2017年顺义区初三一模数学试题及答案

顺义区 2017 届初三第一次统一练习 数学试卷 学校名称 姓名 准考证号 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 第 1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保． 2016 年全国共享单车用户数量达 18860 000，将 18860 000 用科学记数法表示应为 A． 41886 10 B． 80.1886 10 C． 71.886 10 D． 61.886 10 2．9 的算术平方根是 A．3 B． 3 C． 3 D．9 3．如图，AB∥CD，E 是 BC 延长线上一点，若∠B=50， ∠D=20，则∠E 的度数为 A．20 B．30 C．40 D．50 4．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案 中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A B C D 5．实数 a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，若实数 b， d 互为相反数，则这四个实数中， 绝对值最小的是 A．a B．b C．c D．d 6．如果 5a b  ，那么代数式 2 2 ( 2)a b ab ab a b    的值是 A． 1 5  B． 1 5 C．-5 D．5 7．手鼓是鼓中的一个大类别，是一种打击乐器．如图是我国某少数民族手鼓的轮廓图，其俯视图是 8．如图，在 3×3 的正方形网格图中，有 3 个小正方形涂成了黑色，现在从白色小正方形中任意选 取一个并涂成黑色，使黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 6 9．在平面直角坐标系 ' ' 'x O y 中，如果抛物线 2' 2 'y x 不动，而把 x 轴、y 轴分别向下、向左平移 2 个单位，则在新坐标系下抛物线的表达式为 A． 22( 2) 2y x   B． 22( 2) 2y x   C． 22( 2) 2y x   D． 22( 2) 2y x   10．某公司在抗震救灾期间承担 40 000 顶救灾帐篷的生产任务，分为 A、B、C、D 四种型号，它们 的数量百分比和每天单独生产各种型号帐篷的数量如图所示： 根据以上信息，下列判断错误的是 A．其中的 D 型帐篷占帐篷总数的 10% B．单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 C 型帐篷天数的 3 倍 C．单独生产 A 型帐篷与单独生产 D 型帐篷的天数相等 D．单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 A 型帐篷天数的 2 倍 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．如果二次根式 3x  有意义，那么 x 的取值范围是 ． 12．如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正 确的等 式： ． 13．图 1 为北京城市女生从出生到 15 岁的平均身高统计图，图 2 是北京城市某女生从出生到 12 岁 的身高统计图． 请你根据以上信息预测该女生 15 岁时的身高约为 ，你的预测理由是 ． 14．小刚身高 180cm，他站立在阳光下的影子长为 90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为 115cm， 那么小刚的手臂超出头顶 cm． 15．如图，一张三角形纸片 ABC，其中∠C=90，AC=6，BC=8．小 静同 学将纸片做两次折叠：第一次使点 A 落在 C 处，折痕记为 m； 然后 将纸片展平做第二次折叠，使点 A 落在 B 处，折痕记为 n．则 m，n 的大小关系是 ． 16．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小凯的作法如下： 老师说：“小凯的作法正确．” 请回答：在小凯的作法中，判定四边形 AECF 是菱形的依据是______________________． 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27、28 题每小题 7 分，第 29 题 8 分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算： 0(2 2 ) 4cos60 2 2 18     ． 18．解不等式： 15 3 2 x ≥ 7 x ，并把它的解集在数轴上表示出来． 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求作：菱形 AECF，使点 E，F 分别在 BC，AD 上． （1）连接 AC； （2）作 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于 E，F； （3）连接 AE，CF． 所以四边形 AECF 是菱形． 19．如图，□ABCD 中，BE⊥CD 于 E，CE=DE． 求证：∠A=∠ABD． 20．已知关于 x 的方程 2 22 2 0x mx m m     有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 为正整数时，求方程的根． 21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 1 : ( 0)l y mx m  与直线 2 : ( 0)l y ax b a   相交于点 A （1， 2），直线 2l 与 x 轴交于点 B（3，0）． （1）分别求直线 1l 和 2l 的表达式； （2）过动点 P（0，n）且平行于 x 轴的直线与 1l ， 2l 的交点 分别为 C，D，当点 C 位于点 D 左方时，写出 n 的取值范围． 22．某电脑公司有 A、B 两种型号的电脑，其中 A 型电脑每台 6 000 元，B 型电脑每台 4 000 元．学 校计划花费 150 000 元从该公司购进这两种型号的电脑共 35 台，问购买 A 型、B 型电脑各多少 台？ 23．已知：如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交 于 点 O， AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC. （1）求证：BD 平分∠ABC； （2）若∠DAC = 45 ，OA=1，求 OC 的长. 24．中国古代有二十四节气歌，“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小 大寒．”