北京平谷区初三一模数学试卷及答案

北京市平谷区 2018 年中考统一练习（一） 数学试卷 2018.4 考 生 须 知 1．试卷分为试题和答题卡两部分，所有试题均在答题卡上．．．．．．作答． 2．答题前，在答题卡上考生务必将学校、班级、准考证号、姓名填写清楚． 3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用 2B 铅笔． 4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面清洁，不要折叠． 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．风和日丽春光好，又是一年舞筝时。放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下 列风筝剪纸作品中，不是．．轴对称图形的是 A． B． C． D． 2．下面四幅图中，用量角器测得∠AOB 度数是 40°的图是 A． B． C． D． 3．如图，数轴上每相邻两点距离表示 1 个单位，点 A，B 互为相反数，则点 C 表示的数可能是 A．0 B．1 C．3 D．5 4．下图可以折叠成的几何体是 A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之 外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记 载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具， 它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算 筹的摆放形式有纵横两种形式（如右图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把 各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用 纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如 3306 用算筹表示就是 ，则 2022 用算筹可表示为 A． B. C. D. 6．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是 A．3 B．4 C．6 D．12 7．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程 S 和时间 t 的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是 A．赛跑中，兔子共休息了 50 分钟 B．乌龟在这次比赛中的平均速度是 0.1 米/分钟 C．兔子比乌龟早到达终点 10 分钟 D．乌龟追上兔子用了 20 分钟 8．中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个 时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7~15 岁期间 生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小 明通过上网查阅《2016 年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生 7~15 岁身高平均 值记录情况，并绘制了如下统计图， 并得出以下结论： ①10 岁之前，同龄的女生的平均身 高一般会略高于男生的平均身高； ②10~12 岁之间，女生达到生长速 度峰值段，身高可能超过同龄男生； ③7~15 岁期间，男生的平均身高始 终高于女生的平均身高； ④13~15 岁男生身高出现生长速度 峰值段，男女生身高差距可能逐渐 加大． 以上结论正确的是 A． ①③ B． ②③ C． ②④ D． ③④ 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．二次根式 2x  有意义，则 x 的取值范围是 ． 10．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中 幼树成活率的统计图： 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 （结果精确到 0.01）． 11．计算： 2 3 2 2 2 3 3 3 m n            个 个 = ． 12．如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC 上，AB 的长为 10 毫米，AC 被分为 60 等份，如果小管口 中 DE 正好对着量具上 20 份处（DE∥AB），那么 小管口径 DE 的长是_________毫米． 13．已知： 2 4a a  ，则代数式     2 1 2 2a a a a    的值是 ． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，AB⊥弦 CD 于点 E，若 AB=10，CD=8，则 BE= ． 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△OCD 可以看作是△ABO 经过若干次图形的变化 （平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO 得到△OCD 的过程： ． 16．下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图 1，∠MON． 图 1 求作：射线 OP，使它平分∠MON． 作法：如图 2， （1）以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OM 于点 A，交 ON 于点 B； （2）连结 AB； （3）分别以点 A，B 为圆心，大于 1 2AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 P； （4）作射线 OP． 所以，射线 OP 即为所求作的射线． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分，第 23 题 7 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：  1 01 3 1 3 2sin603            . 18．解不等式组 3( 1) 4 5, 51 3 x x xx       ，并写出它的所有整数解．．．． 19．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上一点，EF 垂直平分 CD，交 AC 于点 E， 交 BC 于点 F，连结 DE，求证：DE∥AB． 20．关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0x x k    有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 为正整数时，求此时方程的根． 21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数  0ky kx   的 图象与直线 y=x+1 交于点 A（1，a）． （1）求 a，k 的值； （2）连结 OA，点 P 是函数  0ky kx   上一点，且满 足 OP=OA，直接写出点 P 的坐标（点 A 除外）． 22．如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC 交 AD 于点 F，AE⊥BF 于点 O，交 BC 于点 E， 连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）连接 CF，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF， 求 CF 的长． 23．为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将 有关问题补充完整. 