2010-2011营口市高二期末试题及答案（理科数学）

营口市普通高中 2010—2011 学年度上学期 期末教学质量检测二年级 理 科 数 学（试题卷） 命题人：郝 军 审校人：孙家逊 试卷说明：试卷分为试题卷和答题卷，试题卷中第 I 卷为选择题，答案选项填在答题卷选择 题答题表中，用答题卡的学校涂在答题卡相应题号上；第 II 卷为非选择题，答 案一律答在答题卷相应位置上.考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分. 第 I 卷 一、选择题：（12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每个小题给出的四个选项中只有一个是符 合题目要求的） 1.下列语句是命题的一句是 (A) x—1 =0 (B) 2+3=8 (C)你会说英语吗 (D)这是一棵大树 2.直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，若CA  a CB  b 1CC  c 1A B 则 (A) a+b-c (B) a–b+c (C)-a+b+c． (D)-a+b-c 3．若等差数列 na 满足 2 3 4a S  ， 3 5 12a S  ，则 4 7a S 的值是 (A) 20 (B) 36 (C) 24 (D) 72 4．对于实数 x ，若 , 1n Z n x n    规定[ ]x n ，则不等式 24[ ] 60[ ] 125 0x x   的解 集是 (A) ]13,3[ (B) ]12,4[ (C) )13,3[ (D) )12,4[ 5. 若不等式组 0 2 2 0 x y x y y x y a          表示的平面区域是一个四边形，则 a 的取值范围是 (A) 4 3a  (B)0 1a  (C) 41 3a  (D)0 1a  或 4 3a  6.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝1 4 ，则 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值 范围是 (A) [12,16] (B) [8，32 3 ] (C) [8，32 3 ) (D)[16 3 ，32 3 ] 7.若 (1, 2,1), (4,2,3), (6, 1,4)A B C  ，则 ABC 的形状是 (A)不等边锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等边三角形 8．如果 2 2 1| | 2 1 x y k k     表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么它的半焦距 c 的取值范围是 (A) (1, ) (B)(0,2) (C) (2, ) (D) (1,2) 9.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， O 为底面的中心， E 是 1CC 的中点,那么异面直线 1A D 与 EO 所成角的余弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 1 2 (D) 0 10. 已知正整数 ,a b 满足 4 30a b  ，使得 1 1 a b  取最小值时的实数对 ( , )a b 是 (A) (4,14) (B)(5,10) (C) (6,6) (D) (7,2) 11．设a b c、、 分别为 ABC 的三内角 A B C、 、 所对的边，则 2 ( )a b b c  是 A B=2 的 (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 12．如右图所示的曲线是以锐角 ABC 的顶点 ,B C 为 焦点，且经过点 A 的双曲线，若 ABC 的内角的 对边分别为 , ,a b c ,且 sin 34, 6, 2 c Aa b a    ， 则此双曲线的离心率为 (A) 3 7 2  (B) 3 7 2  (C)3 7 (D)3 7 二、填空题：（4 小题，每小题 5 分，共 20 分.答案一律答在答题卷相应位置上） 13.函数 ( )y f x 的图象是如图两条线段，它的定义域是 ]1,0()0,1[  ， 则不等式 1)()(  xfxf 的解集是××××× . 14．给定下列命题： ① “若 0m  ，则方程 2 2 0x x m   有实数根”的逆否命题； ②“ 1x ”是“ 2 3 2 0x x   ”的充分不必要条件. ③“矩形的对角线相等”的逆命题； ④全称命题 ”，“ 032  xxRx 的否定是“  030 2 00  xxRx ， ” c 13 题图 其中真命题的序号是××××× . 15. 在 ABC 中， ( 2,0), (2,0), ( , )B C A x y .给出 ABC 满足的条件，就能得到动点 A 的 轨迹方程。下表给出了一些条件和方程： 条 件 方 程 ① ABC 的周长为 10 C1: 2 25y  ② ABC 的面积为 10 C2: 2 2 4( 0)x y y   ③ ABC 中，∠A=90° C3: 2 2 1( 0)9 5 x y y   则满足①、②、③的轨迹方程分别为××××× .