南通市高三调研数学试卷及答案

江苏省南通市 2009 届高三上学期期末调研考试 数学试卷 A．必做题部分 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 2{ | 6 5 0}M x x x   Z ≤ ，则集合 U Mð = ▲ ． 2． 已知函数 ( ) 3cos2 sin 2f x x x  ，则 ( )f x 的最小正周期是 ▲ ． 3． 经过点（－2，3），且与直线 2 5 0x y   平行的直线方程为 ▲ ． 4． 若复数 z 满足 3 ,iz i i   则| |z  ▲ ． 5． 程序如下： t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i＋1 End While Print t 以上程序输出的结果是 ▲ ． 6． 若 1 2 3 2008 2009, , , , ,x x x x x 的方差为 3，则 1 2 2008 20093( 2),3( 2), ,3( 2),3( 2)x x x x    的方差 为 ▲ ． 7． 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ，则四面体 1 1A B CD 的外接球的体积为 ▲ ． 8． 以椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点 ( ,0)F c 为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点， 则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ． 9． 设 a＞0，集合 A={（x，y）| 3, 4 0, 2 0 x x y x y a        ≤ ≤ ≥ }，B={（x，y）| 2 2 2( 1) ( 1)x y a   ≤ }．若点 P（x，y） ∈A 是点 P（x，y）∈B 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是 ▲ ． 10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于 1 的概率是 ▲ ． 11．数列 na 中， 1 6a  ，且 1 1 1n n n aa a nn      （ *nN ， 2n≥ ），则这个数列的通项公式 na  ▲ ． 12．根据下面一组等式： 1 2 3 4 5 6 1, 2 3 5, 4 5 6 15, 7 8 9 10 34, 11 12 13 14 15 65, 16 17 18 19 20 21 111, s s s s s s                           ………… 可得 1 3 5 2 1ns s s s       ▲ ． 13．在△ABC 中， π 6A  ，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B、C 不重合），且 2 2| | | |AB AD BD DC      ，则 B 等 于 ▲ ． 14．设函数 3 2( ) 2 lnf x x ex mx x    ，记 ( )( ) f xg x x  ，若函数 ( )g x 至少存在一个零点，则实数 m 的取值范 围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题 14 分） 如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 D 在边 BC 上，AD⊥C1D． （1）求证：AD⊥平面 BC C1 B1； （2）设 E 是 B1C1 上的一点，当 1 1 B E EC 的值为多少时， A1E∥平面 ADC1？请给出证明． 16．（本小题 14 分） 如图，在四边形 ABCD 中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 50AB AC   ． （1）求 sin∠BAD 的值； （2）设△ABD 的面积为 S△ABD，△BCD 的面积为 S△BCD，求 ABD BCD S S   的值． 17．（本小题 15 分） B1 A1 A B C C1 D A C D B 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记 录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日 期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x （°C） 10 11 13 12 8 发芽数 y （颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被 选取的 2 组数据进行检验． （1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； （2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关 于 x 的线性回归方程 y bx a  ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性 回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? 18．