2015-2016 学年度上学期期中考试
高三文科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1.已知集合 }1,1{M ， },422
1|{ 1 Z xxN x ，则 NM ( )
A. }1,1{ B. C. )1,1( D. }1{
2.已知 2 ,a i b i a b Ri
，其中i 为虚数单位，则 a b （ ）
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知向量 ),2,2(),1,1(
nm 若 )()(
nmnm ，则 （ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
4.已知 ,02,5
34)2cos()3sin( 则 2cos( )3
等于( )
A. 4
5
B. 3
5
C. 4
5 D. 3
5
5.设 , ,a b c 是空间三条直线， , 是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不．．．．正确的是( )
A. 当 c 时，若 c ，则 //
B. 当 ,b a 且 c 是 a 在 内的射影时，若 b c ，则 a b
C. 当 b 时，若b ，则
D.当b 且 c 时，若 //c ，则 //b c
6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m），则该棱锥的全面积是( )（单位：m2）．
正视图 侧视图 俯视图
A. 624 B. 64 C. 224 D. 24
7．执行右面的程序框图，若输出的结果是 15
16
，则输入的 a 为( )
A．3 B． 4 C．5 D． 6
8.设双曲线 )0,0(12
2
2
2
bab
x
a
y 的渐近线与抛物线 12 xy
相切，则该双曲线的离心率等于( )
A.
2
5 B. 5 C. 6 D.
2
6
9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则 ab 的概率是( )
A. 4
5 B. 3
5 C. 2
5 D. 1
5
10. 在 ABC 中， 60 , 10A BC ， D 是 AB 边上的一点， 2CD ，
CBD 的面积为1，则 BD 的长为( )
A.
2
3 B. 4 C. 2 D.1
是
否
11.定义在 R 上的函数 )(xfy 满足 5 5( ) ( )2 2f x f x ， 5( ) ( ) 02x f x ，任意的 21 xx ，
都有 )()( 21 xfxf 是 521 xx 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知函数 ( )f x 是定义在 1,2a a 上的偶函数,且当 0x 时, ( )f x 单调递增，
则关于 x 的不等式 ( 1) ( )f x f a 的解集为（ ）
A． 4 5[ , )3 3 B． ]3
5,3
4()3
2,3
1[ C． )3
2,3
1[]3
1,3
2( D．随 a 的值而变化
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.设变量 ,x y 满足约束条件
0,
0,
2 2 0,
x
x y
x y
则 3 2z x y 的最大值为 .
14.定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 xy 2 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，
则点 P 到 y 轴距离的最小值为 .
15.直线 l1：y＝x＋a 和 l2：y＝x＋b 将单位圆 C：x2＋y2＝1 分成长度相等的四段弧，则 22 ba =________.
16．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的各个顶点都在体积为 32
3
的球 O 的球面上，其中 1 2AA ，
则四棱锥 O-ABCD 的体积的最大值为 ．
三、解答题：
17.（本小题满分 12 分）
已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 nS ， na ，
2
1 成等差数列．
（1）证明数列 na 是等比数列；
（2）若 3log 2 nn ab ，求数列
1
1
nnbb
的前 n 项和 nT ．
18．(本小题满分 12 分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).
已知甲代表队数据的中位数为 76 ，乙代表队数据的平均数是 75.
（1）求 x ， y 的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80 分
的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队
学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由
（方差较小者稳定）.
19．(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 ABCDP 中， PA ⊥平面 ABCD ， 2 BCAB ， 7 CDAD ，
3PA ， 120ABC ，G 为线段 PC 上的点,
（1）证明： BD ⊥平面 PAC ；
（2）若G 是 PC 的中点，求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值.
20．(本小题满分 12 分)
已知椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的两个焦点为 1F 、 2F ，离心率为
2
2 ，直线l 与椭圆相交于
A 、 B 两点，且满足 2421 AFAF ， 2
1 OBOA kk ,O 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明： OAB 的面积为定值．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 1( ) ln ( 1)2f x x a x （ Ra ）．
（1）若 2a ，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（2）若不等式 ( ) 0f x 对任意 (1, )x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4 一 1：几何证明选讲
如图， AB 是圆O 的直径，弦 ABCD 于点 M ， E 是CD 延长
线上一点， ,43,8,10 OMEDCDAB
EF 切圆O 于 F ， BF 交CD 于G ．
（1）求证： EFG 为等腰三角形；
（2）求线段 MG 的长．
（23）（本小题满分 10 分）选修 4 一 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆 1C ： 2 2x y ＝1经过伸缩变换 ' 3
' 2
x x
y y
后得到曲线 2C ．
以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，
建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
10sin2cos ·
（1）求曲线 2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；
（2）在 2C 上求一点 M ，使点 M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．
（24）（本小题满分 10 分）选修 4 一 5：不等式选讲
已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x .
