2016届高三数学（理）期中试题及答案

2016 届高三上学期期中考试 理科数学试卷 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分， 满分 150 分，考试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求 的 1．若复数 z 满足 )1(2 1 izi  ，则 z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i2 1 .B i2 1 .C 2 1 .D 2 1 2．已知全集为 R ，集合     02 1| x xxM ，  1)2(ln| 1  xxN ，则集合 )( NCM R （ ） .A  1,1 .B  1,1 .C  2,1 .D  2,1 3．若幂函数 22 2 )33(  mmxmmy 的图象不过原点，则 m 的取值是（ ） .A 21  m .B 21  mm 或 .C 2m .D 1m 4．设 Ryx , ，则 "22"  yx 且 是 "4" 22  yx 的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．已知向量 )2,1(a ， )1,3(2 1  ba ， )3,(xc  ，若   cba //2  ，则 x （ ） .A 2 .B 4 .C 3 .D 1 6．已知数列 na 满足 )(loglog1 * 133 Nnaa nn   ， 9642  aaa ，则  )(log 975 3 1 aaa （ ） .A 5 1 .B 5 1 .C 5 .D 5 7．已知 ),( yxP 为区域      ax xy 0 022 内的任意一点，当该区域的面积为 4 时， yxz  2 的最大值是（ ） .A 6 .B 0 .C 2 .D 22 8．设      2,0  ，      2,0  ，   cos sin1tan  ，则（ ） .A 23   .B 22   .C 23   .D 22   9．数列 na 满足 11 a ，对任意的 *Nn 都有 naaa nn  11 ，则  201621 111 aaa  ( ) .A 2015 2016 .B 4032 2017 .C 4034 2017 .D 2016 2017 10．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（ ） .A 2 5329  .B 2 329  .C 2 529  .D 2 511 11．在直三棱柱 111 CBAABC  中，若 ACBC  ， 3 A ， 4AC ， 41 AA ，M 为 1AA 的中点，P 为 BM 的中点，Q 在线段 1CA 上， QCQA 31  .则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为（ ） .A 39 13 .B 2 13 13 .C 2 39 13 .D 13 13 12．对于任意实数 ba, ，定义   ,min , , a a ba b b b a    ，定义在 R 上的偶函数 )(xf 满足 )()4( xfxf  ，且当 20  x 时，  xxf x  2,12min)( ，若方程 0)(  mxxf 恰有两个根，则 m 的取值范围是（ ） .A             2ln,3 1 3 1,2ln1,1  .B          1,3 1 3 1,1  .C             2ln,2 1 2 1,2ln1,1  .D           2 1,3 1 3 1,2 1  第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案写在答题卡上相应的位置 13． 3 2 0 | 1| _______x dx  14．在 ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，若 222 4 1 cba  ，则  c Bacos _______________ 15．已知 Ryx , ，满足 642 22  yxyx ，则 22 4yxz  的取值范围________ 16．已知三棱柱 111 CBAABC  的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 3 ， 2AB  ， 60,1  BACAC ，则此球的表面积等于_______________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的 极坐标方程为 )sin(cos2   . P M A C B （1）求C 的直角坐标方程； （2）直线         ty tx l 2 31 2 1 : （t 为参数）与曲线C 交于 BA, 两点，与 y 轴交于 E ，求 EBEA  ． 18.（本小题满分 12 分） 在△ ABC 中， , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， sin sintan cos cos A BC A B   ,sin( ) cosB A C  ． （1）求 ,A C ； （2）若 3 3ABCS   ,求 ,a c ． 19.（本小题满分 12 分） 已知数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足： )1(2  nn aS ，数列 }{ nb 满足：对任意  Nn 有 22)1( 1 2211  n nn nbababa  （1）求数列 }{ na 与数列 }{ nb 的通项公式； （2）记 n n n a bc  ，数列 }{ nc 的前 n 项和为 nT ，证明：当 6n 时， 12  nTn 20.（本小题满分 12 分） 如图， PCBM 是直角梯形， 90PCB   ， / /PM BC ， 1, 2PM BC  ， 又 1,AC  120ACB   ， AB PC ，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 （1）求证：平面 PAC ⊥平面 ABC ； （2）求三棱锥 P MAC 的体积． 21.（本小题满分 12 分） 已知各项均不相等的等差数列{ }na 的前五项和 5 20S  ，且 1 3 7, ,a a a 成等比数列． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 nT 为数列 1 1{ } n na a  的前 n 项和，若存在 *n N ，使得 1 0n nT a   成立． 求实数  的取值范围． 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 1( ) (2 )ln 2 f x a x axx     ． (Ⅰ)当 2a  时，求函数 ( )f x 的极值； (Ⅱ)当 0a 时，讨论 )(xf 的单调性； (Ⅲ)若对任意的  1 2( 3, 2), , 1,3a x x    恒有 1 2( ln3) 2ln3 ( ) ( )m a f x f x    成立， 求实数 m 的取值范围． 