雅安中学2011—2012学年高二数学（上）期中试题

雅安中学 2011—2012 学年高二（上）期中试题 数 学 试 题（理） （命题人：姜志远 审题人：鲜继裕） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷第 3 至 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）。 1、过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 A、x-2y-1=0 B、x-2y+1=0 C、2x+y-2=0 D、x+2y-1=0 2、棱长为 a 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D- 中，M 为 1AA 中点，则 1A 到平面 MAD 的距离是 A、 6 6 a B、 3 3 a C、 3 2 a D、 3a 3、设 M(5,-1,2),A(4,2,-1),O(0,0,0),若OM AB=  ,则点 B 的坐标应为 A、(-1,3,-3) B(1,-3,3)、 C、(9,1,1) D、(-9,-1,-1) 4、已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D- 中, 1AA = 2AB , E 为 1AA 中点,则异面直线 BE 与 1CD 所形成角的余弦值为 A、 10 10 B、 1 5 C、 3 10 10 D、 3 5 5、已知点 A(-1,1)和圆 2 2:( 5) ( 7) 4,C x y- + - = 一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 上的最 短路程是 A、 6 2 2- B、10 C、 4 6 D、8 6、已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > , A 是椭圆长轴的一个端点, B 是椭圆短轴的一个端点, F 为椭圆的一个焦点. 若 AB⊥BF，则该椭圆的离心率为 A、 5 1 2 + B、 5 1 2 - C、 5 1 4 + D、 5 1 4 - 7、双曲线 2 2 15 x y k - = 的两条渐近线方程为 y=±2x,则 k 的值为 A、-10 B、10 C、20 D、-20 8、如图△ABD≌△CBD，△ABD 为等腰三角形. ∠BAD=∠BCD=90°，且面 ABD⊥面 BCD，则下列 4 个结论中，正确结论的是 ①AC⊥BD； ②△ACD 是等腰三角形； ③AB 与平面 BCD 成 60°角； ④AB 与 CD 成 60°角 A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④ 9、动点 P 到定点 F1（ 1 , 0 ）的距离比它到定点 F2（3，0）的距离小 2，则点 P 的轨迹是 A、双曲线 B、双曲线的一支 C、一条射线 D、两条射线 10、已 知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任一点 O , 1 1 2 3OM xOA OB OC= + +    ,则 x 的值 为 A、 6 1 B、 3 1 C、 2 1 D、0 11、已知 P 为椭圆 2 2 125 9 x y+ = 上一点，M（2,2），则 1PF PM+ 的最小值为： A、10 2 2- B、10 2 2+ C、10 2 5- D、 2 10 12、已知双曲线方程为 2 2 12 yx - = ．过定点 Q（1，1）作直线 l ，使 l 与此双曲线相交于 Q1、Q2 两点，且 Q 是 Q1Q2 的中点，则直线 l： A、 2 1y x= - B、 2 1y x= + C、 2 3y x= - + D、不存在 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上）。 13、若 A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),则△ABC 面积为_________｡ 14、已知圆C 经过点 (0, 6), (1, 5)A B- - ,且圆心在直线l : 1 0x y- + = 上,则圆C 的标准方程为 _______________ . 15、有下列叙述： ①若 ba  ,则 22 bcac  ; ②直线 01  yx 的倾斜角为45°,纵截距为-1; ③直线 111 : bxkyl  与直线 112 : bxkyl  平行的充要条件是 21 kk  且 21 bb  ; ④当 0x 且 1x 时, 2lg 1lg  xx ; ⑤到坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 0 yx ; 其中正确的是_______________ 16、设函数 f(x)＝log a ( x2＋b－x)－1 在 R 上是奇函数，则点(b，a)的轨迹方程为 _______________________ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出必要的文字说明 证明过程或运算步骤）。 