它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流传至今．节气指二十四 时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中国古代劳动人民长期经验的 积累和智慧的结晶．其中第一个字“春”是指立春，为春季的开始，但在气象学上的入春日是有 严格定义的，即连续 5 天的日平均气温稳定超过 10℃又低于 22℃，才算是进入春天，其中，5 天中的第一天即为入春日．例如：2014 年 3 月 13 日至 18 日，北京的日平均气温分别为 9.3℃， 11.7℃，12.7℃，11.7℃，12.7℃和 12.3℃，即从 3 月 14 日开始，北京日平均气温已连续 5 天稳 定超过 10℃，达到了气象学意义上的入春标准．因此可以说 2014 年 3 月 14 日为北京的入春日． 日平均温度是指一天 24 小时的平均温度．气象学上通常用一天中的 2 时、8 时、 14 时、20 时 4 个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温（即 4 个气温相加除以 4），结果 保留一位小数． 下表是北京顺义 2017 年 3 月 28 日至 4 月 3 日的气温记录及日平均气温（单位：℃） 时间 2 时 8 时 14 时 20 时 平均气温 3 月 28 日 6 8 13 11 9.5 3 月 29 日 7 6 17 14 a 3 月 30 日 7 9 15 12 10.8 3 月 31 日 8 10 19 13 12.5 4 月 1 日 8 7 18 15 12 4 月 2 日 11 7 22 16 14 4 月 3 日 13 11 21 17 15.5 根据以上材料解答下列问题： （1）求出 3 月 29 日的日平均气温 a； （2）采用适当的统计图将这 7 天的日平均气温的变化情况表示出来； （3）请指出 2017 年的哪一天是北京顺义在气象学意义上的入春日． 25．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 C，连接 BC，∠P=∠B． （1）求∠P 的度数； （2）连接 PB，若⊙O 的半径为 a，写出求△PBC 面积的思路． 26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数  22 64   x xy 的图象和性质进行了探究，探 究过程如下，请补充完整： （1）该函数的自变量 x 的取值范围是 ； （2）同学们先找到 y 与 x 的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系 xOy 中，描出各对对应 值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ． 27．如图，已知抛物线 2 8( 0)y ax bx a    与 x 轴交于 A（-2，0），B 两点，与 y 轴交于 C 点， tan∠ABC=2． （1）求抛物线的表达式及其顶点 D 的坐标； （2）过点 A、B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 E、F，将 抛 物 线 沿其对称轴向上平移 m 个单位，使抛物线与线段 EF （ 含 线 段端点）只有 1 个公共点．求 m 的取值范围． 28．在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，顶点 B、D、F 在同一直线上，H 是 BF 的中点． （1）如图 1，若 AB=1，DG=2，求 BH 的长； （2）如图 2，连接 AH，GH． 小宇观察图 2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论， 形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：延长 AH 交 EF 于点 M，连接 AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM 是等腰直角三角 形； 想法 2：连接 AC，GE 分别交 BF 于点 M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG. …… 请你参考上面的想法，帮助小宇证明 AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可） 29．在平面直角坐标系 xOy 中，对于双曲线 ( 0)my mx   和双曲线 ( 0)ny nx   ，如果 2m n ， 则称双曲线 ( 0)my mx   和双曲线 ( 0)ny nx   为“倍半双曲线”，双曲线 ( 0)my mx   是 双曲线 ( 0)ny nx   的“倍双曲线”，双曲线 ( 0)ny nx   是双曲线 ( 0)my mx   的“半双曲 线”． （1）请你写出双曲线 3y x  的“倍双曲线”是 ；双曲线 8y x  的“半双曲线”是 ； （2）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 是双曲线 4y x  在第一象限内任意一点，过 点 A 与 y 轴平行的直线交双曲线 4y x  的“半双曲线”于点 B，求△AOB 的面积； （3）如图 2，已知点 M 是双曲线 2 ( 0)ky kx   在第一象限内任意一点，过点 M 与 y 轴平行的 直线交双曲线 2ky x  的“半双曲线”于点 N，过点 M 与 x 轴平行的直线交双曲线 2ky x  的 “半双曲线”于点 P，若△MNP 的面积记为 MNPS ，且1 2MNPS  ，求 k 的取值范围． 顺义区 2017 届初三第一次统一练习 数学答案及评分参考 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C D A C D B 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11 ． x ≥ 3 12 ． 2 2 ( )( )a b a b a b    或 2 2 2( ) 2 ( )a a b b a b b     或 2 2 2( ) 2a b a ab b    ； 13．170 厘米， 12 岁时该女生比平均身高高 8 厘米，预测她 15 岁时也比平均身高高 8 厘米； 14．50； 15． m n ； 16．；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（或有一组邻边相等的平行四边形是菱形．或四条边都 相等的四边形是菱形．） 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17．