高三理科数学期中考试答案 选择：1-5 CDBAD，6-10 CABBA， 11-12 CA 填空： 8],12,4[,8 5,3 22 解答题：17（1）由  2 cos sin    得  2 2 cos sin     ，得直角坐标方程为 2 2 2 2x y x y   ，即    2 21 1 2x y    ； （2）将  的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，化简得 2 1 0t t   ，点 E 对应的参数 0t  ，设点 A，B 对应的 参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 1t t  ， 1 2 1t t   ，所以  2 1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | 4 5EA EB t t t t t t t t         ． 18.（1）因为 sin sintan cos cos A BC A B   ，即 sin sin sin cos cos cos C A B C A B   ， 所以sin cos sin cos cos sin cos sinC A C B C A C B   ， 即sin cos cos sin cos sin sin cosC A C A C B C B   ， 得sin( ) sin( )C A B C   ．所以C A B C   ,或 ( )C A B C    （不成立）． 即 2C A B  , 得 3C  ，所以． 2 3B A   ． 又因为 1sin( ) cos 2B A C   ，则 6B A   ，或 5 6B A   ,（舍去） 得 5,4 12A B   ． （2） 1 6 2sin 3 32 8ABCS ac B ac     ,又 sin sin a c A C  , 即 2 3 2 2 a c ， 得 2 2, 2 3.a c  19.（1）当 1n  时， 1 1 12( 1)S a a   ，所以 1 2a  ， 当 1n  时， 1 12( )n n n n na S S a a     ， ,2 1 nn aa 又 12 2224 aa  成立 所 以 数 列  na 是 以 1 2a  ， 公 比 2q  的 等 比 数 列 ， 通 项 公 式 为 2 ( )n na n N   . 由 题 意 有 1 1a b  2(1 1) 2 2 2    ，得 1 1b  . 当 2n  时， n na b  1 1 2 2( )n na b a b a b   1 1 2 2 1 1( )n na b a b a b     1( 1) 2 2nn        ( 2) 2 2nn      2nn ， 验证 首项 满足 ，于 是得 nb n 故 数列  nb 的 通项 公式 为 nb n ( )n N  ． （2） 证明： nT = 1 2 1 2 n n bb b a a a    = 2 1 2 2 2 2n n   ，所以 1 2 nT = 2 3 1 1 2 2 2 2n n    ， 错位相减得 1 2 nT = 2 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n n n      ，所以 2nT   2 2n n  ，即 2 nT  2 2n n  ， 下证：当 6n  时， ( 2) 12n n n   ，令 ( )f n = ( 2) 2n n n  ， ( 1) ( )f n f n  = 1 ( 1)( 3) ( 2) 2 2n n n n n n     = 2 1 3 2n n   当 2n  时， ( 1) ( ) 0f n f n   ，即当 2n  时， ( )f n 单调减，又 (6) 1f  ， 所以当 6n  时， ( ) 1f n  ，即 ( 2) 12n n n   ，即当 6n  时， 2 1nn T  20. (1) ABCPC BBCAB ABPC BCPC 面       , PACPC 面  ABCABC 面面  (2) 12 3 2 3112 1 3 1   PMCAMACP VV 21.（1）设{ }na 的公差为 d ，由已知得 1 2 1 1 1 5 45 202 ( 2 ) ( 6 ) a d a d a a d        即 1 2 1 2 4 2 a d d a d    ， 1 10, 2 dd a     ，故 *1( )na n n N   （2） 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) 1 2n na a n n n n       1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2nT n n          1 1 2 2 2( 2) n n n     ∵存在 *n N ，使得 1 0n nT a   成立 ∴存在 *n N ，使得 ( 2) 02( 2) n nn    成立,即 22( 2) n n    有解 max2{ }2( 2) n n    而 2 1 1 42( 2) 162( 4) n n n n     ， 2n 时取等号 1 16   ． 22.试题解析：(Ⅰ)函数 )(xf 的定义域为 (0, ) ． 2 1( ) 4 f x x     ，令 2 1( ) 4 =0f x x     ， 得 1 1 2x  ； 2 1 2x   （舍去）． 2 分 当 x 变化时，  , ( )f x f x 的取值情况如下： x 1(0, )2 1 2 1( , )2   f x — 0  ( )f x 减 极小值 增 所以，函数 ( )f x 的极小值为 1( ) 42f  ，无极大值． 4 分 (Ⅱ) 2 2 2 1 (2 1)( 1)( ) 2 a x axf x ax x x        ， 令 ( ) 0f x  ，得 1 1 2x  ， 2 1x a   ， 5 分 当 2a   时， ( ) 0f x  ，函数 )(xf 的在定义域 (0, ) 单调递增； 6 分 当 2 0a   时，在区间 1(0, )2 ， 1( , )a   ，上 ( ) 0f x  ， )(xf 单调递减， 在区间 1 1( , )2 a  ，上 ( ) 0f x  ， )(xf 单调递增； 7 分 当 2a   时，在区间 1(0, )a  ， 1( , )2  ，上 ( ) 0f x  ， )(xf 单调递减， 在区间 1 1( , )2a  ，上 ( ) 0f x  ， )(xf 单调递增． 8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当 ( 3, 2)a   时，函数 )(xf 在区间 1.3 单调递减； 所以，当  1.3x 时， max( ) (1) 1 2f x f a   ， min 1( ) (3) (2 )ln3 63f x f a a     问题等价于： 对 任 意 的 ( 3, 2)a   ， 恒 有 1( ln3) 2ln3 1 2 (2 )ln3 63m a a a a        成 立 ， 1 即 1 4 11 4 , 4aam a m a a      ， 43 2,43 2  amaam ，所以 3 13m 12 分