（本小题 15 分） 抛物线 2 4y x 的焦点为 F， 1 1 2 2 1 2 1 2( , ), ( , ) ( , 0, 0)A x y B x y x x y y   在抛物线上，且存在实数λ，使 AF BF   0， 25| | 4AB  ． （1）求直线 AB 的方程； （2）求△AOB 的外接圆的方程． 19．（本小题 16 分） 已知函数 1( ) lnsing x xx  在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π）， 1( ) lnmf x mx xx    ，m ∈R． （1）求θ的值； （2）若 ( ) ( )f x g x 在[1，＋∞）上为单调函数，求 m 的取值范围； （3）设 2( ) eh x x  ，若在[1，e]上至少存在一个 0x ，使得 0 0 0( ) ( ) ( )f x g x h x  成立，求 m 的取值范围． 20．（本小题 16 分） 已知等差数列{ }na 的首项为 a，公差为 b，等比数列{ }nb 的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 都是大于 1 的正整数，且 1 1 2 3,a b b a  ． （1）求 a 的值； （2）若对于任意的 n N ，总存在 m N ，使得 3m na b  成立，求 b 的值； （3）令 1n n nC a b  ，问数列{ }nC 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的 连续三项；若不存在，请说明理由．[来源:学+科+网] B．附加题部分 21．（选做题）从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． A．选修 4－1（几何证明选讲） 如图，AB 是半圆的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于点 D，CD=2，DE⊥AB，垂足为 E，且 E 是 OB 的中点，求 BC 的长． D A B CEO· B．选修 4－2（矩阵与变换） 将曲线 1xy  绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°，求所得曲线的方程． C．选修 4－4（坐标系与参数方程） 求直线 1 2 , 1 2 x t y t      （t 为参数）被圆 3cos , 3sin x y      （α为参数）截得的弦长． D．选修 4－5（不等式选讲） 已知 x，y 均为正数，且 x＞y，求证： 2 2 12 2 32x yx xy y    ≥ ． 22．（必做题）已知等式 2 5 2 9 10 0 1 2 9 10( 2 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x a a x a x a x a x            ，其中 ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求： （1） 10 1 n n a   的值； （2） 10 1 n n na   的值． 23．（必做题）先阅读：如图，设梯形 ABCD 的上、下底边的长分别是 a，b（a＜b），高为 h，求梯形的面积． D A C B A B CD A′ B′ C′D′ 江苏省南通市 2009 届高三上学期期末调研考试（数学） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．课本中的习题改编，考查集合的运算．一元二次不等式是 C 级要求． 2 ． 课 本 中 的 习 题 改 编 ． 考 查 知 识 点 是 三 角 公 式 ， 数 学 思 想 方 法 是 化 归 的 思 想 ． 关 注 2 2sin cos sin( )a x b x a b x       ． 3．课本中的练习题改编的．考查知识点是直线方程和两直线的位置关系． 4．考查复数的运算．注意填空题的结果． 5．考查算法的循环语句．关注语句何时循环结束和输出的 t 值是多少? 6．课本中的练习题改编的．考查统计中的方差．关注 2 2 2,( ) .i i i ix ax b x ax b S a S        7．课本中的习题改编．考查正方体、四面体与球的组合体的关系，关注正方体的体对角线和正方体外接球 的直径相等． 8．考查椭圆和圆的方程及其性质．关注椭圆的离心率的范围 (0,1)e ． 解： 2 2 2 2 1 22 2 2 ac c c a e ec         ，所以离心率 e 的取值范围是 2( ,1)2 ． 9．考查线性规划、充分必要条件和圆的有关知识． 10．考查概率中的几何概型，数形结合的思想方法． 11．考查递推数列和等差数列的通项公式，数学能力是识别、归纳、构造． 解： 方法一 由 1 1 1n n n aa a nn      1 1 1 1( 1) 11 n n n n ana a n an n n         ， 构造数列{ }nb ， 1 n n ab n   ， 1 1n nb b    ，即数列{ }nb 是等差数列， 所以 3 1 2nb n n     ，故 ( 2)( 1)na n n   ． 方法二 归纳猜想，求得 1 2 36 2 3, 12 3 4, 20 4 5 ,a a a          猜想 ( 1)( 2)na n n   ．最好通过求出 4a 验证猜想结果正确与否． 该题是由数列 na 中， 1 2a  ，且 1 1 22 1n n n aa a nn      （ *nN ， 2n≥ ），则此数列的通项公式 na  改编的． 12．本题是课本中的习题．