收集数据 随机抽取甲乙两所学校的 20 名学生的数学成绩进行分析： 甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91 乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88 整理、描述数据 按如下数据段整理、描述这两组数据 分段 学校 30≤x≤39 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 甲 1 1 0 0 3 7 8 乙 分析数据 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 统计量 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲 81.85 88 91 268.43 乙 81.95 86 m 115.25 经统计，表格中 m 的值是 ． 得出结论 a 若甲学校有 400 名初二学生，估计这次考试成绩 80 分以上人数为 . b 可 以 推 断 出 学 校 学 生 的 数 学 水 平 较 高 ， 理 由 为 . （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 24．如图，以 AB 为直径作⊙O，过点 A 作⊙O 的切线 AC，连结 BC，交⊙O 于点 D，点 E 是 BC 边的中点，连结 AE． （1）求证：∠AEB=2∠C； （2）若 AB=6， 3cos 5B  ，求 DE 的长． 25．如图，在△ABC 中，∠C=60°，BC=3 厘米，AC=4 厘米，点 P 从点 B 出发，沿 B→C→A 以每秒 1 厘米的速度匀速运动到点 A．设点 P 的运动时间为 x 秒，B、P 两点间的距离为 y 厘米． 小新根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小新的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： x（s） 0 1 2 3 4 5 6 7 y（cm） 0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7 m 3.6 经测量 m 的值是 （保留一位小数）． （2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC 中画出点 P 所 在的位置． 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2 3y x bx    的对称轴为直线 x =2． （1）求 b 的值； （2）在 y 轴上有一动点 P（0，m），过点 P 作垂直 y 轴的直线交抛物线于点 A（x1，y1）， B（x2 ，y2），其中 1 2x x ． ①当 2 1 3x x  时，结合函数图象，求出 m 的值； ②把直线 PB 下方的函数图象，沿直线 PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到 一个新的图象 W，新图象 W 在 0≤x≤5 时， 4 4y   ，求 m 的取值范围． 27．在△ABC 中，AB=AC，CD⊥BC 于点 C，交∠ABC 的平分线于点 D，AE 平分∠BAC 交 BD 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F，连接 DF． （1）补全图 1； （2）如图 1，当∠BAC=90°时， ①求证：BE=DE； ②写出判断 DF 与 AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图 2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE 的关系． 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为  1 1,x y ，点 N 的坐标为 2 2,x y ，且 1 2x x ， 1 2y y ，以 MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于 x 轴，y 轴，则称该菱 形为边的“坐标菱形”. （1）已知点 A（2,0），B（0,2 3 ），则以 AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点 C（1,2），点 D 在直线 y=5 上，以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式； （3）⊙O 的半径为 2 ，点 P 的坐标为(3,m) .若在⊙O 上存在一点 Q ，使得以 QP 为边 的“坐标菱形”为正方形，求 m 的取值范围． 图 1 图 2 北京市平谷区 2018 年中考统一练习（一） 数学试卷参考答案及评分标准 2018.04 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C A C B D C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．x≥2；10．0.88； 11． 2 3nm  ；12．10 3 ；13．8；14．2； 15．答案不唯一，如：将△ABO 沿 x 轴向下翻折，在沿 x 轴向左平移 2 个单位长度得到 △OCD. 16．答案不唯一：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；等腰三角形三线合 一． 三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23 题 7 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解：  1 01 3 1 3 2sin603            = 33 1 3 1 2 2      ··········································································· 4 =1····································································································· 5 18．解： 3( 1) 4 5 5   3    1 x x xx      ① ② 解不等式①，得 x≤2．·········································································· 1 解不等式②，得 x＞-1．········································································3 ∴原不等式组的解集为 1 2x   ．························································ 4 ∴适合原不等式组的整数解为 0,1,2．······················································· 5 19．证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．·················································································· 1 ∵EF 垂直平分 CD， ∴ED=EC．····················································································2 ∴∠EDC=∠C．··············································································3 ∴∠EDC=∠B．·············································································· 4 ∴DF∥AB．··················································································· 5 20．解：（1）∵关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴  2Δ 2 4 1 0k    ·································································1 =8－4k >0. ∴ 2k  ···················································································· 2 （2）∵k 为正整数， ∴k=1． ·····················································································3 解方程 2 2 0x x  ，得 1 20, 2x x   ．