（1）求关于 x 的不等式 2)( xf 的解集；
（2）如果关于 x 的不等式 axf )( 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围.
哈六中 2016 届高三上文科数学期中考试试题答案
一、选择：DBBCC ABADC CB
二、填空：13. 4 14.
4
7 15. 2 16． 2
17．（本小题满分 12 分）
已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn，an， 成等差数列．
（1）证明数列{an}是等比数列；
（2）若 bn=log2an+3，求数列{ }的前 n 项和 Tn．
18．(本小题满分 12 分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队
各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).
已知甲代表队数据的中位数为 76，乙代表队数据的平均数 是 75.
（1）求 x ， y 的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的 学生，求抽到的学生
中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较 小者稳定）.
18．（1） 6x ， 3y （2） 5
12
（3）甲队成绩较为稳定，理 由略；
（1）因为甲代表队的中位数为 76，其中已知高于 76 的有 77，80，82，88，低于 76 的有 71，71，
65，64，所以 6x ；因为乙代表队的平均数为 75，其中超过 75 的差值为 5，11，13，14，和为 43，少于 75 的差值
为 3，5，7，7，19，和为 41，所以 3y ；
（2）甲队中成绩不低于 80 的有 80，82，88；乙队中成绩不低于 80 的有 80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一
名，种数为3 4 12 ，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。种数
为 3+1+1=5， 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 5
12P ．
（3）因为甲的平均数为 1 64 65 71 71 76 76 77 80 82 88 7510x 甲 ，
所以甲的方差 2 2 2 2 22 1= [ 64 75 65 75 71 75 71 75 76 7510s 甲
2 276 75 77 75 2 2 280 75 82 75 88 75 ] 50.2 ，
又乙的方差 2 2 2 2 22 1= [ 56 75 68 75 68 75 70 75 72 7510s 乙
2 273 75 80 75 2 2 286 75 88 75 89 75 ] 70.3 ，
因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定.
19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB=BC=2， AD=CD= 7 ，
PA= 3 ，∠ABC=120°，G 为线段 PC 上的点
（Ⅰ）证明：BD⊥面 PAC
（Ⅱ）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 APC 所成的角的正切值
（Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，求 PG
GC
的值．
19．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥面 ABCD， ∴ PA ⊥ BD ． ∵
AB=BC=2，AD=CD= ，设 AC 与 BD 的交点为 O，则 BD 是 AC 的 中垂线，故 O 为 AC 的
中点，且 BD⊥AC．而 PA∩AC=A，∴BD⊥面 PAC．
（Ⅱ）若 G 是 PC 的中点，O 为 AC 的中点，则 GO 平行且等于 PA，
故由 PA⊥面 ABCD，可得 GO⊥面 ABCD，
∴GO⊥OD，故 OD⊥平面 PAC，故∠DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角．由题意可得，GO= PA= ．
△ABC 中，由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2 ，OC= ．∵直角三角形 COD 中，OD= =2，
∴直角三角形 GOD 中，tan∠DGO= = ．
（Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，∵OG
⊂
平面 BGD，∴PC⊥OG，且 PC= = ．
由△COG∽△CAP，可得 ，即 ，解得 GC= ，
∴PG=PC﹣GC= ﹣ = ，∴ = = ．．
20．（本小题满分 10 分）已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的两个焦点为 1 2F F、 ，离心率为 2
2
，直线 l 与椭圆相交
于 A、B 两点，且满足 1 2
14 2, ,2OA OBAF AF k k O 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程;
（2）证明： OAB 的面积为定值．
20．（1）
2 2
18 4
x y （2）详见解析
【解析】
试题解析：（1）由椭圆的离心率为 2
2
，可得， 2
2
c
a
，
即 2a c 又 1 22 4 2a AF AF ，∴ 2 2a
∴c=2，∴ 2 4b ， ∴椭圆方程为
2 2
18 4
x y
（2）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立
2 2
18 4
y kx m
x y
，可得 2 2 21 2 4 2 8 0k x kmx m ，
2 2 2 2 2(4 ) 4 1 2 (2 8) 8 8 4 0km k m k m ①
2
1 2 1 22 2
4 2 8,1 2 1 2
km mx x x xk k
∴ 1 2
1 2
1
2
y y
x x
，
2 2
1 2 1 2 2 2
1 1 2 8 4
2 2 1 2 1 2
m my y x x k k
2 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
2 8 4 8
1 2 1 2 1 2
