2010-2011高三文科数学月考试卷及答案

2010-2011 高三第一学期月考试卷 数 学 命题人 石油中学夏占灵 第Ⅰ卷 选择题（共 50 分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小 题，每小题 5 分，共 50 分） 1．已知集合 1( ) , 02 xA y y x       ，集合  1 2B x y x  ，则 A B  （ ） A． 1, B． 1, C． 0, D． 0, 2. 在用二分法求方程 3 2 1 0x x   的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内， 则下一步可断定该根所在的区间为（ ） A.（1.4，2） B.（1，1.4） C.(1,1.5) D.(1.5,2) 3. 如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样 本数据落在 6,10 内的频数为（ ） A.8 B.32 C.40 D.无法确定 4. 双曲线 2 2 2 2 1y a b x  的一条渐近线方程为 4 3y x ，则 双曲线的离心率为（ ） A. 5 3 B. 4 3 C. 5 4 D. 7 4 5. 阅读右侧的算法流程图，输出的结果 B 的（ ） A.7 B.15 C.31 D.63 6. 对定义域内的任意两个不相等实数 1x ， 2x ，下列满 足 0)]()()[( 2121  xfxfxx 的函数是（ ） A． 2)( xxf  B． xxf 1)(  C． xxf ln)(  D． xxf 5.0)(  7. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为（ ） A. 37 3 m B. 39 2 m C. 37 2 m D. 39 4 m 8. 已知函数 mxxxf  3)( 3 在区间 ]0,3[ 上的最大值与最小值的和为 14 ，则实数 m 的 值为（ ） A．1 B． 2 C． 9 D． 8 9. 已知正 棱 锥 S —ABC 的 底面 边 长 为 4， 高为 3， 在正 棱 锥 内任 取 一点 P，使得 2 1ABCPV ABCSV  的概率是（ ） A． 4 3 B． 8 7 C． 2 1 D． 4 1 10.数列 na 是等差数列，若 11 10 1a a   ，且它的前 n 项和 nS 有最大值，那么当 nS 取的最小正 值时， n  （ ） A.11 B.17 C.19 D.21 第Ⅱ卷 非选择题（共 100 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分． 11.记 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，已知 2 3a  ， 6 11a  ，则 7S = . 12. 已 知 向 量 (1, 2), (2, )a b     ， 且 a  与 b  的 夹 角 为 锐 角 ， 则 实 数  的 取 值 范 围 是 . 13.已知函数   1 1 3sin cos2 4 4f x x x x   的图象在点   0 0,A x f x 处的切线斜率为 1 2 ，则 )4tan( 0 x 的值为 ． 14. 已知实数满足 2 0 2 5 0 2 0 x y x y y           ，则 y xb  的取值范围是 . 15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅 记分） （1）．（选修 4—4 坐标系与参数方程）已知直线的极坐标方程为 2 4 2sin( )    ，则极点 到该直线的距离是 . （2）．（选修 4—5 不等式选讲）已知lg lg 0a b  ，则满足不等式 2 21 1 a b a b    的实数 的 范围是 . （3）．(选修 4—1 几何证明选讲）如图，两个 等 圆 ⊙ O 与 ⊙ 'O 外切，过 O 作⊙ 'O 的两条切线 , ,OA OB ,A B 是切点，点 C 在圆 'O 上且不与点 ,A B 重合，则 ACB = . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共 6 小题，共 75 分） 16．（本小题 12 分）已知 , ,A B C 是 ABC 的三个内角，向量 ( 1 ),m   ，3 (cos ,sin )n A A ，且 1 nm . （1）求角 A ； （2）若 2 2 1 sin2 cos sin 3B B B     ，求 tanC . 17.（本小题 12 分）某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学 生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图 5 所示,其中 120～130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于 90 分的概率. 18.（本小题 12 分）如图（1）， ABC 是等腰直角三角形， 4AC BC  ， E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中点，将 AEF 沿 EF 折起，使 A在平面 BCEF 上的射影O 恰为 EC 的中点，得到图（2）． （1）求证： EF A C ； （2）求三棱锥 BCAF  的体积． 19.（本小题 12 分）已知数列 }{ na 、 }{ nb 满足 11 a ， 32 a ， )(2 *1 Nnb b n n  ， nnn aab  1 . （1）求数列 }{ nb 的通项公式； （2）求数列 na 的通项公式； 频率 分数 90 100 110 120 130 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 8070 （3）数列 }{ nc 满足 )1(log 2  nn ac )( *Nn  ，求 1 3 3 5 2 1 2 1 1 1 1 n n n S c c c c c c      20.（本小题 13 分）已知     3 21 1ln , 3 2f x x g x x x mx n     ，直线l 与函数    ,f x g x 的 图象都相切于点 1,0 （1）求直线l 的方程及 ( )g x 的解析式； （2）若      'h x f x g x  （其中  'g x 是  g x 的导函数），求函数  h x 的值域. 21.