考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识． 方法一： 1 1 3 1 3 51, 16, 81 ,S S S S S S       猜想 4 1 3 2 1nS S S n    ． 方法二：先求出 2 2 1 (2 1)(2 2 1)nS n n n     ，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍） 13．本题是北师大出版社教材例题改编的．考查向量的运算和三角形中的有关公式，平面向量数量积是 C 级要求． 解：由 2 2| | | | ( ) ( ) ( )AB AD BD DC AB AD AB AD BD DC AB AD DB BD DC                            ( ) ( ) 0BD AB AD DC BD AB AC              ，所以△ABC 是 A 为顶角的等腰三角形． 由 π 6A  ，故 5π 12B  ． 另本题也可用建立恰当的坐标系，用解析法求得． 14．考查对数函数、二次函数与三次函数方程的根，数学思想方法为数形结合，能力是常见函数的导数运 用． 解： 2 ln( ) 2 0xg x x ex m x      ，即 2 ln2 xx ex m x    有两解，直接解不可能，只有通过画出两个图 象的示意图求解．要画图，可通过求出它们的极值，确定单调区间． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．课本习题改编题．主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，基本数学能力是空间想象能 力、化归能力和探究能力．要从第一小题中挖掘出 D 是边 BC 的中点，第二小题要求学生注意问题的逻 辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明 之，这事实上证明了结论是充分且必要的． 16．主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，数学基本能力是运算求解和数据处理能力．涉及三角形 中三角恒等变换时，从化角或化边的角度入手，合理运用两角和与差的三角公式求解． 另解：对于第二问，在 ABC 中，求出 13BC  ，在 ABD 中，求出 cos BAD ，进一步求出 BD 的长，在 BCD 中，知道三边求出 BCDS ． 另：以点 D 为坐标原点，直线 AD 为 x 轴，直线 DC 为 y 轴建立坐标系，设 ( , )B x y ，求出 AB 的斜率， 得到 tan BAD ，进一步求出 sin BAD ． 17．本题主要考查古典概率的计算及统计中的线性回归方程，数学能力是审题、数据处理的能力、阅读的 能力．要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基 本事件种数、求值、作答．讲评时着重在引导学生认真审题． 18．本题主要考查向量、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生灵活运用圆的标准方程或一般方程求圆 的方程，理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，也可求出交点坐标．关注弦长公式： 2 1 21 | |l k x x   ，抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点弦长为 1 2l x x p   ． 19．此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数与与单调性、不等式等知识的综合．数学思想方法是 分类讨论、数形结合等．数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析 问题与解决问题的能力． 评讲时注意着重导数在研究函数问题中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以函 数的单调性为背景，着重是利用导数转化为研究二次函数的恒成立问题．第三问是函数存在性问题， 通过构造辅助函数，利用导数转化为研究分式函数、对数函数等函数的恒成立问题．利用导数来研究 函数的性质，是近几年高考的热点． 第二问另解：分类讨论： ( ) ( ) 2lnmf x g x mx xx     ，当 0m  时，由函数 1x x  在[1，＋∞）上是单 调递增，所以 mmx x  在[1，＋∞）上是单调递减，即 ( ) ( ) 2lnmf x g x mx xx     在[1，＋∞）上是单 调递减，所以 0m  符合条件． 当 0m  时， ( ) ( ) 2lnf x g x x   在[1，＋∞）上是单调递减，所以所以 0m  符合条件． 当 0m  时， 2 2 2( ( ) ( ))' mx x mf x g x x    ，要 ( ) ( )f x g x 单调，则 2 2 0mx x m   在[1，＋∞）恒成 立． 因为函数 2 2mx x m  的开口向上，对称轴 1 0x m   ，所以要 2 2 0mx x m   在[1，＋∞）恒成立， 则必须 24 4 0m    ，即 1m  ． 综上，得 m 的取值范围 ( ,0] [1, )  ． 第三问另解：构造 ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x h x   ，先解 ( ) 0F x ≤ 在[1，e]恒成立，求出 m 的取值范围． 