2013年鄂州市中考数学试卷解析

湖北省鄂州市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2013•鄂州）2013 的相反数是（ ） A． B． C．3102 D．﹣2013 考点：相反数． 分析：直接根据相反数的定义求解． 解答：解：2013 的相反数为﹣2013． 故选 D． 点评：本题考查了相反数：a 的相反数为﹣a． 2．（3 分）（2013•鄂州）下列计算正确的是（ ） A．a4•a3=a12 B． C．（x2+1）0=0 D．若 x2=x，则 x=1 考点：解一元二次方程-因式分解法；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂． 分析：A、同底数的幂相乘，底数不变，指数相加； B、通过开平方可以求得 的值； C、零指数幂：a0=1（a≠0）； D、先移项，然后通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解方程． 解答：解：A、a4•a3=a（4+3）=a7．故本选项错误； B、 = =|3|=3，故本选项正确； C、∵x2+1≠0，∴（x2+1）0=1．故本选项错误； D、由题意知，x2﹣x=x（x﹣1）=0，则 x=0 或 x=1．故本选项错误． 故选 B． 点评：本题综合考查了零指数幂、算术平方根、同底数幂的乘法以及解一元二次方程﹣﹣因 式分解法．注意，任何不为零的数的零次幂等于 1． 3．（3 分）（2013•鄂州）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 3718684 分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 解答：解：从左面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选 A． 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 4．（3 分）（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是 （ ） A．165° B．120° C．150° D．135° 考点：三角形的外角性质．3718684 分析：利用直角三角形的性质求得∠2=60°；则由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，所 以易求∠1=15°；然后由邻补角的性质来求∠α的度数． 解答：解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°， ∴∠1=∠2﹣45°=15°， ∴∠α=180°﹣∠1=165°． 故选 A． 点评：本题考查了三角形的外角性质．解题时，注意利用题干中隐含的已知条件： ∠1+α=180°． 5．（3 分）（2013•鄂州）下列命题正确的个数是（ ） ①若代数式 有意义，则 x 的取值范围为 x≤1 且 x≠0． ②我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三个有 效数字用科学记数法表示为 3.03×108 元． ③若反比例函数 （m 为常数），当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则一次函数 y=﹣2x+m 的图象一定不经过第一象限． ④若函数的图象关于 y 轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x2 中偶函数的个数为 2 个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点：命题与定理． 3718684 分析：根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案． 解答： 解：①若代数式 有意义，则 x 的取值范围为 x＜1 且 x≠0，原命题错误； ②我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三 个有效数字用科学记数法表示为 3.03×108 元正确． ③若反比例函数 （m 为常数）的增减性需要根据 m 的符号讨论，原命题错误； ④若函数的图象关于 y 轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中只有 y=x2 中偶函数， 原命题错误， 故选 C． 点评：本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例． 6．（3 分）（2013•鄂州）一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非 常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到 大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用 x 表示注水时间，用 y 表示浮子的高度，则用 来表示 y 与 x 之间关系的选项是（ ） A． B． C． D． 考点：函数的图象． 分析：分三段考虑，①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注 满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内 的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加． 解答：解：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加； ②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变； ③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加． 结合图象可得 B 选项的图象符合． 故选 B． 点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要分段讨论，另外本题重要的一点在于：浮子始 终保持在容器的正中间． 7．（3 分）（2013•鄂州）如图，Rt△ABC 中，∠A=90°，AD⊥BC 于点 D，若 BD：CD=3： 2，则 tanB=（ ） A． B． C． D． 