解： 0(2 2 ) 4cos60 2 2 18     11 4 2 2 3 22       ………………………………………………………4 分 1 4 2  ……………………………………………………………………… 5 分 18．解：去分母，得 15 3 2(7 )x x   ， …………………………………………1 分 去括号，得 15 3 14 2x x   ， …………………………………………2 分 移项，得 3 2 14 15x x    ， …………………………………………3 分 合并同类项，得 1x   ， 系数化为 1，得 1x  ． …………………………………………………4 分 把它的解集在数轴上表示为： ………… 5 分 19．证明：∵ BE⊥CD，CE=DE， ∴ BE 是线段 DC 的垂直平分线．…………………………………………1 分 ∴ BC=BD． ……………………………………………………………2 分 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD=BC． ……………………………………………………………3 分 ∴ AD=BD． ………………………………………………………………4 分 ∴ ∠A=∠ABD． …………………………………………………………5 分 1 20．解：（1） 2 24 4( 2)m m m     2 24 4 4 8m m m    4 8m   …………………………………………………………… 1 分 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ 4 8 0m     ． ……………………………………………………… 2 分 ∴ 2m  ． ……………………………………………………………… 3 分 （2）∵ m 为正整数，且 2m  ， ∴ 1m  ． ……………………………………………………………… 4 分 原方程为 2 2 0x x  ． ∴ ( 2) 0x x   ． ∴ 1 20, 2x x  ． ………………………………………………………… 5 分 21．解：（1）∵点 A（1，2）在 1 :l y mx 上， ∴ 2m  ． ∴直线 1l 的表达式为 2y x ． …………………………………… 1 分 ∵点 A（1，2）和 B（3，0）在直线 2 :l y ax b  上， ∴ 2, 3 0. a b a b      解得 1, 3. a b     ∴直线 2l 的表达式为 3y x   ． ……………………………… 3 分 （2）n 的取值范围是 2n  ． ……………………………………… 5 分 22．解：设购买 A 型电脑 x 台，B 型电脑 y 台， ………………………………… 1 分 根据题意，得 35, 6000 4000 150000. x y x y      …………………………………………… 3 分 解这个方程组，得 5, 30. x y    …………………………………………… 4 分 答：购买 A 型电脑 5 台，B 型电脑 30 台． ………………………………… 5 分 2 23． （1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． …………………………………………………… 1 分 ∵∠DAC=∠ABC， ∴∠DAC=∠ACB． ∴AD∥BC．…………………………… 2 分 ∴∠1=∠2． 又∵AB=AD， ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3． ∴BD 平分∠ABC． …………………………………………………… 3 分 （2）解：∵∠DAC = 45 ，∠DAC=∠ABC， ∴∠ABC=∠ACB = 45 ． ∴∠B AC=90 ． ………………………………………………………… 4 分 过点 O 作 OE⊥BC 于 E， ∵BD 平分∠ABC， OE =OA=1． 在 Rt△OEC 中，∠ACB = 45 ，OE =1， ∴ 2OC  ． ………………………………………………………… 5 分 24．（1） 7 6 17 14 44 114 4a      （℃）． ………………………………… 1 分 (2) ……… 4 分 （3） 3 月 29 日． ………………………………………………………… 5 分 3 25．解：（1）∵PA 切⊙O 于点 A， ∴PA⊥AB． ……………………………… 1 分 ∴∠P+∠1=90°． ∵∠1=∠B+∠2， ∴∠P+∠B+∠2=90°．…………………… 2 分 ∵OB=OC， ∴∠B=∠2． 又∵∠P=∠B， ∴∠P=∠B=∠2． ∴∠P=30°． …………………………… 3 分 （2） 思路一：①在 Rt△PAO 中，已知∠APO=30°，OA=a，可求出 PA 的长； ②在 Rt△PAB 中，已知 PA，AB 长，可求出△PAB 的面积； ③可证出点 O 为 AB 中点，点 C 为 PO 中点，因此△PBC 的面积是△PAB 面积的 4 1 ， 从而求出△PBC 的面积． ………………………… 5 分 思路二：①在 Rt△PAO 中，已知∠APO=30°，OA=a，可求出 PO=2a，进一步求出 PC=PO-OC=a； ②过 B 作 BE⊥PO，交 PO 的延长线于点 E，在 Rt△BOE 中已知一边 OB=a，一角∠BOE=60°，可求 出 BE 的长； ③利用三角形面积公式 1 2 PC×BE 求出△PBC 的面 积． …………………………… 5 分 26．解：（1）自变量 x 的取值范围是 2x  ． …………………………………… 1 分 （2） ………………………… 3 分 （3）该函数的一条性质是：函数有最大值(答案不唯一）． …………………… 5 分 4 27．解：（1）由抛物线的表达式知，点 C（0，8），即 OC=8； Rt△OBC 中，OB=OC•tan∠ABC=8× 1 2 =4， 则点 B（4，0）． ………………………… 1 分 将 A、B 的坐标代入抛物线的表达式中，得： 4 2 8 0 16 4 8 0 a b a b        ，解得 1 2 a b     ， ∴抛物线的表达式为 2 2 8y x x    ．…… 3 分 ∵ 2 22 8 ( 1) 9y x x x        ， ∴抛物线的顶点坐标为 D（1，9）． ………… 4 分 （2）设直线 CD 的表达式为 y=kx+8, ∵点 D（1，9）， ∴直线 CD 表达式为 y=x+8． ∵过点 A、B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 E、F， 可得：E（-2，6），F（4，12）． ………… 6 分 设抛物线向上平移 m 个单位长度（m＞0）， 则抛物线的表达式为： 2( 1) 9y x m     ； 当抛物线过 E（-2，6）时，m=6，当抛物线过 F（4，12）时，m=12， ∵抛物线与线段 EF（含线段端点）只有 1 个公共点， ∴m 的取值范围是 6