（本小题 14 分）已知定点 ( 1,0)C  及椭圆 2 23 5x y  ，过点C 的动直线与该椭圆相交于 ,A B 两点 （1）若线段 AB 中点的横坐标是 1 2 ，求直线 AB 的方程； （2）在 x 轴上是否存在点 M ，使 MA MB  为常数？若存在，求出点 M 的坐标；如果不存在， 请说明理由. 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 B D B C B D C A C C 二、填空题: 11． 49 ； 12．   , 4 4,1    ； 13． 2 3 ； 14． 1 3 ,2  ． 15．(1) 2 2 ； (2)  1, ； (3) 60 ． 三、解答题： 16．（本小题 12 分）(1) 60 ,A   (2) 8 5 3 11tan C  17．（本小题 12 分）解:(1) 由频率分布条形图知, 抽取的学生总数为 5 1000.05  人. ………………………………4 分 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d , 由 4 22 6d  =100,解得 2d . ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人，24 人，26 人，28 人. ……………8 分 (2) 在 抽 取 的 学 生 中 , 任 取 一 名 学 生 , 则 分 数 不 小 于 90 分 的 概 率 为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ……………………………………………12 分 18．（本小题 12 分）（Ⅰ）证法一：在 ABC 中， EF 是等腰直角 ABC 的中位线， EF AC  在四棱锥 BCEFA  中， EAEF  ， ECEF  ， ……………2 分 EF  平面 A EC ， ……5 分 又 CA 平面 A EC , EF A C  …………7 分 证法二：同证法一 EF EC …………2 分 A O EF  EF  平面 A EC ， ………5 分 又 CA 平面 A EC , EF A C  ……………………7 分 （Ⅱ）在直角梯形 EFBC 中， 4,2  BCEC , 42 1   ECBCS FBC ……8 分 又 A O 垂直平分 EC ， 322  EOEAOA ……10 分 三棱锥 BCAF  的体积为： 3 34343 1 3 1   OASVV FBCFBCABCAF ………12 分 19．（本小题 12 分）（1） )(2 *1 Nnb b n n  ，又 1 2 1 3 1 2b a a     。 所以数列 }{ nb 是首项 1b 2 ，公比 2q 的等比数列。故 1 1 2n n nb b q   …… 4 分 （2） * 1 2 ( )n n na a n N    1 1 2 2 1 1( ) ( ) ... ( )n n n n na a a a a a a a           1221 211222 21    n n nn  。………… 8 分 （3） nac nn nn  2log)112(log)1(log 222 ， )( *Nn  ，  2 1 2 1 1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n nc c n n n n         1 3 3 5 2 1 2 1 1 1 1 n n n S c c c c c c      1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1n n         1 1(1 )2 2 1 2 1 n n n     20．（本小题 13 分）（1）直线l 是函数   lnf x x 在点 1,0 处的切线，故其斜率  ' 1 1k f  ， 所以直线l 的方程为 1.y x  (2 分) 又 因 为 直 线 l 与  g x 的 图 象 相 切 ， 所 以   3 21 1 3 2g x x x mx n    在 点  1,0 的 导 函 数 值 为 1.     11 0 1' 1 1 6 mg ng        所以   3 21 1 1 3 2 6g x x x x    （6 分） （2）因为        2' ln 1 0h x f x g x x x x x       （7 分） 所以    2 2 1 ( 1)1 1 2' 2 1 x xx xh x xx x x         （9 分） 当 10 2x  时，  ' 0h x  ；当 1 2x  时，  ' 0h x  （11 分） 因此，当 1 2x  时，  h x 取得最大值 1 1 ln 22 4h      （12 分） 所以函数  h x 的值域是 1, ln 24      . （13 分） 21．（本小题 14 分）（1）设直线 : ( 1)AB y k x  ， 将 : ( 1)AB y k x  代入椭圆的方程 2 23 5x y  ， 消去 y 整理得 2 2 2 2(3 1) 6 3 5 0k x k x k     ， 设 1 1( , )A x y ， 2 2B( , )x y 则 2 2 4 2 2 6 1 2 3 1 36 4(3 1)(3 5) 0 k k k k k x x           因为线段 AB 的中点的横坐标为 1 2 ，解得 3 3k   所以直线 AB 的方程为 3 1 0x y   （2）假设在 x 轴上存在点 ( ,0)M m ，使得 MA MB  位常数， (1)当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由（1）知 2 2 6 1 2 3 1 k kx x    ， 2 2 3 5 1 2 3 1 k kx x    所以 1 2 1 2( )( )MA MB x m x m y y      = 2 2 2 2 1 2 1 2( 1) ( )( )k x x k m x x k m      2 2 6 141 3 3(3 1)2 m km m      ， 因为 MA MB  是与 k 无关的常数，从而有 7 36 14 0,m m    ， 此时 4 9MA MB   ， (2)当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时结论成立， 综上可知，在 x 轴上存在定点 7 3( ,0)M  ，使 4 9MA MB   为实数。