考点：相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 3718684 分析：首先证明△ABD∽△ACD，然后根据 BD：CD=3：2，设 BD=3x，CD=2x，利用对应 边成比例表示出 AD 的值，继而可得出 tanB 的值． 解答：解：在 Rt△ABC 中， ∵AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB=∠CDA， ∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°， ∴∠B=∠DAC， ∴△ABD∽△ACD， ∴ = ， ∵BD：CD=3：2， 设 BD=3x，CD=2x， ∴AD= = x， 则 tanB= = = ． 故选 D． 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的 关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长． 8．（3 分）（2013•鄂州）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解，若（m ﹣1）（n﹣1）=﹣6，则 a 的值为（ ） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10 考点：根与系数的关系． 3718684 专题：计算题． 分析：利用根与系数的关系表示出 m+n 与 mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形， 将 m+n 与 mn 的值代入即可求出 a 的值． 解答：解：根据题意得：m+n=3，mn=a， ∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6， ∴a﹣3+1=﹣6， 解得：a=﹣4． 故选 C 点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 9．（3 分）（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得 出了下面五条信息： ①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤ ． 你认为其中正确信息的个数有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 考点：二次函数图象与系数的关系．3718684 分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系， 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0． ∵对称轴 x=﹣ =﹣ ，∴b= a＜0， ∴ab＞0．故①正确； ②如图，当 x=1 时，y＜0，即 a+b+c＜0． 故②正确； ③如图，当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＞0， ∴2a﹣2b+2c＞0，即 3b﹣2b+2c＞0， ∴b+2c＞0． 故③正确； ④如图，当 x=﹣1 时，y＞0，即 a﹣b+c＞0． 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0． ∵b＜0， ∴c﹣b＞0， ∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞0，即 a﹣2b+4c＞0． 故④正确； ⑤如图，对称轴 x=﹣ =﹣ ，则 ．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共 5 个． 故选 D． 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开 口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定． 10．（3 分）（2013•鄂州）如图，已知直线 a∥b，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到直线 b 的距离为 3，AB= ．试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上 找一点 N，满足 MN⊥a 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点：勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离． 3718684 分析：MN 表示直线 a 与直线 b 之间的距离，是定值，只要满足 AM+NB 的值最小即可，作 点 A 关于直线 a 的对称点 A′，连接 A′B 交直线 b 与点 N，过点 N 作 NM⊥直线 a，连 接 AM，则可判断四边形 AA′NM 是平行四边形，得出 AM=A′N，由两点之间线段最 短，可得此时 AM+NB 的值最小．过点 B 作 BE⊥AA′，交 AA′于点 E，在 Rt△ABE 中求出 BE，在 Rt△A′BE 中求出 A′B 即可得出 AM+NB． 解答：解：作点 A 关于直线 a 的对称点 A′，连接 A′B 交直线 b 与点 N，过点 N 作 NM⊥直 线 a，连接 AM， ∵A 到直线 a 的距离为 2，a 与 b 之间的距离为 4， ∴AA′=MN=4， ∴四边形 AA′NM 是平行四边形， ∴AM+NB=A′N+NB=A′B， 过点 B 作 BE⊥A A′，交 AA′于点 E， 易得 AE=2+4+3=9，AB=2 ，A′E=2+3=5， 在 Rt△AEB 中，BE= = ， 在 Rt△A′EB 中，A′B= =8． 故选 B． 点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点 M、点 N 的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短． 二、填空题：（每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）（2013•鄂州）若|p+3|=0，则 p= ﹣3 ． 考点：绝对值． 3718684 分析：根据零的绝对值等于 0 解答． 