（用代号 C1、C2、C3 填入） 16．对正整数 n ，设抛物线 xny )12(22  ，过 )0,2( nP 任作直线l 交抛物线于 nn BA , 两点， 则数列         )1(2 n OBOA nn 的前 n 项和公式是××××× . 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.答在答题卷的指定区域内） 17. （本小题满分 10 分） 已 知 命 题 p ： 方 程 2 1 0x mx   有 两 个 不 等 的 负 实 根 ； 命 题 q ： 方 程 24 4( 2) 1 0x m x    无实根, 若“ p 或 q ”为真，而“ p 且 q ”为假，求实数 m 的 取值范围. 18．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A B C、 、 的对边分别为a b c、、 ，且 2 cos cos cosb A c A a C     ． （1）求角 A 的大小； （2）若 4,7  cba ，求 ABC 的面积． 19．（本小题满分 12 分） 长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的侧棱 1AA a ， 底面 ABCD 的边长 2 ,AB a BC a  ， E 为 1 1C D 的中点； (1)求证： DE  平面 BCE ； (2)求二面角 E BD C  的正切值. 20.( 本小题满分 12 分) 设 1F ， 2F 分别为椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的左、右焦点，过 2F 的直 C1 B1 A1 D1 C D E A B 线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，直线l 的倾斜角为 60 ， 1F 到直线l 的距离为 2 3 ； （1）求椭圆C的焦距； （2）如果 2 22AF F B  ,求椭圆C的方程. 21.（本小题满分 12 分） 设 na 是公比大于 1 的等比数列， nS 为数列 na 的前 n 项和．已知 3 7S  ， 且 1 2 33,3 , 4a a a  构成等差数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）令 3 1ln , 1,2,3...n nb a n  ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 22．（本小题满分 12 分） 已知定点 ( 1,0)C  及椭圆 2 23 5x y  ,过点C 的动直线与椭圆相交于 ,A B 两点． （1）若线段 AB 中点的横坐标是 1 2  ，求直线 AB 的方程； （2）在 x 轴上是否存在点 M ，使 MA MB  为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不 存在，请说明理由． 营口市普通高中 2010—2011 学年度上学期 期末教学质量检测二年级 理科数学试题答案及评分标准 一、选择题： 小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 正确选项 B D C C C C A A D B A D 二、填空题： 13. 1[ 1, ) (0,1]2    . 14. ①②④. 15. C3 ；C1；C2 . 16． )1(  nn . 三、解答题： 17. 解： p 真 1 2 1 2 0 0 1 0 x x m x x            2m  ， ……………………3 分 q 真 0   1 3m   , ……………………5 分 ⑴若 p 假 q 真，则 2 1 21 3 m mm       ≤ ； ……………………7 分 ⑵若 p 真 q 假，则 2 3 1 3 m m m m    ≥ ≤ 或 ≥ ； 综上所述, 实数 m 的取值范围为(1,2]∪[3,+∞)． …………………10 分 18．解:（1）根据正弦定理 2 cos cos cosb A c A a C      BCACACABA sin)sin(sincoscossinsincos2  , …………4 分 1sin 0, cos ,2B A   又 0 180o oA  , 60oA  ． …………………………6 分 （2）由余弦定理得: bccbbccbbccba 3)(60cos27 222222   ,……………8 分 代入 4b c  得 3bc  , ………………………10 分 故 ABC 面积为 .4 33sin2 1  AbcS ……………………………………12 分 19．