2017年天水市中考数学试卷及答案

2017 年天水市初中毕业与升学学业考试(中考)试卷 数学 A 卷（共 100 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若 x 与 3 互为相反数，则 3x + 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是( ) 3.下列运算正确的是( ) A. 2 2x y xy+ = B. 2 22 2x y xy× = C. 22 2x x x× = D. 4 5 1x x- = - 4.下列说法正确的是( ) A.不可能事件发生的概率为 0 B.随机事件发生的概率为 1 2 C.概率很小的事件不可能发生 D.投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次 5.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000 kg 的煤产生的能量，把 130 000 000 kg 用科学计数法可表示为( ) A. 713 10 kg´ B. 80.13 10 kg´ C. 71.3 10 kg´ D. 81.3 10 kg´ 6.在正方形网格中 ABC△ 的位置如图所示，则 cos B∠ 的值为( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 7.关于 8 的叙述不正确的是( ) A. 8 2 2= B.面积是 8 的正方形的边长是 8 C. 8 是有理数 D.在数轴上可以找到表示 8 的点 8.下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是( ) ①函数 y x= ；②函数 2y x= ；③函数 1y x = A.①② B.②③ C.①③ D.都不是 9.如图所示， AB 是圆 O 的直径，弦 CD AB^ ，垂足为 E ， 30BCD =∠ °， 4 3CD = ，则 S =阴影 ( ) A. 2p B. 8 3 p C. 4 3 p D. 3 8 p 10.如图所示，在等腰 ABC△ 中， 4cmAB AC= = ， 30B =∠ °，点 P 从点 B 出发，以 3cm / s 的速度沿 BC 方 向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以1cm / s 的速度沿 BA AC→ 方向运动到点 C 停止，若 BPQ△ 的 面积为 ( )2cmy ，运动时间为 ( )sx ，则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是( ) 二、填空题（每题 4 分，满分 32 分，将答案填在答题纸上） 11.若代数式 2x x + 有意义，则 x 的取值范围是 ． 12.分解因式： 3x x- = ． 13.定义一种新的运算： 2* x yx y x += ，如： 3 2 1 53*1 3 3 + ´= = ，则( )2*3 *2 = ． 14.如图所示，在矩形 ABCD 中， 65DAC =∠ °，点 E 是CD 上一点， BE 交 AC 于点 F ，将 BCE△ 沿 BE 折 叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 'C 处，则 'AFC =∠ ． 15.观察下列的“蜂窝图” 则第 n 个图案中“ ”的个数是 ．(用含有 n 的代数式表示) 16.如图所示，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离路灯的底部(点 O )20 米的 A 处，则小明的影 子 AM 的长为 米． 17.如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 1BE = ，P 是对角线 AC 上的一动点，连 接 PB 、 PE ，当点 P 在 AC 上运动时， PBE△ 周长的最小值是 . 18.如图是抛物线 ( )2 1 0y ax bx c a= + + ¹ 的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 ( )1,3A ，与 x 轴的一个交点 是 ( )4,0B ，直线 ( )2 0y mx n m= + ¹ 与抛物线交于 A ， B 两点，下列结论： ① 0abc > ；②方程 2 3ax bx c+ + = 有两个相等的实数根；③抛物线与 x 轴的另一个交点是( )1,0- ； ④当1 4x< < 时，有 2 1y y> ；⑤ ( )x ax b a b+ £ + ，其中正确的结论是 .(只填写序号) 三、解答题 （本大题共 3 小题，共 28 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(1)计算： ( )2 04 11 12 sin60 52 p -骣琪- + + - -琪桫 ° . (2)先化简，再求值： 21 2 11 2 2 x x x x 骣 + +琪- ×琪 + +桫 ，其中 3 1x = - . 20.一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60°方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处， 若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离.(结果保留根号) 21.八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了 “小说““戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分 布和扇形统计图： 根据图表提供的信息，解答下列问题： (1) 八年级一班有多少名学生？ (2) 请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比. (3) 在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参 加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率. B 卷（共 50 分） 四、解答题 （本大题共 4 小题，共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 22.如图所示，一次函数 y kx b= + 与反比例函数 my x = 的图象交于 ( )2,4A ， ( )4,B n- 两点. (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点 B 作 BC x^ 轴，垂足为点 C ，连接 AC ，求 ACB△ 的面积. 23.如图所示， ABD△ 是 O⊙ 的内接三角形，E 是弦 BD 的中点，点C 是 O⊙ 外一点且 DBC A=∠ ∠ ，连接 OE 并延长与圆相交于点 F ，与 BC 相交于点C . (1)求证： BC 是 O⊙ 的切线； (2)若 O⊙ 的半径为 6， 8BC = ，求弦 BD 的长. 24.天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买 A 型和 B 型两种环保节能公 交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆， B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A 型公交车 2 辆， B 型公 交车 1 辆，共需 350 万元. (1)求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在该线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次.若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1220 万元，且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 650 万人次， 则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 25. ABC△ 和 DEF△ 是两个全等的等腰直角三角形， 90BAC EDF= =∠ ∠ °， DEF△ 的顶点 E 与 ABC△ 的 斜边 BC 的中点重合，将 DEF△ 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P ，线段 EF 与射 线CA 相交于点 Q . (1)如图(1)，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP AQ= 时，求证： BPE CQE△ ≌△ . (2)如图(2)，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证： BPE CEQ△ ∽△ ；并求当 2BP = ， 9CQ = 时 BC 的 长. 26.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ( )2 2 3 0y ax ax a a= - + < 与 x 轴交于 ,A B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，经过点 A 的直线 :l y kx b= + 与 y 轴负半轴交于点 C ，与抛物线的另一个交点为 D ，且 4CD AC= . (1)求 ,A B 两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线 l 的函数表达式(其中 k 、 b 用含 a 的式子表示)； (3)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若 ACE△ 的面积的最大值为 5 4 ，求 a 的值； (4)设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线，以点 , , ,A D P Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能， 求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由.