解答：解：∵|p+3|=0， ∴p+3=0， 解得 p=﹣3． 故答案为：﹣3． 点评：本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0 的绝对值是 0． 12．（3 分）（2013•鄂州）下列几个命题中正确的个数为 1 个． ①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为 1，2，3，4，5， 6）． ②5 名同学的语文成绩为 90，92，92，98，103，则他们平均分为 95，众数为 92． ③射击运动员甲、乙分别射击 10 次，算得甲击中环数的方差为 4，乙击中环数的方差为 16， 则这一过程中乙较甲更稳定． ④某部门 15 名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清楚数据，所以 对于“该部门员工个人年创利润的中位数为 5 万元”的说法无法判断对错． 个人年创利润/万元 10 8 5 3 员工人数 1 3 4 考点：命题与定理． 3718684 分析：分别根据中位数、众数、平均数、方差等公式以及性质分别计算分析得出即可． 解答：解：①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为不可能事件（骰子上各面点数依次为 1， 2，3，4，5，6），故此选项错误； ②5 名同学的语文成绩为 90，92，92，98，103，则他们平均分为 95，众数为 92， 故此选项正确； ③射击运动员甲、乙分别射击 10 次，算得甲击中环数的方差为 4，乙击中环数的方 差为 16，则这一过程中甲较乙更稳定，故此选项错误； ④根据某部门 15 名员工个人年创利润数据，第 7 个与第 8 个数据平均数是中位数， 故“该部门员工个人年创利润的中位数为 5 万元”，故此选项错误， 故正确的有 1 个． 故答案为；1． 点评：此题主要考查了命题与定理，根据已知正确分析数据得出中位数是解题关键． 13．（3 分）（2013•鄂州）若不等式组 的解集为 3≤x≤4，则不等式 ax+b＜0 的解 集为 x＞ ． 考点：解一元一次不等式组；不等式的解集；解一元一次不等式． 3718684 分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出 a b 的值，代入求出不等式的解集即可． 解答：解： ∵解不等式①得：x≥ ， 解不等式②得：x≤﹣a， ∴不等式组的解集为： ≤x≤﹣a， ∵不等式组 的解集为 3≤x≤4， ∴ =3，﹣a=4， b=6，a=﹣4， ∴﹣4x+6＜0， x＞ ， 故答案为：x＞ 点评：本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能 根据不等式组的解集求出 a b 的值． 14．（3 分）（2013•鄂州）已知正比例函数 y=﹣4x 与反比例函数 的图象交于 A、B 两点， 若点 A 的坐标为（x，4），则点 B 的坐标为 （1，﹣4） ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 3718684 分析：首先求出 A 点坐标，进而将两函数联立得出 B 点坐标即可． 解答：解：∵正比例函数 y=﹣4x 与反比例函数 的图象交于 A、B 两点，点 A 的坐标为 （x，4）， ∴4=﹣4x， 解得：x=﹣1， ∴xy=k=﹣4， ∴y= ， 则﹣ =﹣4x， 解得：x1=1，x2=1， 当 x=1 时，y=﹣4， ∴点 B 的坐标为：（1，﹣4）． 故答案为：（1，﹣4）． 点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据已知得出 A 点坐标是解题关 键． 15．（3 分）（2013•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他 曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹 性的木棒的两端 A、B 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点 P 处的小孔中，随着木 棒的滑动就可以画出一个圆来．若 AB=20cm，则画出的圆的半径为 10 cm． 考点：直角三角形斜边上的中线． 3718684 分析：连接 OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OP 的长，画出的圆的 半径就是 OP 长． 解答：解：连接 OP， ∵△AOB 是直角三角形，P 为斜边 AB 的中点， ∴OP= AB， ∵AB=20cm， ∴OP=10cm， 故答案为：10． 点评：此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半． 16．（3 分）（2013•鄂州）如图，△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段 A′B′与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 B′E 的长度 为 ． 考点：旋转的性质． 3718684 分析：利用勾股定理列式求出 AB，根据旋转的性质可得 AO=A′O，A′B′=AB，再求出 OE， 从而得到 OE=A′O，过点 O 作 OF⊥A′B′于 F，利用三角形的面积求出 OF，利用勾股 定理列式求出 EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 A′E=2EF，然后根据 B′E=A′B′﹣A′E 代入数据计算即可得解． 解答：解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6， ∴AB= = =3 ， ∵△AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3 ， ∵点 E 为 BO 的中点， ∴OE= BO= ×6=3， ∴OE=A′O， 过点 O 作 OF⊥A′B′于 F， S△A′OB′= ×3 •OF= ×3×6， 解得 OF= ， 在 Rt△EOF 中，EF= = = ， ∵OE=A′O，OF⊥A′B′， ∴A′E=2EF=2× = （等腰三角形三线合一）， ∴B′E=A′B′﹣A′E=3 ﹣ = ． 故答案为： ． 