2011南京市高三一模（数学）含答案

南京市 2011 届高三第一次模拟考试（数学）2011.01 参考公式：1.样本数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2 1 1 ( ) n i i s x xn    ，其中 x 是这组数据的平均数。 2.柱体、椎体的体积公式： 1, 3V Sh V Sh 柱体 椎体 ，其中 S 是柱（锥）体的底面面积， h 是高。 一、填空题：（5 分×14=70 分） 1.函数 22y x x  的定义域是 . 2.已知复数 z 满足 ( 2) 1z i i   （ i 为虚数单位），则 z 的模为 . 3. 已知实数 ,x y 满足 2 0, 0, 1, x y x y x         则 2z x y  的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的 9.5x   ，则输出的结果为 . 5.在集合  2,3A  中随机取一个元素 m ，在集合  1,2,3B  中随机取一个元 素 n ，得到点 ( , )P m n ，则点 P 在圆 2 2 9x y  内部的概率为 . 6.已知平面向量 ,a b   满足| | 1,| | 2a b   ， a  与b  的夹角为 3  ，以 ,a b   为邻边 作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 . 7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在 6 场比赛中的 得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 . 8.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 tan 21 tan A c B b   ，则角 A 的大小为 . 9.已知双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右顶点、右焦点分别为 A、F,它的左准线与 x 轴的交 点为 B，若 A 是线段 BF 的中点，则双曲线 C 的离心率为 . 10.已知正数数列 na 对任意 ,p q N  ，都有 p q p qa a a   ，若 2 4a  ，则 9a = . 11.已知 ,l m 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面。下列命题： ①若 , , || , || ,l m l m     则 ||  ； ②若 , || , ,l l m     则 ||l m ； ③若 || , || ,l   则 ||l  ； ④若 , || , || ,l m l   则 m  . 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）. 12.已知 2( ) log ( 2)f x x  ，若实数 ,m n 满足 ( ) (2 ) 3f m f n  ，则 m n 的最小值是 . 13. 在△ABC 中，已知 BC=2， 1AB AC   ,则△ABC 面积的最大值是 . 14.若直角坐标平面内两点 P、Q 满足条件：①P、Q 都在函数 ( )f x 的图象上；②P、Q 关于原 点对称，则称点对（P，Q）是函数 ( )f x 的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看 作同一个“友好点对”）.已知函数 22 4 1, 0, ( ) 2 , 0,x x x x f x xe       则 ( )f x 的“友好点对”有 个. 二、解答题：（本大题共 6 小题，共计 90 分）. 15.（本题满分 14 分） 已知函数 ( ) 2sin( )( 0,0 )f x x         的最小正周期为 ，且 ( ) 24f   . （1）求 ,  的值；（2）若 6( ) (0 )2 5f       ，求 cos2 的值。 16. （本题满分 14 分） 如图，在棱长均为 4 的三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，D 、 1D 分别是 BC 和 1 1B C 的中点. （1）求证： 1 1A D ∥平面 1AB D ； （2）若平面 ABC⊥平面 1 1BCC B ， 1 60OB BC  ，求三棱锥 1B ABC 的体积。 17. （本题满分 14 分） 如图，在半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A、 B 在直径上，点 C、D 在圆周上。 （1）怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最 大面积； （2）若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的 圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才 能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积. 18. （本题满分 16 分） 在直角坐标系 xOy 中，中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点 (2 2,1) 到两焦 点的距离之和为 4 3 . （1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线l 与椭圆 C 分别交于 A、B 两点， 其中点 A 在 x 轴下方，且 3AF FB  .求过 O、A、B 三点的圆的方程. 19. （本题满分 16 分） 将数列 na 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a a a a a a a a a  已知表中的第一列数 1 2 5, , ,a a a  构成一个等差数列，记为 nb ，且 2 54, 10b b  .表 中每一行正中间一个数 1 3 7, , ,a a a 构成数列 nc ，其前 n 项和为 nS . （1）求数列 nb 的通项公式； （2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比 为同一个正数，且 13 1a  .①求 nS ；②记  | ( 1) ,nM n n c n N     ，若集合 M 的元素 个数为 3，求实数  的取值范围. 20. （本题满分 16 分） 已知函数 ( ) 1 ln ( )f x x a x a R    . （1）若曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线的方程为 3 3 0x y   ，求实数 a 的值； （2）求证： ( )f x ≥0 恒成立的充要条件是 1a  ； （3）若 0a  ，且对任意 1 2, (0,1]x x  ，都有 1 2 1 2 1 1| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x    ，求实数 a 的取值范围. 南京市 2011 届高三第一次模拟考试 数学附加题 2011.01 21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分. A.选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是圆周上一点（异于 A、 B），过 C 作圆 O 的切线l ，过 A 作直线l 的垂线 AD，垂足为 D，AD 交半圆于点 E.求证：CB=CE. B. 选修 4-2：矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 2 0x y   在矩阵 1 4 aM b      对应的变换作用下得到 直线 : 4 0m x y   ，求实数 ,a b 的值. C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 C： 10cos  和直线 :3 cos 4 sin 30 0l       相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长. D.选修 4-5:不等式选讲 解不等式| 2 4 | 4 | |x x   . 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 22.如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 190 , 30 , 1, 6O OACB BAC BC A A      ， M 是 1CC 的中点. （1）求证： 1 1A B AM ; （2）求二面角 B AM C  的平面角的大小. 23.已知等比数列 na 的首项 1 2a  ，公比 3q  ， nS 是它的前 n 项和.求证： 1 3 1n n S n S n   .