2015江西十校联考数学（理）试题及答案

江西省重点中学盟校 2015 届第一次联考数学（理）试卷 邱金龙 操军华 贵溪一中 何卫中 何幼平 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1、已知集合 1 0 1 xM x x       ，则 RM C （ ） .A  1 1x x   .B  1 1x x   .C  1 1x x x  或 .D  1 1x x x  或 2、已知 1 1 a bi i    ，其中 ,a b是实数，i是虚数单位，则 | |a bi =（ ） .A 3 .B 2 .C 5 .D 5 3、函数 3y x 的图象在原点处的切线方程为（ ） .A y x .B 0x  .C 0y  .D 不存在 4、函数 2lg( 2 )y x x a   的值域不可能是（ ） .A ( ,0] .B [0, ) .C [1, ) .D R 5、实数 ,x y满足 1 0 ( 2 )( 2 6) 0 x y x y x y         ，若 2t y x  恒成立，则 t的取值范围是（ ） .A 13t  .B 5t   .C 13t   .D 5t  6、如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 7、已知 1 2F F、 分别是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的左、右焦点，过点 2F 与双曲线的一条渐近线平行 的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段 1 2F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范 围是( ) .A (1, 2) .B ( 3, ) .C ( 3, 2) .D (2, ) [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 8、已知 ( ) 3sin 2 cos 2f x x a x  ，其中 a为常数. ( )f x 的图象关于直线 6 x   对称，则 ( )f x 在以下区 间上是单调函数的是( ) .A 3 1[ , ] 5 6    .B 7 1[ , ] 12 3    .C 1 1[ , ] 6 3    .D 1[0, ] 2  9、一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的 表面积为（ ） .A 9 .B 28 3  .C 8 .D 7 22 2 2 2 11 正视图 3 侧视图 10、已知焦点在 x轴上的椭圆方程为 2 2 2 1 4 1 x y a a    ， 随着 a的增大该椭圆的形状（ ） .A 越接近于圆 .B 越扁 .C 先接近于圆后越扁 .D 先越扁后接近于圆 11、坐标平面上的点集 S 满足 2 4 4 2{( , ) | log ( 2) 2sin 2cos [ , ]} 8 4 S x y x x y y y     , -   ，将点集 S 中的 所有点向 x轴作投影，所得投影线段的长度为（ ） .A 1 .B 3 5 2  .C 8 2 7 .D 2 12.已知函数 1 ln1)(    x xxf , *)()( Nk x kxg  ，若对任意的 1c  ,存在实数 ba , 满足0 a b  c ，使 得 )()()( bgafcf  ，则 k的最大值为( ) .A 2 .B 3 .C 4 .D 5 第Ⅱ卷 (非选择题) 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填入答题纸相应位置) 13、在 ABC 中， 3, 2, 30a b A    ，则 cosB  . 14.已知 ( )f x 是定义在 R上周期为 4的奇函数，当 (0, 2]x 时， 2( ) 2 logxf x x  ，则 (2015)f  . 15、从左至右依次站着甲、乙、丙 3个人，从中随机抽取 2个人进行 位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是 . 16、如图所示，在 O 中， AB与CD是夹角为60°的两条直径， ,E F分别是 O 与直径CD上的动点，若 0OE BF OA OC        ， 则的取值范围是________． 三、解答题（共 6小题，共 70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤） 17、(本小题满分 12 分) 某校随机调查了 80 位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表： （1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的 3 名学生.设 这 3 人中爱好羽毛球运动的人数为 X ，求 X 的分布列和期望值； （2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？ 若有，有多大把握？ 