2021年中考数学压轴题训练--圆中证明及计算问题(附解析)
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2021年中考数学压轴题训练--圆中证明及计算问题(附解析)

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资料简介
圆中证明及计算问题 【例 1】如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,点 O 在 BC 边上,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D,连接 BD、CD, 过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P. (1)求证:PD 是⊙O 的切线; (2)求证:AB•CP=BD•CD; (3)当 AB=5 cm,AC=12 cm 时,求线段 PC 的长. 【答案】见解析. 【解析】(1)证明:连接 OD. ∵∠BAD=∠CAD, ∴弧 BD=弧 CD, ∴∠BOD=∠COD=90°, ∵BC∥PA, ∴∠ODP=∠BOD=90°, 即 OD⊥PA, ∴PD 是⊙O 的切线. (2)证明:∵BC∥PD, ∴∠PDC=∠BCD. ∵∠BCD=∠BAD, ∴∠BAD=∠PDC, ∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠PCD=180°, ∴∠ABD=∠PCD, ∴△BAD∽△CDP, ∴ AB BD CD CP  , ∴AB•CP=BD•CD. (3)∵BC 是直径, ∴∠BAC=∠BDC=90°, ∵AB=5,AC=12, 由勾股定理得:BC=13, 由(1)知,△BCD 是等腰直角三角形, ∴BD=CD= 13 2 2 , ∵AB•CP=BD•CD. ∴PC= 169 10 . 【变式 1-1】如图,△ABC 内接于⊙O,且 AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=CA,连接 AD 交⊙O 于点 E. (1)求证:△ABE≌△CDE; (2)填空: ①当∠ABC 的度数为 时,四边形 AOCE 是菱形; ②若 AE=6,BE=8,则 EF 的长为 . 【答案】(1)见解析;(2)60; 9 2 . 【解析】(1)证明:连接 CE, ∵AB=AC,CD=CA, ∴∠ABC=∠ACB,AB=CD, ∵四边形 ABCE 是圆内接四边形, ∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°, ∴∠ECD=∠BAE, 同理,∠CED=∠ABC, ∵∠ABC=∠ACB=∠AEB, ∴∠CED=∠AEB, ∴△ABE≌△CDE; (2)①60; 连接 AO、OC, ∵四边形 ABCE 是圆内接四边形, ∴∠ABC+∠AEC=180°, ∵∠ABC=60, ∴∠AEC=∠AOC=120°, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=30°, ∵AB=AC, ∴△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵∠ACB=∠CAD+∠D,AC=CD, ∴∠CAD=∠D=30°, ∴∠ACE=30°, ∴∠OAE=∠OCE=60°, 即四边形 AOCE 是平行四边形, ∵OA=OC, ∴四边形 AOCE 是菱形; ②由(1)得:△ABE≌△CDE, ∴BE=DE=8,AE=CE=6,∠D=∠EBC, 由∠CED=∠ABC=∠ACB, 得△ECD∽△CFB, ∴ CE CF DE BC  = 6 8 , ∵∠AFE=∠BFC,∠AEB=∠FCB, ∴△AEF∽△BCF, ∴ EF CF AE BC  , 即 6 6 8 EF  , ∴EF= 9 2 . 【例 2】如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 为 AB 上方的圆上一动点,过点 C 作⊙O 的切线 l,过点 A 作直线 l 的垂线 AD,交⊙O 于点 D,连接 OC,CD,BC,BD,且 BD 与 OC 交于点 E. (1)求证:△CDE≌△CBE; (2)若 AB=4,填空: ①当弧 CD 的长度是 时,△OBE 是等腰三角形; ②当 BC= 时,四边形 OADC 为菱形. 【答案】(1)见解析;(2) 2  ;2. 