点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形 面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 三、解答题（17～20 每题 8 分，21～22 每题 9 分，23 题 10 分，24 题 12 分，共 72 分） 17．（8 分）（2013•鄂州）先化简，后求值： ，其中 a=3． 考点：分式的化简求值． 3718684 专题：计算题． 分析：现将括号内的部分因式分解，通分后相加，再将除法转化为乘法，最后约分．再将 a=3 代入即可求值． 解答： 解： ÷ = ÷ = = = = =a． ∴当 a=3 时，原式=3． 点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分是解题的关键． 18．（8 分）（2013•鄂州）如图正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点． （1）求证：△ADE≌△ABF． （2）求△AEF 的面积． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．3718684 分析：（1）由四边形 ABCD 为正方形，得到 AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由 E、F 分别为 DC、BC 中点，得出 DE=BF，进而证明出两三角形全等； （2）首先求出 DE 和 CE 的长度，再根据 S△AEF=S 正方形 ABC D﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF 得出结果． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=AD，∠=90°，DC=CB， ∵E、F 为 DC、BC 中点， ∴DE= DC，BF= BC， ∴DE=BF， ∵在△ADE 和△ABF 中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF 均为直角三角形， 且 AB=AD=4，DE=BF= ×4=2，CE=CF= ×4=2， ∴S△AEF=S 正方形 ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF =4×4﹣ ×4×2﹣ ×4×2﹣ ×2×2 =6． 点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形 的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大． 19．（8 分）（2013•鄂州）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“灵”、“秀”、“鄂”、“州”的 四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“鄂”的概率为多少？ （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个 球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的概率 P1； （3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球 上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的概率为 P2，指出 P1，P2 的大小关系（请直接写出结论， 不必证明）． 考点：列表法与树状图法；概率公式． 3718684 分析：（1）由有汉字“灵”、“秀”、“鄂”、“州”的四个小球，任取一球，共有 4 种不同结果， 利用概率公式直接求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与甲取出的 两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的情况，再利用概率公式即可求得答案；注 意是不放回实验； （3）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与甲取出的 两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的情况，再利用概率公式即可求得答案；注 意是放回实验． 解答：解：（1）∵有汉字“灵”、“秀”、“鄂”、“州”的四个小球，任取一球，共有 4 种不同结 果， ∴球上汉字刚好是“鄂”的概率 P= ； （2）画树状图得： ∵共有 12 种不同取法，能满足要求的有 4 种， ∴P1= = ； （3）画树状图得： ∵共有 16 种不同取法，能满足要求的有 4 种， ∴P2= = ； ∴P1＞P2． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（8 分）（2013•鄂州）甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发 向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系； 折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y（千米）与 x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答 下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段 CD 对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以 CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与 货车相遇（结果精确到 0.01）． 考点：一次函数的应用． 3718684 分析：（1）根据图象可知货车 5 小时行驶 300 千米，由此求出货车的速度为 60 千米/时， 再根据图象得出货车出发后 4.5 小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车 行驶的路程为 270 千米，而甲、乙两地相距 300 千米，则此时货车距乙地的路程为： 300﹣270=30 千米； （2）设 CD 段的函数解析式为 y=kx+b，将 C（2.5，80），D（4.5，300）两点的坐标 代入，运用待定系数法即可求解； （3）设轿车从甲地出发 x 小时后再与货车相遇，根据轿车（x﹣4.5）小时行驶的路程 +货车 x 小时行驶的路程=300 千米列出方程，解方程即可． 