·········································· 5 21．解：（1）∵直线 y=x+1 经过点 A（1，a）， ∴a=2．······················································································ 1 ∴A（1,2）． ∵函数  0ky kx   的图象经过点 A（1，2）， ∴k=2．······················································································ 2 （2）点 P 的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）．··········································5 22．（1）证明：∵BF 平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF．·····································································1 ∵□ABCD， ∴AD∥BC． ∴∠AFB=∠CBF． ∴∠ABF=∠AFB． ∴AB=AF． ∵AE⊥BF， ∴ ∠ ABF+ ∠ BAO= ∠ CBF+ ∠ BEO=90°． ∴∠BAO=∠BEO． ∴AB=BE． ∴AF=BE． ∴四边形 ABEF 是平行四边形． ∴□ABEF 是菱形．··································································· 2 （2）解：∵AD=BC，AF=BE， ∴DF=CE． ∴BE=2CE． ∵AB=4， ∴BE=4． ∴CE=2． 过点 A 作 AG⊥BC 于点 G．·························································3 ∵∠ABC=60°，AB=BE， ∴△ABE 是等边三角形． ∴BG=GE=2． ∴AF=CG=4．···········································································4 ∴四边形 AGCF 是平行四边形． ∴□AGCF 是矩形． ∴AG=CF． 在△ABG 中，∠ABC=60°，AB=4， ∴AG= 2 3 ． ∴CF= 2 3 ．··········································································· 5 23．整理、描述数据 分段 学校 30≤x≤39 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 甲 1 1 0 0 3 7 8 乙 0 0 1 4 2 8 5 ··················································································································· 2 分析数据 经统计，表格中 m 的值是 88 ．························································ 3 得出结论 a 若甲学校有 400 名初二学生，估计这次考试成绩 80 分以上人数为 300 .············· 4 b 答案不唯一，理由须支撑推断结论.··································································7 24．（1）证明：∵AC 是⊙O 的切线， ∴∠BAC=90°．······································································1 ∵点 E 是 BC 边的中点， ∴AE=EC． ∴∠C=∠EAC，·······································································2 ∵∠AEB=∠C+∠EAC， ∴∠AEB=2∠C．····································································· 3 （2）解：连结 AD． ∵AB 为直径作⊙O， ∴∠ABD=90°． ∵AB= 6， 3cos 5B  ， ∴BD= 18 5 ．························· 4 在 Rt△ABC 中，AB=6， 3cos 5B  ， ∴BC=10． ∵点 E 是 BC 边的中点， ∴BE=5．····························· 5 ∴ 7 5DE  ．························ 6 25．解：（1）3.0；·························································································· 1 （2）如图所示；··················································································4 （3）如图··························································································· 26．解：（1）∵抛物线 2 2 3y x bx    的对称轴为直线 x =2， ∴b=2．··················································1 （2）①∴抛物线的表达式为 2 4 3y x x    ． ∵A（x1，y ），B（x2 ，y）， ∴直线 AB 平行 x 轴． ∵ 2 1 3x x  ， ∴AB=3． ∵对称轴为 x =2， ∴AC= 1 2 ．············································· 2 ∴当 1 2x  时， 5 4y m   ．··················· 3 ②当 y=m=-4 时，0≤x≤5 时， 4 1y   ；······ 4 当 y=m=-2 时，0≤x≤5 时， 2 4y   ；·····5 ∴m 的取值范围为 4 2m    ．··············· 6 27．解：（1）补全图 1；········································1 （2）①延长 AE，交 BC 于点 H．················· 2 ∵AB=AC， AE 平分∠BAC， ∴AH⊥BC 于 H，BH=HC． ∵CD⊥BC 于点 C， ∴EH∥CD． ∴BE=DE．······································ 3 ②延长 FE，交 AB 于点 G． 由 AB=AC，得∠ABC=∠ACB． 由 EF∥BC，得∠AGF=∠AFG． 得 AG=AF． 由等腰三角形三线合一得 GE=EF．······· 4 由∠GEB=∠FED，可证△BEG≌△DEF． 可得∠ABE=∠FDE．··························5 从而可证得 DF∥AB．························ 6 （3） tan 2 DF α AE  ．································ 7 28．解：（1）60；···························································································1 （2）∵以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线 CD 与直线 y=5 的夹角是 45°． 过点 C 作 CE⊥DE 于 E． ∴D（4,5）或  2,5 ．········································· 3 ∴直线 CD 的表达式为 1y x  或 3y x   ．········· 5 （3）1 5m  或 5 1m    ．···························································· 7