【解析】(1)证明:延长 AD 交直线 l 于点 F, ∵AD 垂直于直线 l, ∴∠AFC=90°, ∵直线 l 为⊙O 切线, ∴∠OCF=90°, ∴∠AFC=∠OCF=90°, ∴AD∥OC, ∵AB 为⊙O 直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠OEB=90°, ∴OC⊥DB, ∴DE=BE,∠DEC=∠BEC=90°, ∵CE=CE, ∴△CDE≌△CBE; (2)①如图 2,连接 OD, 由(1)知∠OEB=90°, 当△OBE 是等腰三角形时, 则△OEB 为等腰直角三角形, ∴∠BOE=∠OBE=45°, ∵OD=OB,OE⊥BD, ∴∠DOC=∠BOE=45°, ∵AB=4, ∴OD=2, ∴弧 CD 的长= 45 2 180   = 2  ; ②当四边形 OADC 为菱形时, 则 AD=DC=OC=AO=2, 由(1)知,BC=DC, ∴BC=2. 【变式 2-1】(2019·河南南阳一模)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为 2,∠B=135°, 则弧 AC 的长为( ) A. 2π B. π C. 2  D. 3  【分析】根据弧长公式 180 n rl  ,需先确定弧 AC 所对的圆心角∠AOC 的度数,再根据同弧所对的圆心角 是圆周角的 2 倍得到∠AOC=2∠D,根据圆内接四边形对角互补,求出∠D=180°-∠B=45°,再代入弧长公 式求解即可. 【解析】解:∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=180°-∠B=45°, ∴弧 AC 所对圆心角的度数为:2×45°=90°, ∵⊙O 的半径为 2, ∴弧 AC 的长为: 90 2 180 180 n rl    =π, 故选 B. 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O,与斜边 AB 交于点 D,E 为 BC 边的中点,连 接 DE. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)填空:①若∠B=30°,AC= 2 3 ,则 BD= ②当∠B= 时,以 O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)连接 OD, ∵AC 为直径, ∴∠ADC=90°,∠CDB=90°, ∵E 是 BC 的中点, ∴DE=CE=BE, ∴∠DCE=∠EDC, ∵OD=OC, ∴∠OCD=∠ODC, ∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°, 即∠ODE=90°, ∴DE 是⊙O 的切线; (2)3;45°,理由如下: ①∵∠B=30°,AC= 2 3 ,∠BCA=90°, ∴BC= AC÷tan30°=6, ∴DE=3, ②由∠B=∠A=45°, OA=OD,得∠ADO=∠AOD=45°, ∴∠AOD=90°,∴∠DOC=90°, 又∠ODE=90°,∴四边形 ODEC 是矩形, ∵OD=OC, ∴四边形 ODEC 是正方形. 2.已知△ABC 内接于以 AB 为直径的⊙O,过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 D,且 DA∶AB=1∶2. (1)求∠CDB 的度数; (2)在切线 DC 上截取 CE=CD,连接 EB,判断直线 EB 与⊙O 的位置关系,并证明. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)如图,连接 OC, ∵CD 是⊙O 的切线, ∴∠OCD=90°. ∵DA:AB=1:2, ∴DA=OC,DO=2OC. 在 Rt△DOC 中,sin∠CDO= 1 2 , ∴∠CDO=30°, 即∠CDB=30°. (2)直线 EB 与⊙O 相切. 证明:连接 OC, 由(1)可知∠CDO=30°, ∴∠COD=60°, ∵OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB=30°, ∴∠CBD=∠CDB, ∴CD=CB, ∵CD 是⊙O 的切线, ∴∠OCE=90°, ∴∠ECB=60°, 又∵CD=CE, ∴CB=CE, ∴△CBE 为等边三角形, ∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°, ∴EB 是⊙O 的切线. 3.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O 与斜边 AB 交于点 D,E 为 BC 边上一点,且 DE 是⊙O 的切线. (1)求证:BE=EC; (2)填空:①若∠B=30°,AC=2 3 则 DE= ; ②当∠B= °时,以 O,D,E,C 为顶点的四边形是正方形. 【答案】(1)见解析;(2)①3;②45. 【解析】解: (1)证明:如图,连接 OD, ∵∠ACB=90°,AC 为⊙O 的直径, ∴EC 为⊙O 的切线, ∵DE 为⊙O 的切线, ∴EC=ED, ∵∠EDO=90°, ∴∠BDE+∠ADO=90°, ∵OD=OA, ∴∠ADO=∠A, ∴∠BDE+∠A=90°, ∵∠A+∠B=90°, ∴∠BDE=∠B, ∴BE=EC; (2)①3;②45,理由如下: ①在 Rt△ABC 中,∠B=30°,AC=2 3 , ∴BC=6, 由(1)知,E 是 BC 中点, ∴DE= 1 2 BC=3; ②∵ODEC 为正方形, ∴∠DEC=90°, DE=CE=BE, ∴∠B=45°, 故答案为:3;45. 