17、（12 分）已知圆 C 的方程是 2 2 2 2 1 0x y x y+ - - + = ,求过点 A(2,4)且与圆相切的直线方程。 18、（12 分）已知方程 2 2 2 4 5 0x y mx y m+ - - + = 的曲线是圆 C (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)当 2m = - 时,求圆 C 截直线 :l 2 1 0x y- + = 所得弦长; (III) 若圆 C 与直线 2 1 0x y- + = 相交于 ,M N 两点,且以 MN 为直径的圆过坐标原点 O,求 m 的值｡ 19、（12 分）如图,直三棱柱 1 1 1ABC A B C- 中, AB=1, 1 3AC AA= = ,∠ABC=60°. (Ⅰ)证明: AB ⊥ 1AC ; (Ⅱ)求二面角 A— 1AC —B 的平面角的余弦值｡ 20、（12 分）如图，四棱锥 P ABCD- 中， PA ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是矩形，E 、F 分别是 AB 、 PD C B A C1 B1 A1 的中点．若 3PA AD= = ， 6CD = ． （Ⅰ）求证： //AF 平面 PCE ； （Ⅱ） 求点 F 到平面 PCE 的距离； （Ⅲ）求直线 FC 平面 PCE 所成角的正弦值． 21、（12 分）已知双曲线 C 过点 A（ 15- ，1），且与 2 23 1x y- = 有相同的渐近线。 （Ⅰ）求双曲线 C 的标准方程； （II）过双曲线 C 的一个焦点作倾斜角为 45°的直线 l 与双曲线交于 A、B 两点，求 AB 。 22、（14 分）已知直线 2 2 : 10 0, C 116 9 x yl x y- + = + =椭圆 ： 。 （Ⅰ）若 P 为椭圆 C 上一点，求 P 到直线l 的最短距离； （II）过点 Q（0,4）作一条直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，求 AB 中点的轨迹方程。 雅安中学 2011—2012 学年高二（上）期中试题 www 数 学 参考答案（理） 一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C C B B C B B A A D 二、 填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13、 6 2 14、( ) ( )2 23 2 25x y+ + + = 15、②③ 16、x＝y2（x＞0 且 x≠1） 三、解答题 17、x=2 或 4x-3y+4=0 18、解(1) ( ) ( )2 2 22 5 4x m y m m- + - = - + 2 5 4m m- + >0 1 4m m< >或 (2)设 =-2 C(-2 2) R=3 2m 时，圆心 ， ，半径 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 4 2 1 5 5 d - - += = 圆 C 截 直 线 :l 2 1 0x y- + = 所 得 弦 长 为 2 22 2 18 5 2 13R d- = - = (3) 以 MN 为 直 径 的 圆 过 坐 标 原 点 O, 即 0OM ON× =  设 1 1 2 2( , ), ( , ),M x y N x y 则 1 2 1 2 0x x y y+ = 由 2 2 2 4 5 0 2 1 0 x y mx y m x y ì + - - + =ïí - + =ïî 整 理 得 ( )25 2 4 5 3 0x m x m- + + - = ( ) ( ) 1 2 1 2 2 25 1 5 35 x x m x x m ì + = +ïïíï = -ïî ( )1 2 1 2 1 2 1 25 2 1 0x x y y x x x x+ = + + + = 45 3 ( 2) 1 05m m- + + + = 2 29m = 经 检 验 , 此 时 ( ) ( )22 4 20 5 3 0m mD = + - - > 2 29m\ = 19、解答一(1)证: 三棱柱 1 1 1ABC A B C- 为直三棱柱, ∴AB⊥AA1。 