m km m ky y kx m kx m k x x km x x m k km mk k k
∴
2 2 2
2 2
4 8
1 2 1 2
m m k
k k
，∴ 2 2 24 8m m k ，∴ 2 24 2k m ，
设原点到直线 AB 的距离为 d，则 2
1 2 2
1 1 12 2 1OAB
mS AB d k x x
k
= 2
1 2 1 242
m x x x x =
2 2
2 2
4 2 842 1 2 1 2
m km m
k k
= 22
2 2
16 464
2
mm k
m m
= 2 22 4 4 2 2k m
当直线斜率不存在时，有 2, 2 , 2, 2 , 2A B d ，
∴ 1 2 2 2 2 22OABS ，即△OAB 的面积为定值 2 2
21．（本小题满分 12 分）.已知函数 1( ) ln ( 1)2f x x a x （ aR ）．
（Ⅰ）若 2a ，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式 ( ) 0f x 对任意 (1, )x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
21．解：（Ⅰ） 2a 时， ( ) ln 1f x x x ， 1( ) 1,f x x
1 分
切点为 (1,0) ， (1) 2k f ································································· 3 分
2a 时，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2 2y x .················4 分
（II）（i） 1( ) ln ( 1)2f x x a x ， 1 2( ) 2 2
a axf x x x
， 5 分
1 当 0a 时， (1, )x ， ( ) 0f x , ( )f x 在 (1, ) 上单调递增， ( ) (1) 0f x f ，
0a 不合题意. ·············································································· 7 分
②当 2a 即 20 1,a
时，
2( )2( ) 02 2
a xax af x x x
在 (1, ) 上恒成立，
( )f x 在 (1, ) 上单调递减，有 ( ) (1) 0f x f ， 2a 满足题意. 9 分
③若 0 2a 即 2 1,a
时，由 ( ) 0f x ，可得 21 x a
，由 ( ) 0f x ，可得 2x a
，
( )f x 在 2(1, )a
上单调递增，在 2( , )a
上单调递减， 2( ) (1) 0f fa
，
0 2a 不合题意. ··········································································11 分
综上所述，实数 a 的取值范围是[2, ). ···················································12 分
（22）（本小题满分 10 分）选修 4 一 1：几何证明选讲
如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M，E 是 CD 延长线上一点，AB＝10，CD＝8，3ED＝4OM，EF 切圆 O
于 F，BF 交 CD 于 G．
（I）求证：△EFG 为等腰三角形；
（II）求线段 MG 的长．
（23）（本小题满分 10 分）选修 4 一 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆 Cl： 2 2x y ＝1 经过伸缩变换 ' 3
' 2
x x
y y
后得到曲线 C2．以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直
线 l 的极坐标方程为 10cos sin ·
（I）求曲线 C2 的直角坐标方程及直线 l 的直角坐标方程；
（II）在 C2 上求一点 M，使点 M 到直线 l 的距离最小，并求出最小距离．
（23）（本小题满分 10 分）
（24）（本小题满分 10 劲选修 4 一 5：不等式选讲
已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x 。
（I）求关于 x 的不等式 f（x）＜2 的解集；
（II）如果关于 x 的不等式 f（x）＜a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围。
哈六中 2016 届高三上文科数学期中考试试题答案
20151103
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
D1.已知集合 }1,1{M ， },422
1|{ 1 Z xxN x ，则 NM ( D )
A. }1,1{ B. C. )1,1( D. }1{
B2.已知 2 ,a i b i a b Ri
，其中i 为虚数单位，则 a b ( B )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
B3.已知向量 ),2,2(),1,1(
nm 若 )()(
nmnm ，则 （B ）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
C4.已知 ,02,5
34)2cos()3sin( 则 2cos( )3
等于( C )
A. 4
5
B. 3
5
C. 4
5 D. 3
5
C5.设 , ,a b c 是空间三条直线， , 是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不．．．．正确的是(C )
A.当 c 时，若 c ，则 //
B. 当 ,b a 且 c 是 a 在 内的射影时，若 b c ，则 a b
C. 当 b 时，若b ，则
D.当b 且 c 时，若 //c ，则 //b c
A6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m），则该棱锥的全面积是( A )（单位：m2）．
正视图 侧视图 俯视图
A. 624 B. 64 C. 224 D. 24
B7．执行右面的程序框图，若输出的结果是 15
16
，则输入的 a 为(B )
A．3 B． 4 C．5 D． 6
A8.设双曲线 )0,0(12
2
2
2
bab
x
a
y 的渐近线与抛物线 12 xy
相切，则该双曲线的离心率等于(A )
A.