解： (1)∵ 1 , 2 , ,AA a AB a BC a E   为 1 1C D 的中点； ∴ 2 ,DE CE a DE CE    ， ……2 分 又∵ 5 , 3 ,DB a EB a  ∴ DE EB ， 而CE EB E ∴ DE ⊥平面 BCE ………………………6 分 (2) 取 DC 的中点 F ，则 EF ⊥平面 BCD ,作 FH BD 于 H ，连 EH ，则 EHF 就是二面角 E BD C  的平面角， ……………………8 分 由题意得 EF a ，在 Rt DFH 中， aHF 5 5 ……………………10 分 ∴ tan 5EHF  . ……………………………………………12 分 （采用空间向量方法解，参照给分。） 20．解：（1）设焦距为 2c ，由已知可得 1F 到直线l 的距离 3 2 3c  ，故 2c  ， 所以椭圆C 的焦距为 4； ………………………… 4 分 C1 B1 A1 D1 CD E A B （2）设 1 2 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由题意知 1 20, 0y y  直线l 的方程为 3( 2)y x  联立 2 2 2 2 3( 2) 1 y x x y a b      得 2 2 2 2 4(3 ) 4 3 3 0a b y b y b    ， 解得 2 2 1 22 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 ),3 3 b a b ay ya b a b       ， …………………………… 8 分 因为 2 22AF F B  ，所以 1 22y y  即 2 2 2 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 )23 3 b a b a a b a b      得 3a  ，又 2c  ，故 5b  故椭圆C 的方程为 2 2 19 5 x y  . ……………………………………… 12 分 21.解： （1）由已知得 1 2 3 1 3 2 7 ( 3) ( 4) 32 a a a a a a        ， 解得 2 2a  ， ……………………… 2 分 设数列{ }na 的公比为 q ，由 2 2a  ，可得 1 3 2 2a a qq  ， ， 又 3 7S  ，可知 2 2 2 7qq    ，即 22 5 2 0q q   ， ……………………… 4 分 解得 1 2 12 2q q ， ， 由题意得 1 2q q  ， ， 1 1a  ； 故数列{ }na 的通项为 12n na  ． ………………………………………… 6 分 （2）由于 3 1ln 12n nb a n  ， ，， ， 由（1）得 3 3 1 2 n na   ∴ 3ln 2 3 ln 2n nb n  ， …………………………………………… 9 分 ∴ 1 2n nT b b b    = 2ln2 )1(3)...4321(2ln3  nnn . …………………………… 12 分 22．解： （1）依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ( 1)y k x  , 将 ( 1)y k x  代入 2 23 5x y  , 消去 y 整理得 2 2 2 2(3 1) 6 3 5 0k x k x k     ， ………………… 2 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y , 则         . 13 6 ,0)53)(13(436 2 2 21 224 k kxx kkk 由线段 AB 中点的横坐标是 1 2  ， 得 2 1 2 2 3 1 2 3 1 2 x x k k      ，解得 3 3k   ，适合① 所以直线 AB 的方程为 3 1 0x y   或 3 1 0x y   ； ……………… 5 分 （2）假设在 x 轴上存在点 ( ,0)M m ，使 MBMA 为常数． （ⅰ）当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由（1）知 2 2 1 2 1 22 2 6 3 5,3 1 3 1 k kx x x xk k      ， ③ 所以 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( 1)( 1)MA MB x m x m y y x m x m k x x            2 2 2 2 2 2 1 2( 1) ( )( )k x x k m x x k m       ； …………………………7 分 将③代入，整理得 2 2 2 2 2 2 1 14(2 )(3 1) 2(6 1) 5 3 3 3 1 3 1 m k mm kMA MB m mk k             ① ② 2 2 1 6 142 3 3(3 1) mm m k      ， 注意到 MA MB  是与 k 无关的常数，从而有 76 14 0, 3m m    ， 此时 4 9MA MB   ； ……………………………………………… 10 分 （ ⅱ ） 当 直 线 AB 与 x 轴 垂 直 时 ， 此 时 点 A B、 的 坐 标 分 别 为 2 2( 1, ),( 1, ) 3 3    ， 当 7 3m   时，亦有 4 9MA MB   ； 综上，在 x 轴上存在定点 7( ,0)3M  ，使 MA MB  为常数. …………… 12 分