余姚市2015高三三模数学（理）试题及答案

余姚市高三第三次模拟考试 高三数学（理）试题卷 第Ⅰ卷（选择题部分 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的． 1. 设全集为 U=R，集合  2|||  xxA ， }01 1|{  xxB ，则 ( ) BUC A   ( ) A. [ 2,1] B. (2, ) C. ]2,1( D. ( , 2)  2. 设 nm, 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，下列命题中为真命题的 是（ ） A. 若 / / ,n/ /m   ，则 m/ / n B. 若 ,m     ，则 / /m  C. 若 / / ,m    ，则 m  ； D. 若  //,mm  ，则   3. 已知 , ,a b R 则“ 2 2 1a b  ”是“| | | | 1a b  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 ( ) sin( )( )f x A x x R    的图象的一部分如图 所示，若对任意 ,x R 都有 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x  ， 则 1 2| |x x 的最小值为（ ） （第 4 题） A. 2 B.  C. 2  D. 4  5. 已知实数变量 ,x y 满足           ,01 2 1 ,0 ,1 ymx yx yx 且目标函数 3z x y  的最大值为 4，则实数 m 的值为( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 2 D. 1 6. 设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2014 20150, 0S S  ，对任意正整 数 n ，都有| | | |n ka a ，则 k 的值为( ) A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009 7. 设 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点，P 是C 的 右支上的点，射线 PT 平分 1 2F PF ,过原点O 作 PT 的平行线交 1PF 于点 M , 若 1 2 1| | | |3MP F F ,则C 的离心率为（ ） A. 3 2 B. 3 C. 2 D. 3 8. 已知实数 , ,a b c 满足 2 2 21 1 14 4a b c   ，则 2 2ab bc ca  的取值范围是 ( ) A． ( ,4] B．[ 4,4] C．[ 2,4] D． [ 1,4] 第Ⅱ卷（非选择题部分 共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，第 9 至 12 题，每小题 6 分，第 13 至 15 题，每小题 4 分，共 36 分． 9. 若指数函数 ( )f x 的图像过点 ( 2,4) ，则 (3)f  _____________；不等式 5( ) ( ) 2f x f x   的解集为 . 10. 已 知 圆 2 2 2: 2 4 5 25 0C x y ax ay a      的 圆 心 在 直 线 1 : 2 0l x y   上，则 a  ；圆C 被直线 2 :3 4 5 0l x y   截得 的弦长为____________. 11. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为 ；外接球 的体积为 ． 12．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列， 侧视图 （第 11 题） 3 2 正视图 俯视图 3 在斐波那契数列{ }na 中， 11 a ， 12 a )(12    Nnaaa nnn 则 7a ____________； 若 2017a m ，则数列{ }na 的前 2015 项和 是________________（用 m 表示）． 13．已知函数 3, 0 ( ) 1 3 x x f x x x      ，若关于 x 的方程 2 1( 2 ) m2f x x   有 4 个 不同的实数根，则 m 的取值范围是________________． 14. 定义：曲线C 上的点到点 P 的距离的最小值称为曲线C 到点 P 的距离。已 知曲线 1: ( 0)C y xx   到点 ( , )P a a 的距离为 3 2 2 ，则实数 a 的值为 ___________． 15. 设正 ABC 的面积为 2，边 ,AB AC 的中点分别为 ,D E ，M 为线段 DE 上 的动点，则 2 MB MC BC    的最小值为_____________． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 16．（本题满分 15 分）在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , , .a b c 已知 sin sin( ) 2 sin 2C B A A   ， .2A  （Ⅰ）求角 A 的取值范围； （Ⅱ）若 1,a ABC  的面积 3 1 4S  ，C 为钝角，求角 A 的大小． 17．（本题满分 15 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA  平面 PBC ， 2 PBPA ， 4PC ，  60BPC . （Ⅰ）平面 PAB  平面 ABC ； （Ⅱ） E 为 BA 的延长线上的一点．若二面角 P EC B  的大小为30 ，求 BE 的长． 18．