2( ) 2lnm eF x mx xx x     ， 当 0m  时， [1, ]x e ， 0mmx x   ， 22ln 0ex x    ， 所以 ( ) 0F x  在 [1, ]x e 成立，所以 0m  符合． 当 0m  时， 2 2 2 2 2 2 2 2( ( ))' m e mx x m eF x m x x x x        ， 因为 [1, ]x e ，所以 2 2 0e x  ， 2 0mx m  ，所以 ( ( ))' 0F x  在[1，e]上恒成立， 故 ( )F x 在[1，e]上单调递增， max( ) ( ) 4mF x F e me e     ， 由 4 0mme e   ≤ ，解得 2 40 1 em e    。 所以 ( ) 0F x  在[1，e]恒成立的 m 的取值范围是 2 4( , ]1 e e   ， 故 m 的取值范围是 2 4( , )1 e e  ． 20．主要考查数列的概念、等差数列、等比数列的通项求法就、求解不等式等知识与方法，数学思想方法 是分类讨论．数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析问题与解决 问题的能力，讲评时着要引导学生认真审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题． 第三问解：由 2 2 1 2 2 1 1 3 2( ) ( ) ( )( )n n n n n n n n nC C C a b a b a b            2 2 2 2 1 1 1 3 1 2 3 22n n n n n n n n n n n na a b b a a a b a b b b                ． 由 2 1 2n n nb b b  ，所以 2 2 1 3 1 3 2(4 4 )n n n n n n na a a b a a a          2 1 2 2 2( )( ) 2 [2 ( 2) 4 ]n n n na a b a b b n b b           2 1 12 [2 ( 2) ] 2 ( 2) 2n n nb b n b b b n          ．以下同解答相同． 三、附加题 21．选做题 A．（几何证明选讲）考查平面几何证明中的圆的有关知识．数学基本能力是识图与运算求解能力． B．（矩阵与变换）考查常见的几种变换公式． C．（参数方程与极坐标）考查直线与圆的参数方程及其直线与圆的位置关系． D．（不等式证明选讲）考查基本不等式的运用． 22．考查二项式定理的运用．讲评时要引导学生灵活赋值．关注 2008 年江苏高考试卷的第 23 题． 23．考查梯形的面积和棱台的体积公式的推导及其定积分，数学基本能力是推理论证、运算求解、阅读和 类比能力．本题的知识与能力要求均较高． 南通市 2009 届高三期末调研测试 数学参考答案与评分意见 A．必做题部分 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 2{ | 6 5 0}M x x x   Z ≤ ，则集合 U Mð = ▲ ． 2． 已知函数 ( ) 3cos2 sin 2f x x x  ，则 ( )f x 的最小正周期是 ▲ ． 3． 经过点（－2，3），且与直线 2 5 0x y   平行的直线方程为 ▲ ． 4． 若复数 z 满足 3 ,iz i i   则| |z  ▲ ． 5． 程序如下： t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i＋1 End While Print t 以上程序输出的结果是 ▲ ． 6． 若 1 2 3 2008 2009, , , , ,x x x x x 的方差为 3，则 1 2 2008 20093( 2),3( 2), ,3( 2),3( 2)x x x x    的方差 为 ▲ ． 7． 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ，则四面体 1 1A B CD 的外接球的体积为 ▲ ． 8． 以椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点 ( ,0)F c 为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点， 则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ． 9． 设 a＞0，集合 A={（x，y）| 3, 4 0, 2 0 x x y x y a        ≤ ≤ ≥ }，B={（x，y）| 2 2 2( 1) ( 1)x y a   ≤ }．若点 P（x，y） ∈A 是点 P（x，y）∈B 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是 ▲ ． 10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于 1 的概率是 ▲ ． 11．数列 na 中， 1 6a  ，且 1 1 1n n n aa a nn      （ *nN ， 2n≥ ），则这个数列的通项公式 na  ▲ ． 12．根据下面一组等式： 1 2 3 4 5 6 1, 2 3 5, 4 5 6 15, 7 8 9 10 34, 11 12 13 14 15 65, 16 17 18 19 20 21 111, s s s s s s                           ………… 可得 1 3 5 2 1ns s s s       ▲ ．