4.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为半圆上一动点,过点 C 作⊙O 的切线 l 的垂线 BD,垂足为 D,BD 与⊙O 交于点 E,连接 OC,CE,AE,AE 交 OC 于点 F. (1)求证:△CDE≌△EFC; (2)若 AB=4,连接 AC. ①当 AC= 时,四边形 OBEC 为菱形; ②当 AC= 时,四边形 EDCF 为正方形. 【答案】见解析. 【解析】(1)证明:如图, ∵BD⊥CD, ∴∠CDE=90°, ∵AB 是直径, ∴∠AEB=90°, ∵CD 是切线, ∴∠FCD=90°, ∴四边形 CFED 矩形, ∴CF=DE,EF=CD, ∵CE=CE, ∴△CDE≌△EFC. (2)解:①当 AC=2 时,四边形 OCEB 是菱形. 理由:连接 OE. ∵AC=OA=OC=2, ∴△ACO 是等边三角形, ∴∠CAO=∠AOC=60°, ∵∠AFO=90°, ∴∠EAB=30°, ∵∠AEB=90°, ∴∠B=60°, ∵OE=OB, ∴△OEB 是等边三角形, ∴∠EOB=60°, ∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°, ∵CO=OE, ∴△COE 是等边三角形, ∴CE=CO=OB=EB, ∴四边形 OCEB 是菱形. 故答案为 2. ②当四边形 DEFC 是正方形时, ∵CF=FE,∴∠CEF=∠FCE=45°, ∵OC⊥AE,∴弧 AC=弧 CE, ∴∠CAE=∠CEA=45°, ∴∠ACE=90°, ∴AE 是⊙O 的直径, ∴△AOC 是等腰直角三角形, ∴AC=2 2 . ∴AC=2 2 时,四边形 DEFC 是正方形. 故答案为 2 2 . 5.如图,AB 是半圆 O 的直径,D 为半圆上的一个动点(不与点 A,B 重合),连接 AD,过点 O 作 AD 的垂 线,交半圆 O 的切线 AC 于点 C,交半圆 O 于点 E.连接 BE,DE. (1)求证:∠BED=∠C. (2)连接 BD,OD,CD. 填空: ①当∠ACO 的度数为 时,四边形 OBDE 为菱形; ②当∠ACO 的度数为 时,四边形 AODC 为正方形. 【答案】(1)见解析;(2)30;45. 【解析】解: (1)证明:设 AD,OC 交于点 P, ∵OC⊥AD, ∴∠APC=90°. ∴∠C+∠CAP=90° ∵AC 是半圆 O 的切线, ∴∠CAO=∠CAP+∠BAD=90°, ∴∠BAD=∠C, ∵∠BED=∠BAD, ∴∠BED=∠C; (2)①30,理由如下: 连接 BD,如图: ∵AB 是半圆 O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∵∠DAB=∠ACO=30°, ∴∠DBA=60°, ∵OE⊥AD, ∴弧 AE=弧 AD, ∴∠DBE=∠ABE=30° ∵∠DEB=∠DAB=30°, ∴∠DEB=∠ABE,DE∥AB ∵∠ADB=90°,即 BD⊥AD,OE⊥AD, ∴OE∥BD, ∴四边形 OBDE 是平行四边形 ∵OB=OE ∴四边形 OBDE 是菱形; 故答案为 30°; ②45,理由如下: 连接 CD、OD, ∵∠BED=∠ACO=45°, ∴∠BOD=2∠BED=90°, ∴∠AOD=90°, ∵OC⊥AD, ∴OC 垂直平分 AD, ∴∠OCD=∠OCA=45°, ∴∠ACD=90°, ∵∠ACO=90°, ∴四边形 AODC 是矩形, ∵OA=OD, ∴四边形 AODC 是正方形, 故答案为 45°. 6.如图,CD 是⊙O 的直径,且 CD=2cm,点 P 为 CD 的延长线上一点,过点 P 作⊙O 的切线 PA、PB,切 点分别为 A、B. (1)连接 AC,若∠APO=30°,试证明△ACP 是等腰三角形; (2)填空: ①当弧 AB 的长为 cm 时,四边形 AOBD 是菱形; ②当 DP= cm 时,四边形 AOBP 是正方形. 【答案】(1)见解析;(2) 2 3  ; 2 1 . 【解析】解:(1)连接 AO, ∵PA 是⊙O 的切线, ∴∠PAO=90°, ∵∠APO=30°, ∴∠AOP=60°, ∵OA=OC, ∴∠C=∠CAO=30°, ∴∠C=∠APO=30°, ∴△ACP 是等腰三角形; (2)①若四边形 AOBD 是菱形,则 AO=AD, ∵AO=OD, ∴△AOD 是等边三角形,∠AOD=60°, ∴∠AOB=120°, ∵CD=2, ∴圆 O 的半径为 1, ∴弧 AB 的长为: 2120 1 180   = 2 3  . ②若四边形 AOBP 为正方形时,则 PA=AO=1, 则 OP= 2 , ∵OD=1, ∴PD= 2 -1, 所以答案为: 2 -1. 