2
5 B. 5 C. 6 D.
2
6
D9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则 ab 的概率是( D )
A. 4
5 B. 3
5 C. 2
5 D. 1
5
C10. 在 ABC 中， 60 , 10A BC ，D 是 AB 边上的一点， 2CD ，
CBD 的面积为1，则 BD 的长为( C )
A.
2
3 B. 4 C. 2 D.1
C11.定义在 R 上的函数 )(xfy 满足 5 5( ) ( )2 2f x f x ， 5( ) ( ) 02x f x ，任意的 21 xx ，
都有 )()( 21 xfxf 是 521 xx 的(C )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
B12.已知函数 ( )f x 是定义在 1,2a a 上的偶函数,且当 0x 时, ( )f x 单调递增，
则关于 x 的不等式 ( 1) ( )f x f a 的解集为（ B ）
A． 4 5[ , )3 3
B． ]3
5,3
4()3
2,3
1[ C． )3
2,3
1[]3
1,3
2( D．随 a 的值而变化
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.设变量 ,x y 满足约束条件
0,
0,
2 2 0,
x
x y
x y
则 3 2z x y 的最大值为 4 .
是
否
14.定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 xy 2 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，
则点 P 到 y 轴距离的最小值为
4
7 .
15.直线 l1：y＝x＋a 和 l2：y＝x＋b 将单位圆 C：x2＋y2＝1 分成长度相等的四段弧，则 22 ba ___2_____.
16．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的各个顶点都在体积为 32
3
的球 O 的球面上，其中 1 2AA ，
则四棱锥 O-ABCD 的体积的最大值为 2 ．
17.（本小题满分 12 分）
已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 nS ， na ，
2
1 成等差数列．
（1）证明数列 na 是等比数列；
（2）若 3log 2 nn ab ，求数列
1
1
nnbb
的前 n 项和 nT ．
18．(本小题满分 12 分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).
已知甲代表队数据的中位数为 76 ，乙代表队数据的平均数是 75.
（1）求 x ， y 的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80 分
的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队 学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差 较小者稳定）.
19．(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB=BC= 2 ， AD=CD= 7 ，
PA= 3 ，∠ABC= 120 ，G 为线段 PC 上的点,
（1）证明：BD⊥面 PAC;
（2）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 APC 所成的角的正切值;
（3）若 G 满足 PC⊥面 BGD，求 PG
GC
的值．
20．(本小题满分 12 分)
已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的两个焦点为 1 2F F、 ，离心率为 2
2
，直线l 与椭圆相交于 A、B 两点，且满足
1 2
14 2, ,2OA OBAF AF k k O 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程;
（2）证明： OAB 的面积为定值．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 1( ) ln ( 1)2f x x a x （ aR ）．
（Ⅰ）若 2a ，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式 ( ) 0f x 对任意 (1, )x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，用 2B 铅笔在答题卡
上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4 一 1：几何证明选讲
如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M，E 是 CD 延长线上 一点，AB＝10，CD＝8，
3ED＝4OM，EF 切圆 O 于 F，BF 交 CD 于 G．
（1）求证：△EFG 为等腰三角形；
（2）求线段 MG 的长．
（23）（本小题满分 10 分）选修 4 一 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆 Cl： 2 2x y ＝1 经过伸缩变换 ' 3
' 2
x x
y y
后得到曲线 C2．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 10cos sin ·
（1）求曲线 C2 的直角坐标方程及直线 l 的直角坐标方程；
（2）在 C2 上求一点 M，使点 M 到直线 l 的距离最小，并求出最小距离．
（24）（本小题满分 10 劲选修 4 一 5：不等式选讲
已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x 。
（1）求关于 x 的不等式 f（x）＜2 的解集；
（2）如果关于 x 的不等式 f（x）＜a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围。
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