在△ABC 中, 01, 3, 60AB AC ABC= = Ð = ,由正弦定理∠ 030ACB = ∵∠ 090BAC = ∴ＡＢ⊥AC AB⊥ 1 1ACC A平面 ,又 1AC Ì 平面 1 1ACC A ∴AB⊥A1C (2)解如图,作 1AD AC^ 交 1AC 于点 D 点,连结 BD, 由三垂线定理知 1BD AC^ ∴∠ ADB 为二面角 1A AC B- - 的平面角 在 1 1 1 3 3 6 26 AA ACRt AAC AD AC × ×D = = =中， 6 3 15cos 5 Rt BADD Ð = \ Ð AB中,tan ADB= AD ADB= 解答二(1)证三棱柱 1 1 1ABC A B C- 为直三棱柱, 1 1AB AA AC AA\ ^ ^， Rt ABCD , 01, 3, 60AB AC ABC= = Ð = , 由正弦定理 030ACBÐ = 090BAC\ Ð = AB AC^即 如图,建立空间直角坐标系, 则 1(0,0,0), (1,0,0) (0, 3,0), (0,0, 3)A B C A 1 1 1 (1,0,0), (0, 3, 3) 1 0 0 3 0 ( 3) 0 AB AC AB AC AB AC \ = = × = ´ + ´ + ´ - = \ ^      (2) 解,如图可取 (1,0,0)m AB= = 为平面 1AAC 的法向量 设平面 1A BC 的法向量为 ( , , )n l m n= , 则 10, 0, 1 3 0BC n AC n BC× = × = -  又 =（ ， ，） 3 0 3 , 3 3 0 l m l m n m m n ì- + =ï\ \ = =íï - =î 不妨取 1, ( 3,1,1)m n= =则 2 2 2 2 2 2 3 1 1 0 1 0 15cos , 5( 3) 1 1 1 0 0 m nm n m n 状 + �< >= = =× + + × + + 1A AC BD\ - - 15二面角 的余弦值为 5 w.w.w. 20 解：（1） 略 如图建立坐标系 )0,0,2 6(),3,0,0( EP )0,3,6(C 3 3 6(0, , ), ( ,0,0)2 2 2F EP = - , 6( ,3,0)2EC = 3 3( 6, , )2 2CF = - - 得平面 PEC 的法向量 ( 6,1,1)n = - （2）F 到平面 PCE 的距离 d 24 3 8 3 n nCF （3）∵cos＜ ,CF n   ＞= 21 14 CF n CF n × = ×     ∴直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值为 21 14 21、（Ⅰ） 2 2 112 4 x y- = （Ⅱ）（2）不妨设焦点 F（4,0），则直线 l：y=x-4 由 2 2 4 112 4 y x x y ì = -ïïíï - =ïî 消去 y 得： 2 12 30 0x x- + = 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 1 212, 30x x x x+ = × = 2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]AB k x x x x\ = + + - × = 4 3 2 22、（Ⅰ） 设与l 平行的直线 0l ：x-y+m=0 由 2 2 0 116 9 x y m x y ì - + =ïïíï + =ïî 消去 y 得： 2 225 32 16 16 9 0x mx m+ + - ´ = 令其 2 2(32 ) 100(16 16 9) 0m mD = - - ´ = 得：m= 5± ，由图像知当 m=5 时直线 0l 与椭圆 C 的交点到l 的距离最小， 该最小距离为： 5 2 2 。 （Ⅱ）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，AB 中点 M（x，y）， 则 1 2 1 22 , 2x x x y y y+ = + = 1 当 1 2x x= 时，易知 M（0,0） 2 当 1 2x x¹ 时，有 1 2 1 2 AB y yk x x -= - ，而 A、B、P、M 共线， ∴ 1 2 1 2 4 AB PM y y yk kx x x - -= = =- ∵A、B 在椭圆上， ∴ 2 2 1 1 116 9 x y+ = ， 2 2 2 2 116 9 x y+ = 两式相减并整理得： 1 2 1 2 2 2 1 2 9( ) 16( ) 0y yx x y y x x -+ + + =- ∴ 49 16 0yx y x -+ × = 即 2 29 16 64 0x y y+ - = 又 M 点在椭圆 C 内， 故由 2 2 2 2 9 16 64 0 116 9 x y y x y ì + - =ïïíï +