7.如图,AB 为⊙O 的直径,F 为弦 AC 的中点,连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D,过点 D 作⊙O 的切线,交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:AC∥DE; (2)连接 CD,若 OA=AE=2 时,求出四边形 ACDE 的面积. 【答案】见解析. 【解析】证明:(1)∵F 为弦 AC(不是直径)的中点, ∴AF=CF,OD⊥AC, ∵DE 是⊙O 的切线, ∴OD⊥DE, ∴AC∥DE. (2)连接 CD, ∵AC∥DE, OA=AE=2, ∴OF=FD, ∵AF=CF,∠AFO=∠CFD, ∴△AFO≌△CFD, ∴S△AFO=S△CFD, ∴S 四边形 ACDE=S△ODE ∵OD=OA=AE=2, ∴OE=4, 由勾股定理得:DE=2 3 , ∴S 四边形 ACDE=S△ODE = 1 2 ×OD×OE = 1 2 ×2×2 3 =2 3 . 8.已知:如图,△ABC 内接于⊙O,AB 为直径,∠CBA 的平分线交 AC 于点 F,交⊙O 于点 D,DE⊥AB 于 点 E,且交 AC 于点 P,连结 AD. (1)求证:∠DAC=∠DBA; (2)求证:P 是线段 AF 的中点; (3)连接 CD,若 CD=3,BD=4,求⊙O 的半径和 DE 的长. 【答案】见解析. 【解析】(1)证明:∵BD 平分∠CBA, ∴∠CBD=∠DBA, ∵∠DAC 与∠CBD 是弧 CD 所对的圆周角, ∴∠DAC=∠CBD, ∴∠DAC=∠DBA; (2)证明:∵AB 为直径, ∴∠ADB=90°, ∵DE⊥AB 于 E, ∴∠DEB=90°, ∴∠ADE+∠BDE=∠DBE+∠BDE=90°, ∴∠ADE=∠DBE=∠DAC, ∴PD=PA, ∵∠DFA+∠DAF=∠ADE+∠BDE=90°, ∴∠PDF=∠PFD, ∴PD=PF, ∴PA=PF,即 P 是线段 AF 的中点; (3)解:∵∠CBD=∠DBA,CD=3, ∴CD=AD=3, 由勾股定理得:AB=5, 即⊙O 的半径为 2.5, 由 DE×AB=AD×BD, 即:5DE=3×4, ∴DE=2.4. 即 DE 的长为 2.4. 9.如图,在矩形 ABCD 中,点 O 在对角线 AC 上,以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD,AC 分别交于点 E,F, 且∠ACB=∠DCE. (1)判断直线 CE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 tan∠ACB= 1 2 ,BC=4,求⊙O 的半径. 【答案】见解析. 【解析】(1)直线 CE 与⊙O 相切, 证明:连接 OE, ∵OA=OE, ∴∠EAO=∠AEO, ∵∠ACB=∠DCE, ∴∠AEO=∠ACB=∠DCE, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴BC∥AD, ∴∠ACB=∠DAC, ∵∠ACB=∠DCE, ∴∠DAC=∠DCE, 由∠D=90°,得:∠DCE+∠DEC=90°, ∴∠AEO+∠DEC=90°, ∴∠OEC=90°,即 OE⊥EC, ∵OE 为半径, ∴直线 CE 与⊙O 相切; (2)解:在 Rt△ACB 中,AB=tan∠ACB×BC= 1 2 ×4=2, 由勾股定理得:AC=2 5 , ∵∠ACB=∠DCE, ∴tan∠DCE=tan∠ACB= 1 2 , 在 Rt△DCE 中,CD=AB=2,DE=DC×tan∠DCE=2× 1 2 =1, 由勾股定理得:CE= 5 , 在 Rt△COE 中,CO2=CE2+OE2,OE=OA, (2 5 ﹣OA)2=OA2+( 5 )2, 解得:OA= 3 5 4 , 即⊙O 的半径是 3 5 4 . 10.如图,在△ABC 中,AC=BC,AB 是⊙C 的切线,切点为点 D,直线 AC 交⊙C 于点 E、F,且 CF= 1 2 AC, (1)求证:△ABF 是直角三角形; (2)若 AC=6,则直接回答 BF 的长是多少. 【答案】见解析. 【解析】(1)证明:连接 CD,则 CF=CD, ∵AB 是⊙C 的切线. ∴CD⊥AB,∠ADC=∠BDC=90°, 在 Rt△ACD 中,CF= 1 2 AC, ∴CD=CF= 1 2 AC,∴∠A=30° ∵AC=BC, ∴∠ABC=∠A=30°, ∴∠ACB=120°,∠BCD=∠BCF=60°, ∵BC=BC, ∴△BCD≌△BCF, ∴∠BFC=∠BDC=90°, ∴△ABF 是直角三角形. (2)解:由(1)知:AC=BC,CD⊥AB, ∴AD=BD=BF, 在 Rt△ACD 中,∠A=30°,AC=6, ∴CD=3,∴AD= 3 CD=3 3 .∴BF=3 3 .

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