（本题满分 15 分）如图， 1 2,F F 分别是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、 P C E B A （第 17 题） 右焦点，且焦距为 2 2 ，动弦 AB 平行于 x 轴，且 1 1| | | | 4.F A F B  （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若点 P 是椭圆C 上异于点 ,A B 的任意一点，且直线 ,PA PB 分别与 y 轴交于点 ,M N ，若 2 2, NMF F 的斜率分别为 1 2,k k ，求 1 2k k 的取值 范围． 19 ．（ 本 题 满 分 15 分 ） 已 知 数 列 { },{ }n na b 满 足 下 列 条 件 ： 1 11, 2 2 1.n na a a n    1 .n n nb a a  （Ⅰ）求{ }nb 的通项公式； （Ⅱ）设 1{ } nb 的前 n 项和为 nS ，求证：对任意正整数 n ，均有 1 9 .4 20nS  20．（本题满分 14 分）已知函数 2( ) | 1 |f x x x a    ，其中 a 为实常数． （Ⅰ）判断 ( )f x 在 1 1[ , ]2 2  上的单调性； （Ⅱ）若存在 x R ，使不等式 ( ) 2 | |f x x a  成立，求 a 的取值范围． 余姚市高三第三次模拟考试 高三数学(理)参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的． B D B C D C A C 二、填空题：本大题共 7 小题，第 9 至 12 题，每小题 6 分，第 13 至 15 题，每小题 4 分， 共 36 分． 9. 1 8 ； ( 1,1) 10. 2；8 11. 4； 32 3  12. 13； 1m 13. 1( 1, ) (0, )8     14. 1 2  或 26 2 15. 2 3 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 16. （ Ⅰ ） 由 sin sin( ) 2 sin 2 ,C B A A   得 sin( ) sin( ) 2 2 sin cos .B A B A A A    即 2sin cos 2 2 sin cos .B A A A 因 为 cos 0,A  所 以 sin 2 sin .B A ……………3 分 由正弦定理，得 2 .b a 故 A 必为锐角。 ……………4 分 又 0 sin 1B  , 所 以 20 sin .2A  ……………6 分 因 此 角 A 的 取 值 范 围 为 (0, ].4  ……………8 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及 1a  得 2.b  又 因 为 3 1 4S  , 所 以 1 3 11 2 sin .2 4C     从而 6 2sin .4C  因 为 C 为 钝 角 ， 故 7 .12C  ……………11 分 由 余 弦 定 理 ， 得 2 7 6 21 2 2 1 2 cos 1 2 2 1 2 ( ) 2 3.12 4c                故 6 2 .2c  ………… …13 分 由正弦定理，得 6 21sin 14sin .26 2 2 a CA c      因 此 .6A  ……………15 分 17. （ Ⅰ ） 在 PBC 中 ， 2, 4, 60 ,PB PC BPC     由 余 弦 定 理 ， 得 2 3.BC  经计算，得 2 5, 2 2.AC AB  所以 2 2 2AB BC AC  ，故 .BC AB 因为 PA  平面 PBC ，所以 .PA BC 又因为 PA AB A  ，所以 BC  平面 .PAB …… ……4 分 又 因 为 BC  平 面 ABC ， 故 平 面 PAB  平 面 ABC . …………… 6 分 （Ⅱ）方法 1 取 AB 的中点 F ，连结 .PF 因为 PA PB ,所以 .PF AB 又因为平面 PAB  平面 ABC ，x§k§b 1 平面 PAB  平面 ABC AB ， PF  平面 PAB , 所以 PF  平面 ABC 。 过 F 作 FG EC 于G ,连 PG ,则 .EC PG 于是 PGF 是二面角 P EC B  的平面角， 因此， 30 .PGF   …………… 10 分 又 2PF  ,所以 6.FG  设 ( 2 2)BE x x  ， 由 ~EFG ECB  得 FG EF BC EC  . 因 此 ， 2 6 2 2 3 12 x x   。 即 2 4 2 8 0.x x   解得 2 2 4.x   所以 2 2 4.BE   …………… 15 分 方法 2 建立如图的空间直角坐标系。 则 (0,2 3,0)C ， ( 2,0, 2)P . 设 ( 2 2).BE t t  则 ( ,0,0).E t 所以 ( 2, 2 3, 2), ( , 2 3,0).CP CE t     P G C E F B A 平面 ECB 的法向量为 1 (0,0,1).n  设 2 ( , , )n x y z 为平面 PEC 的法向量，则 2 2 3 2 0, 2 3 0, x y z tx y       可 取 2 6( 2, t,t 2).6n   …………… 10 分 因为 1 2 1 2 1 2 3cos , 2| | | | n nn n n n          ，得 2 2 2 3 .212 ( 2)6 t t t      即 2 4 2 8 0.t t   解 得 2 2 4.t   所 以 2 2 4.BE   …………… 15 分 18．