爱好 不爱好 合计 男 20 30 50 女 10 20 30 合计 30 50 80 2( )p k  0.100 0.050 0.010 A B C D O E F 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d        18、(本小题满分 12 分) 已知数列 na 为等差数列，首项 1 1a  ，公差 0d  .若 1 2 3 , , , , , nb b b ba a a a 成等比数列，且 1 1b  ， 2 2b  ， 3 5b  . (1)求数列 nb 的通项公式 nb ； (2)设 3(2 1)n nc log b  ，求和 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 2 1n n n n nT c c c c c c c c c c c c        . 19、(本小题满分 12 分) 在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，侧面 1 1ABB A 为矩形， 2AB  ， 1 2 2AA  ，D是 1AA 的中点，BD与 1AB 交于点O，且CO 平面 1 1ABB A . (1)证明： 1BC AB ； (2)若OC OA ，求直线CD与平面 ABC所成角的正弦值. 20、(本小题满分 12 分) 已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点为 F ，过 F 的直线 l交抛物线C于点 ,A B，当直线 l的倾斜角是 45时， AB的中垂线交 y轴于点 (0,5)Q . （1）求 p的值； （2）以 AB为直径的圆交 x轴于点 ,M N ，记劣弧MN 的 长度为 S，当直线 l绕 F 旋转时，求 S AB 的最大值. 21、(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ln ln , ( ) , ( ) au x x x x v x x a w x x      ,三个函数的定义域均为集合 { }| 1A x x= > . （1）若 ( ) ( )u x v x 恒成立，满足条件的实数 a组成的集合为 B，试判断集合 A与 B的关系，并说明理由； （2）记 ( )( ) [ ( ) ( )][ ( ) ] 2 w xG x u x w x v x   ，是否存在m N  ，使得对任意的实数 ( , )a m  ，函数 ( )G x 有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m；若不存在，说明理由.（以下数据供参考： 2.7183, ln( 2 1) 0.8814e    ） 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答 区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致. 22、（本小题满分 1 0 分）选修 4— 1 :几何证明选讲. 如图，⊙O的半径为6，线段 AB与⊙O相交于点C、D， =4AC ， BOD A  ，OB与⊙O相交于 点 E . k 2.706 3.841 6.635 x y Q A B F M N O B A C D 1 A 1 B 1 C O （1）求 BD长； （2）当CE⊥OD时，求证： AO AD . 23、（本小题满分 10 分）选修 4—4:坐标系与参数方程选讲. 在平面直角坐标系 xoy中，以O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 4   ，曲线C的参数方程为 2 cos sin x y       . （1）写出直线 l与曲线C的直角坐标方程； （2）过点M平行于直线 l的直线与曲线C交于 ,A B两点，若 8 3 MA MB  ，求点M轨迹的直角坐标方 程. 24、（本小题满分 10 分）选修 4－5:不等式选讲. 已知函数 ( ) 2 2 3 , ( ) 1 2f x x a x g x x       . (1)解不等式 ( ) 5g x  ； (2)若对任意 1x R ，都有 2x R ，使得 1 2( ) ( )f x g x 成立，求实数 a的取值范围. 江西省重点中学盟校 2015 届第一次联考数学（理）试卷 答 案 一、CDCAB CDBBA DB 12、分析：易知 ( ) ( ) g( )f c g b c  ,即 lnc 1 c c k c c    恒成立， lnc 1 c ck c     , 1c  . 令 ln( ) 1 c c cp c c    , 1c  , 则        2 2 1 1 ln 1 ln 2 ln( ) 1 1 c c c c c c cp c c c            . 令 ( ) 2 ln 1q c c c c   ， , 1'( ) 1 0q c c    , ( )q c 递增, ( ) (1) 1q c q    . 又  3 1 ln3 0q    ,  4 2 ln 4 0q    , , 存在  0 3,4c  ,使得 0( ) 0q c  ，即 0 02 lnc c  当  01,c c 时, ( ) 0q c  ,  p c 递减，当  0 ,c c  时, ( ) 0q c  ,  p c 递增. 0 0 0 min 0 0 ln( ) ( ) 1 c c cp c p c c     0 02 lnc c  代入得 0 0 0 0 0 0 min 0 0 0 ln ( 2)( ) 1 1 c c c c c cp c c c c         0 3k c k   易知 10 a e   ，当 3k  时可证明 ( ) ( ) ( )f a g b g a  max 3k  . 