．分． （．Ⅰ．）当．．A．为直角顶点时，过．．．．．．．．A．作．AP．．1．⊥．DE．．交．x．轴于．．P．1．点，设．．．P．1．（．a,0．．．）． 易知．．D．点坐标为（－．．．．．．2．，．0．）． 由．Rt．．△．AOD．．．∽．Rt．．△．POA．．．得． i． DO OA OA OP  即． 2 1 1 a  ，．∴．a．＝．2 1 ∴．P．1．（．2 1 ，．0．）．…………………………………．．．．．．．．．．．．．4．分． （．Ⅱ．）同理，当．．．．．E．为直角顶点时，．．．．．．．P．2．点坐标为（．．．．． 11 2 ，．0．）． …………………………．．．．．．．．．．5．分． （．Ⅲ．）当．．P．为直角顶点时，过．．．．．．．．E．作．EF．．⊥．x．轴于．．F．，设．．P．3．（．b 、．0 ）由．．∠．OPA+．．．．∠．FPE．．．＝．90．．°．，． 得．∠．OPA．．．＝．∠．FEP．．． ∴． Rt．．△．AOP．．．∽．Rt．．△．PFE．．． ∴．AO OP PF EF  得． 3 b b4 1  ，．解得．． 1 3b  ，． 2 1b  .． ∴．此时的点．．．．P．3．的坐标为（．．．．．1．，．0．）或（．．．3．，．0．）．………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．7．分． 所以满足条件的点．．．．．．．．P．的坐标为（．．．．．2 1 ，．0．）或（．．．1．，．0．）或（．．．3．，．0．）或（．．． 11 2 ，．0．）．.(．．不写不扣分．．．．．)． 1 1 02 c b c     3 2 1 b c     