解答：解：（1）根据图象信息：货车的速度 V 货= =60（千米/时）． ∵轿车到达乙地的时间为货车出发后 4.5 小时， ∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米）， 此时，货车距乙地的路程为：300﹣270=30（千米）． 答：轿车到达乙地后，货车距乙地 30 千米； （2）设 CD 段函数解析式为 y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）． ∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上， ∴ ，解得 ， ∴CD 段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）； （3）设轿车从甲地出发 x 小时后再与货车相遇． ∵V 货车=60 千米/时，V 轿车= =110（千米/时）， ∴110（x﹣4.5）+60x=300， 解得 x≈4.68（小时）． 答：轿车从甲地出发约 4.68 小时后再与货车相遇． 点评：本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数 的解析式的运用，行程问题中路程=速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货 车与轿车的速度是解题的关键． 21．（9 分）（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码 20 层！”小华却不以为然：“20 层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也 能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选 A、B 两点，测量数据如图，其中矩形 CDEF 表示楼体，AB=150 米，CD=10 米，∠A=30°，∠B=45°， （A、C、D、B 四点在同一直线上）问： （1）楼高多少米？ （2）若每层楼按 3 米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据： ≈1.73， ≈1.41， ≈2.24） 考点：勾股定理的应用． 3718684 专题：应用题． 分析：（1）设楼高为 x，则 CF=DE=x，在 Rt△ACF 和 Rt△DEB 中分别用 x 表示 AC、BD 的值，然后根据 AC+CD+BD=150，求出 x 的值即可； （2）根据（1）求出的楼高 x，然后求出 20 层楼的高度，比较 x 和 20 层楼高的大小 即可判断谁的观点正确． 解答：解：（1）设楼高为 x 米，则 CF=DE=x 米， ∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°， ∴AC= x 米，BD=x 米， ∴ x+x=150﹣10， 解得 x= =70（ ﹣1）（米）， ∴楼高 70（ ﹣1）米． （2）x=70（ ﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1 米＜3×20 米， ∴我支持小华的观点，这楼不到 20 层． 点评：本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解， 难度一般． 22．（9 分）（2013•鄂州）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AB⊥AC，BC 交⊙O 于 D，E 是 AC 的中点，ED 与 AB 的延长线相交于点 F． （1）求证：DE 为⊙O 的切线． （2）求证：AB：AC=BF：DF． 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质． 3718684 专题：证明题． 分析：（1）连接 OD、AD，求出 CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出 ∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可； （2）证△ABD∽△CAD，推出 = ，证△FAD∽△FDB，推出 = ，即可得出 AB：AC=BF：DF． 解答：证明：（1）连结 DO、DA， ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠CDA=∠BDA=90°， ∵CE=EA， ∴DE=EA， ∴∠1=∠4， ∵OD=OA， ∴∠2=∠3， ∵∠4+∠3=90°， ∴∠1+∠2=90°， 即：∠EDO=90°， ∵OD 是半径， ∴DE 为⊙O 的切线； （2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°， ∴∠4=∠DBA， ∵∠CDA=∠BDA=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴ = ， ∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°， 又∵OD=OB， ∴∠BDO=∠DBO， ∴∠3=∠FDB， ∵∠F=∠F， ∴△FAD∽△FDB， ∴ = ， ∴ = ， 即 AB：AC=BF：DF． 点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学 生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． 23．