（Ⅰ）因为焦距为 2 2 ，所以 2 2 2, 2.c c  …………… 2 分 由 椭 圆 的 对 称 性 及 已 知 得 1 2| | | |.F A F B 又 因 为 1 1| | | | 4,F A F B  所 以 2 1| B| | | 4.F F B  因 此 2 4, 2.a a  …………… 4 分 于 是 2.b  因 此 椭 圆 C 的 方 程 为 2 2 1.4 2 x y  …………… 6 分 （Ⅱ）设 0 0 1 1(x , ),P( , )B y x y ，则 0 0( , ).A x y 直线 PA 的方程为 1 0 1 1 1 0 ( )y yy y x xx x    ，令 0x  ，得 1 0 0 1 1 0 ,x y x yy x x   故 1 0 0 1 1 0 (0, ).x y x yM x x   同理可得 1 0 0 1 1 0 (0, ).x y x yN x x   …………… 9 分 所以 1 0 0 1 1 1 02( ) x y x yk x x    ， 1 0 0 1 2 1 0 . 2( ) x y x yk x x    因 此 2 2 2 2 1 0 0 1 1 2 2 2 1 0 1 .2 x y x yk k x x     因为 ,A B 在椭圆C 上，所以 2 2 2 2 1 1 0 0 1 12 , 2 .2 2y x y x    x.k.b.1 故 2 2 2 2 1 0 0 1 1 2 2 2 1 0 1 1(2 ) (2 )1 2 2 1.2 x x x x k k x x        …………… 12 分 所 以 1 2 1 2 1 2| | | | | | 2 | || | 2.k k k k k k     …………… 1 4 分 又因为当 1 2k k 时 ,M N 重合，即 ,A B 重合，这与条件不符，所以 1 2.k k 因 此 1 2k k 的 取 值 范 围 是 ( , 2) (2, ).    …………… 15 分 19. （Ⅰ）由 1 2 2 1n na a n    ① 得 12 2 1( 2)n na a n n    ② ①—②得 1 12( ) 2.n n n na a a a     即 12 2.n nb b   …………… 3 分 因此， 12 2( 2).n nb b    由①，及 1 1a  得 2 5a  ，于是 1 4.b  因此，{ 2}nb  是以 1 2 6b   为首项，2 为公比的等比数列， …………… 6 分 所以 12 6 2 ,n nb    即 16 2 2.n nb    …………… 7 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 1 1 1 .6 2 2n nb    因为 1 0( *) n n Nb   ，所以对任意正整数 n ， 1 1 1 1 .4nS S b    …………… 9 分 因为 1 1 1 1 1 1 1 1 (n 2).6 2 2 5 2 2 2 5 2n n n n nb             …………… 11 分 所以当 2n  时， 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1( )4 5 2 2 2n n n S b b b           1 1 1(1 )1 1 1 1 92 2 .14 5 4 5 201 2 n        …………… 14 分 当 1n  时，显然有 1 9 .20S  综上，对任意正整数 n ，均有 1 9 .4 20nS  …… …… 15 分 20．（Ⅰ）若 11 2a    ，即 1 2a  ， 当 1 1[ , ]2 2x  时， 2 21 3( ) 1 ( )2 4f x x x a x a        ， ( )f x 在 1 1[ , ]2 2  上递增； …………… 2 分 若 11 2a   ，即 3 2a  当 1 1[ , ]2 2x  时， 2 21 5( ) 1 ( )2 4f x x x a x a        ， ( )f x 在 1 1[ , ]2 2  上递减； …………… 4 分 若 1 112 2a    ，即 1 3 2 2a  ， 2 2 1 5 1( ) ( 1),2 4 2( ) 1 3 1( ) ( 1 ),2 4 2 x a x a f x x a a x                 ( )f x 在 1[ , 1]2 a  上递减，在 1[ 1, ]2a  上递增. …………… 6 分 （Ⅱ）先求使不等式 ( ) 2 | |f x x a  对 x R 恒成立的 a 的取值范围. （1）当 1x a  时，不等式化为 2 1 2( ),x x a a x     即 2 1x x a   ， 21 5( ) .2 4x a   若 11 2a    ，即 1 2a  ，则 5 4a   矛盾. 若 11 2a    ，即 1 2a  ，则 2( 1) ( 1) 1,a a a     即 2 2 1 0,a a   解得 1 2a   或 1 2.a   所 以 1 2.a   …………… 8 分 （2）当 1a x a   时，不等式化为 2 1 2( ),x x a a x     即 2 3 1 3x x a   ， 23 5( ) 3 .2 4x a   若 31 2a a    即 3 1 2 2a    ， 5 53 , .4 12a a    结合条件，得 3 1 .2 2a    若 31 2a    即 1 2a   ， 23 ( 1) 3( 1) 1,a a a     即 2 2 1 0,a a   解得 1 2a   或 1 2.a   结合条件及（1），得 1 1 2.2 a    若 3 2a   ， 23 3 1a a a   恒成立. 综 合 得 1 2.a   …………… 10 分 （3）当 x a 时，不等式化为 2 1 2( ),x x a x a     即 2 1x x a    ， 21 3( ) .2 4x a    得 3 ,4a  即 3 4a   .结合（2）得 3 1 2.4 a    ………… 12 分 所以，使不等式 ( ) 2 | |f x x a  对 x R 恒成立的 a 的取值范围是 3 1 2.4 a    本 题 所 求 的 a 的 取 值 范 围 是 1 2a   或 3 .4a   …………… 14 分