二、13． 2 2 3 14.-2 15. 2 3 16. [ 2 3,2 3] 16、解：设圆的半径为 r，以O为原点，OB为 x轴建立直角坐标系，则 1 3( ,0), ( , ) 2 2 B r C r r 设 ( cos , sin )E r r  ， 3( , )( 1 1) 2 2 OF OC r r            21 2 OA OC r      2 3[( 1)cos sin ] 2 2 OE BF r           ( 2)cos 3 sin        2 2 2( 2) ( 3 ) 2 1 2 3           [ 2 3,2 3]  y xO ba c1 k y x  1 ln 1 x y x    三、17、解：(1)任一学生爱好羽毛球的概率为 3 8 ，故 X ～ 3(3, ) 8 B ………………2 分 0 3 3 5 125( 0) ( ) 8 512 P X C   1 2 3 3 5 225( 1) ( ) 8 8 512 P X C   2 2 3 3 5 135( 2) ( ) 8 8 512 P X C   3 3 3 3 27( 3) ( ) 8 512 P X C   X 的分布列为 3 93 8 8 EX    …………8 分 （2） 2 2 80(20 20 10 30) 80 0.3556 2.706 30 50 30 50 225            ……………………10 分 故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联. ……………………12 分 18、解：(1) 2 2 2 1 5 2 (1 ) 1 (1 4 ) 1 2 1 4 2 =0 a a a d d d d d d d              或 （舍去） 1 21 1, 3. 3b ba a a q     ……………………3分 11 ( 1) 2 2 1 1 3 n n b n na b b         , 13 1 2 n nb     ……………………6 分 (2) 3(2 1)n nc log b  1n  ……………………7 分 2 1 3 4 3 5 6 5 7 2 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n nT c c c c c c c c c c c c          2 4 22( )nc c c     22[1 3 5 (2 1)] 2n n         ……………………12 分 19、解：(1)由题意 2tan 2 ADABD AB    ， 1 1 2tan 2 ABAB B BB    ， 又0 ABD  ， 1 2 AB B    ， 1ABD AB B   ， 1 1 1 2 AB B BAB ABD BAB        ， 2 AOB    ， 1AB BD  .又 1 1CO ABB A平面 ， 1AB CO  ， BD 与CO交于点O， 1AB CBD 平面 ，又 BC CBD平面 ， 1AB BC  .…6 分 (2)如图，分别以 1, ,OD OB OC所在直线为 , ,x y z轴，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ，则 2 3 2 6(0, ,0), ( ,0,0) 3 3 A B  ， 2 3 6(0,0, ), ( ,0,0) 3 3 C D , 2 6 2 3 2 3 2 3 6 2 3( , ,0), (0, , ), ( ,0, ) 3 3 3 3 3 3 AB AC CD        ， 设平面 ABC的法向量为 ( , , )n x y z ， 则 0 0 n AB n AC         ，即 2 6 2 3 0 3 3 2 3 2 3 0 3 3 x y y x         ， 令 1y  ，则 1z   ， 2 2 x  ，所以 2( ,1, 1) 2 n   . 设直线CD与平面 ABC所成角为 ，则 6 2 3 2( ,0, ) ( ,1, 1) 3 3 2sin cos , | | | | 102 2 CD nCD n CD n            6 2 2 30 ( ) ( 1) 153 2 3 55         ， 所以直线CD与平面 ABC所成角的正弦值为 15 5 .……………………12 分 20、解：（1） (0, ) 2 pF 当 l的倾斜角为 45时， l的方程为 2 py x  设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 py x x py       得 2 22 0x px p   1 2 1 2 1 22 , 3x x p y y x x p p       得 AB中点为 3( , ) 2 D p p …………3分 AB中垂线为 3 ( ) 2 y p x p    0x  代入得 5 5 2 y p  2p  ……6分 （2）设 l的方程为 1y kx  ，代入 2 4x y 得 2 4 4 0x kx   2 1 2 1 22 ( ) 4 4 4AB y y k x x k        AB中点为 2(2 , 2 1)D k k  令 2MDN   12 2 S AB AB      S AB   …………8 分 D到 x轴的距离 22 1DE k  2 2 2 2 1 1cos 11 2 2 2 2 2 DE k k kAB         …………10 分 当 2 0k  时 cos取最小值 1 2 的最大值为 3  故 S AB 的最大值为 3  .