（10 分）（2013•鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场 调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会 少售出 10 件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x＞40），请你分别用 x 的代数式来表示销售 量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量 y（件） 1000﹣10x 销售玩具获得利润 w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000 （2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少 元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不 少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用． 3718684 分析：（1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x， 利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000； （2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出 x 的值即可； （3）首先求出 x 的取值范围，然后把 w=﹣10x2+1300x﹣30000 转化成 y=﹣10（x﹣ 65）2+12250，结合 x 的取值范围，求出最大利润． 解答：解：（1） 销售单价（元） x 销售量 y（件） 1000﹣10x 销售玩具获得利润 w（元）﹣10x2+1300x﹣30000 （2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000 解之得：x1=50，x2=80 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润， （3）根据题意得 解之得：44≤x≤46 w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250 ∵a=﹣10＜0，对称轴 x=65 ∴当 44≤x≤46 时，y 随 x 增大而增大． ∴当 x=46 时，W 最大值=8640（元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元． 点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质 以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 24．（12 分）（2013•鄂州）在平面直角坐标系中，已知 M1（3，2），N1（5，﹣1），线段 M1N1 平移至线段 MN 处（注：M1 与 M，N1 与 N 分别为对应点）． （1）若 M（﹣2，5），请直接写出 N 点坐标． （2）在（1）问的条件下，点 N 在抛物线 上，求该抛物线对应的函数解 析式． （3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为 B，与 y 轴交于点 A，点 E 为线段 AB 中点，点 C （0，m）是 y 轴负半轴上一动点，线段 EC 与线段 BO 相交于 F，且 OC：OF=2： ，求 m 的值． （4）在（3）问条件下，动点 P 从 B 点出发，沿 x 轴正方向匀速运动，点 P 运动到什么位 置时（即 BP 长为多少），将△ABP 沿边 PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为 此时的△ABP 面积的 ，求此时 BP 的长度． 考点：二次函数综合题． 3718684 专题：综合题． 分析：（1）首先根据点 M 的移动方向和单位得到点 N 的平移方向和单位，然后按照平移方 向和单位进行移动即可； （2）将点 N 的坐标代入函数的解析式即可求得 k 值； （3）配方后确定点 B、A、E 的坐标，根据 CO：OF=2： 用 m 表示出线段 CO、 FO 和 BF 的长，利用 S△BEC=S△EBF+S△BFC= 得到有关 m 的方程求得 m 的值即 可； （4）分当∠BPE＜∠APE 时、当∠BPE=∠APE 时、当∠BPE＜∠APE 时三种情况分 类讨论即可． 解答：解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同， 由点 M 到点 M′可知，点的横坐标减 5，纵坐标加 3， 故点 N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）． N（0，2）； （2）∵N（0，2）在抛物线 y= x2+ x+k 上 ∴k=2 ∴抛物线的解析式为 y= x2+ x+2 （3）∵y= x2+ x+2= （x+2 ）2 ∴B（﹣2 ，0）、A（0，2）、E（﹣ ，1） ∵CO：OF=2： ∴CO=﹣m，FO=﹣ m，BF=2 + m ∵S△BEC=S△EBF+S△BFC= ∴ （2 + m）（﹣m+1）= 整理得：m2+m=0 ∴m=﹣1 或 0 ∵m＜0 ∴m=﹣1 （4）在 Rt△ABO 中，tan∠ABO= = = ∴∠ABO=30°，AB=2AO=4 ①当∠BPE＞∠APE 时，连接 A1B 则对折后如图 2，A1 为对折后 A 的所落点，△EHP 是重叠部分． ∵E 为 AB 中点，∴S△AEP=S△BEP= S△ABP ∵S△EHP= S△ABP ∴ =S△EHP=S△BHP= S△ABP ∴A1H=HP，EH=HB=1 ∴四边形 A1BPE 为平行四边形 ∴BP=A1E=AE=2 即 BP=2 ②当∠BPE=∠APE 时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意； ③当∠BPE＜∠APE 时． 则对折后如图 3，A1 为对折后 A 的所落点．△EHP 是重叠部分 ∵E 为 AB 中点， ∴S△AEP=S△BEP= S△ABP ∵S△EHP= S△ABP∴S△EBH=S△EHP= = S△ABP ∴BH=HP，EH=HA1=1 又∵BE=EA=2 ∴EH AP， ∴AP=2 在△APB 中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2． ∴∠APB=90°， ∴BP= ， 综合①②③知：BP=2 或 ； 点评：此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要 知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．