[来源:学,科,网] 13．在△ABC 中， π 6A  ，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B、C 不重合），且 2 2| | | |AB AD BD DC      ，则 B 等 于 ▲ ． 14．设函数 3 2( ) 2 lnf x x ex mx x    ，记 ( )( ) f xg x x  ，若函数 ( )g x 至少存在一个零点，则实数 m 的取值范 围是 ▲ ． 答案：1．{6，7} 2． π 3． 2 1 0x y   4． 17 5．24 6．27 7． 36π 8． 2( ,1)2 9．0＜a≤ 2 10． 7 8 11． ( 1)( 2)n n  12． 4n 13． 5π 12 14． 2 1( , ]e e   二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题 14 分） 如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 D 在边 BC 上，AD⊥C1D． （1）求证：AD⊥平面 BC C1 B1； （2）设 E 是 B1C1 上的一点，当 1 1 B E EC 的值为多少时， A1E∥平面 ADC1？请给出证明． 解: （1）在正三棱柱中，C C1⊥平面 ABC，AD  平面 ABC， ∴ AD⊥C C1．………………………………………2 分 又 AD⊥C1D，C C1 交 C1D 于 C1，且 C C1 和 C1D 都在面 BC C1 B1 内， ∴ AD⊥面 BC C1 B1． ……………………………………………………………5 分 （2）由（1），得 AD⊥BC．在正三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点．………………………7 分 当 1 1 1B E EC  ，即 E 为 B1C1 的中点时，A1E∥平面 ADC1．………………………………8 分 事实上，正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，四边形 BC C1 B1 是矩形，且 D、E 分别是 BC、B1C1 的中点，所 以 B1B∥DE，B1B= DE． …………………………………………………10 分 又 B1B∥AA1，且 B1B=AA1， ∴DE∥AA1，且 DE=AA1． ……………………………………………………………12 分 所以四边形 ADE A1 为平行四边形，所以 E A1∥AD． 而 E A1  面 AD C1 内，故 A1E∥平面 AD C1． ………………………………………14 分 16．（本小题 14 分） 如图，在四边形 ABCD 中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 50AB AC   ． （1）求 sin∠BAD 的值； （2）设△ABD 的面积为 S△ABD，△BCD 的面积为 S△BCD，求 ABD BCD S S   的值． 解 （1）在 Rt△ADC 中，AD=8，CD=6， 则 AC=10， 4 3cos ,sin5 5CAD CAD    ．………………2 分 又∵ 50AB AC   ，AB=13， ∴ 5cos 13| || | AB ACBAC AB AC        ． …………………………4 分 ∵ 0 180BAC    ，∴ 12sin 13BAC  ． …………………………………………………5 分 ∴ 63sin sin( ) 65BAD BAC CAD      ．……………………………………………………8 分 （2） 1 252sin2 5BADS AB AD BAD      ， 1 sin 602BACS AB AC BAC      ， 24ACDS  ， 11 分 B1 A1 A B C C1 D A C D B 则 168 5BCD ABC ACD BADS S S S       ，∴ 3 2 ABD BCD S S    ．……………………………………14 分 17．（本小题 15 分） 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记 录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日 期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x （°C） 10 11 13 12 8 发芽数 y （颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被 选取的 2 组数据进行检验． （1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； （2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关 于 x 的线性回归方程 y bx a  ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性 回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? 解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 A ，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种情 况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种， ………………2 分 所以 4 3( ) 1 10 5P A    ．