……………………12 分 21.解：(1)  1( ) ( ) ln ln ( ). ( ) ln , 1,u x v x a x x x x m x m x x x x           . 易知 1( ) lnm x x x    在 (1, ) 上递减， ( ) (1) 1m x m    …………6分 存在 0 (1, )x   ，使得 0( ) 0m x  ，函数 ( )m x 在  01,x x 递增，在  0 +x x ， 递减 0( )a m x . 由 0( ) 0m x  得 0 0 1ln x x  0 0 0 0 0 0 0 1 1 1( ) 1 1m x x x x x x x         1a  B A ……………………6 分 (2) ( )( ) ( ) ( ) ln ln , ( ) ( ) , (1, ) 2 2 a w x af x u x w x x x x g x v x x a x x x            令 .  2 1( ) ln 1 0, (1, )af x x x x x         ，由于  , 1, (1) 0,a m a f a       , ( )x f x   ，由零点存在性定理可知：  1, ,a   函数 ( )f x 在定义域内有且仅有一个零 点……………………8分  2( ) 1 0, (1, ) 2 ag x x x       ， 3(1) 1 0, 2 ag    , ( )x g x   ，同理可 知  1, ,a   函数 ( )g x 在定义域内有且仅有一个零点……………………9分 假设存在 0x 使得    0 0 0f x g x  ， 2 0 0 0 0 0 0 ln ln 2 a x x x x ax a x         消 a得 0 0 2 0 0 2ln 0 2 1 xx x x     令 2 2( ) ln 2 1 xh x x x x     2 2 2 1 4 2( ) 0 (2 1) xh x x x x       ( )h x 递增 4 4 1 32 2(2) ln 2 ln 0 ( 2 1) 0.8814 0 5 5 3 h h e          0 2, 2 1x   此时 2 0 0 0 0 1 1 81 ,21 12 54 2 2 xa x x x                 所以满足条件的最小整数 2m  ……………………12 分 22、解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．[中国教@^育*出版#网%] ∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC． ∴ AC OD OC BD  ， ∵OC=OD=6，AC=4，∴ 4 6 6  BD ，∴BD=9．……………………5 分 （2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A． ∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO． ∴AD=AO ……………………10 分 23、解：（1）直线 :l y x 曲线 2 2: 1 2 xC y  ……………………4分 （2）设点  0 0,M x y 及过点M的直线为 0 1 0 2 2: 2 2 tx x l ty y        由直线 1l 与曲线C相交可得： 2 2 2 0 0 0 0 3 2 2 2 2 2 0 2 t tx ty x y      2 2 0 02 28 8 33 3 2 x yMA MB       ，即： 2 2 0 02 6x y  2 22 6x y  表示一椭圆……………………8 分 取 y x m  代入 2 2 1 2 x y  得： 2 23 4 2 2 0x mx m    由 0  得 3 3m   故点M的轨迹是椭圆 2 22 6x y  夹在平行直线 3y x  之间的两段弧……10 分 24.解(1)由 1 2 5x    得 5 1 2 5x     7 1 3x    得不等式的解为 2 4x   ……………………5 分 (2)因为任意 1x R ，都有 2x R ，使得 1 2( ) ( )f x g x 成立， 所以{ | ( )} { | ( )}y y f x y y g x   ， 又 ( ) 2 2 3 | (2 ) (2 3) | | 3 |f x x a x x a x a          ， ( ) | 1| 2 2g x x    ，所以 | 3 | 2a   ，解得 1a   或 5a   ， 所以实数 a的取值范围为 1a   或 5a   .……………………10 分