…………………………………………………………………4 分 答：略． ……………………………………………………………………………………5 分 （2）由数据，求得 12, 27x y  ．………………………………………………………………7 分 由公式，求得 5 2b  ， 3a y bx    ． …………………………………………………9 分 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 5ˆ 32y x  ． …………………………………………10 分 （3）当 x=10 时， 5ˆ 10 3 222y     ，|22－23|＜2；…………………………………………12 分 同样，当 x=8 时， 5ˆ 8 3 172y     ，|17－16|＜2．……………………………………14 分 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………………………15 分 18．（本小题 15 分） 抛物线 2 4y x 的焦点为 F， 1 1 2 2 1 2 1 2( , ), ( , ) ( , 0, 0)A x y B x y x x y y   在抛物线上，且存在实数λ，使 AF BF   0， 25| | 4AB  ． （1）求直线 AB 的方程； （2）求△AOB 的外接圆的方程．[来源:学。科。网] 解：（1）抛物线 2 4y x 的准线方程为 1x   ． ∵ AF BF  0   ，∴A，B，F 三点共线．由抛物线的定义，得| AB  |= 1 2 2x x  ． …1 分 设直线 AB： ( 1)y k x  ，而 1 2 1 2 1 2 1 2 , , 0, 0, 0.y yk x x y y kx x       由 2 ( 1), 4 , y k x y x     得 2 2 2 22( 2) 0k x k x k    ． ……………………………………………3 分 ∴ 2 1 2 2 1 2 2( 2) , 1, kx x k x x       | AB  |= 1 2 2x x  = 2 2 2( 2) 252 4 k k    ．∴ 2 16 9k  ．……………6 分 从而 4 3k  ，故直线 AB 的方程为 4 ( 1)3y x  ，即 4 3 4 0x y   ．……………………8 分 （2）由 2 4 3 4 0, 4 , x y y x      求得 A（4，4），B（ 1 4 ，－1）．……………………………………10 分 设△AOB 的外接圆方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，则 0, 16 16 4 4 0, 1 11 ( ) 0.16 4 F D E F D E F                  解得 29 ,4 3 ,4 0. D E F          ………………………………………………14 分 故△AOB 的外接圆的方程为 2 2 29 3 04 4x y x y    ．…………………………………15 分 19．（本小题 16 分） 已知函数 1( ) lnsing x xx  在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π）， 1( ) lnmf x mx xx    ，m ∈R． （1）求θ的值； （2）若 ( ) ( )f x g x 在[1，＋∞）上为单调函数，求 m 的取值范围； （3）设 2( ) eh x x  ，若在[1，e]上至少存在一个 0x ，使得 0 0 0( ) ( ) ( )f x g x h x  成立，求 m 的取值范围． 解：（1）由题意， 2 1 1( ) sing x x x     ≥0 在 1, 上恒成立，即 2 sin 1 0sin x x      ≥ ．………1 分 ∵θ∈（0，π），∴sin 0  ．故sin 1 0x   ≥ 在 1, 上恒成立，…………………2 分 只须 sin 1 1 0   ≥ ，即sin 1 ≥ ，只有 sin 1  ．结合θ∈（0，π），得 π 2   ．……4 分 （2）由（1），得 ( ) ( )f x g x  2lnmmx xx   ．   2 2 2( ) ( ) mx x mf x g x x     ．…………5 分 ∵ ( ) ( )f x g x 在其定义域内为单调函数， ∴ 2 2 0mx x m  ≥ 或者 2 2 0mx x m  ≤ 在[1，＋∞）恒成立．………………………6 分 2 2 0mx x m  ≥ 等价于 2(1 ) 2m x x ≥ ，即 2 2 1 xm x ≥ ， 而 2 2 2 11 x x x x   ，（ 2 1x x  ）max=1，∴ 1m≥ ． …………………………………………8 分 2 2 0mx x m  ≤ 等价于 2(1 ) 2m x x ≤ ，即 2 2 1 xm x ≤ 在[1，＋∞）恒成立， 而 2 2 1 x x  ∈（0，1]， 0m ≤ ． 综上，m 的取值范围是    ,0 1,  ． ………………………………………………10 分 （3）构造 ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x h x   ， 2( ) 2lnm eF x mx xx x     ． 当 0m ≤ 时， [1, ]x e ， 0mmx x  ≤ ， 22ln