2021年中考数学压轴题训练--圆中证明及存在性问题(附解析)
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2021年中考数学压轴题训练--圆中证明及存在性问题(附解析)

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资料简介
圆中证明及存在性问题 【例 1】.如图,已知⊙A 的半径为 4,EC 是圆的直径,点 B 是⊙A 的切线 CB 上一个动点,连接 AB 交⊙ A 于点 D,弦 EF∥AB,连接 DF,AF. (1)求证:△ABC≌△ABF; (2)当∠CAB= 时,四边形 ADFE 为菱形; (3)当 AB= 时,四边形 ACBF 为正方形. A C B D F E 【分析】(1)由 EF∥AB,得∠EFA=∠FAB,∠CAB=∠AEF,又∠AEF=∠AFE,得:∠BAC=∠BAF,又 AB=AB, AC=AF,证得△ABC≌△ABF;(2)连接 FC,根据 ADFE 为菱形,确定出∠CAB 的度数;(3)由四边形 ACBF 是 正方形,得 AB= 2 AC=4 2 . 【解析】解:(1)∵EF∥AB, ∴∠EFA=∠FAB,∠CAB=∠AEF, ∵AE=AF, ∴∠AEF=∠AFE,∴∠BAC=∠BAF, 又 AB=AB,AC=AF,∴△ABC≌△ABF(SAS); (2)如图,连接 FC, A C B D F E ∵四边形 ADFE 是菱形, ∴AE=EF=FD=AD, ∵CE=2AE,∠CFE=90°, ∴∠ECF=30°,∠CEF=60°, ∵EF∥AB, ∴∠AEF=∠CAB=60°, 故答案为:60°; (3)由四边形 ACBF 是正方形,得 AB= 2 AC=4 2 . 【变式 1-1】.如图,在△ABD 中,AB=AD,AB 是⊙O 的直径,DA、DB 分别交⊙O 于点 E、C,连接 EC, OE,OC. (1)当∠BAD 是锐角时,求证:△OBC≌△OEC; (2)填空: ①若 AB=2,则△AOE 的最大面积为 ; ②当 DA 与⊙O 相切时,若 AB= 2 ,则 AC 的长为 . 【答案】(1)见解析;(2) 1 2 ;1. 【解析】解:(1)连接 AC, ∵AB 是⊙O 的直径,∴AC⊥BD, ∵AD=AB,∴∠BAC=∠DAC,∴BC=EC, 又∵OB=OE,OC=OC, ∴△OBC≌△OEC(SSS), (2)①∵AB=2, ∴OA=1, 设△AOE 的边 OA 上的高为 x, ∴S△AOE= 1 2 OA×h = 1 2 h, 要使 S△AOE 最大,需 h 最大, 点 E 在⊙O 上,h 最大是半径, 即:h 最大=1 ∴S△AOE 最大为: 1 2 ; ②如图所示, 当 DA 与⊙O 相切时,则∠DAB=90°, ∵AD=AB= 2 , ∴∠ABD=45°, ∵AB 是直径, ∴∠ADB=90°, ∴AC=BC= 2 2 AB=1. 【例 2】.如图,△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D, 与 CA 的延长线相交于 点 E,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. (1)试说明 DF 是⊙O 的切线; (2)①当∠C= °时,四边形 AODF 为矩形; ②当 tanC= 时,AC=3AE. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)证明:连接 OD, ∵OB=OD, ∴∠B=∠ODB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠ODB=∠C, ∴OD∥AC, ∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF,点 D 在⊙O 上, ∴DF 是⊙O 的切线; (2)45°,理由如下: 由四边形 AODF 为矩形,得∠BOD=90°, ∴∠B=45°, ∴∠C=∠B=45°, 故答案为:45°; (3) 2 2 ,理由如下, 连接 BE,∵AB 是直径,∴∠AEB=90°, ∵AB=AC,AC=3AE,∴AB=3AE,CE=4AE, ∴BE2=AB2-AE2 =8AE2, 即 BE= 2 2 AE, 在 Rt△BEC 中,tanC= 2 2 2 4 2 BE CE CE CE   . 故答案为: 2 2 . 【变式 2-1】.如图,在△ABC 中,AB=AC=4,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,点 P 是 AB 的延长线上一点,且∠PDB= 1 2 ∠A,连接 DE,OE. (1)求证:PD 是⊙O 的切线. (2)填空:①当∠P 的度数为______时,四边形 OBDE 是菱形; ②当∠BAC=45°时,△CDE 的面积为_________. 【答案】(1)见解析;(2)30; 2 2 2 . 【解析】解:(1)连接 OD, ∵OB=OD, ∠PDB= 1 2 ∠A, ∴∠ODB=∠ABD=90°- 1 2 ∠A=90°-∠PDB, ∴∠ODB+∠PDB=90°, ∴∠ODP=90°, ∵OD 是⊙O 的半径, ∴PD 是⊙O 的切线. (2)①30°,理由如下: ∠P=30°,则∠BOD=60°, ∴△BOD 是等边三角形, ∴∠ADP=30°,∠A=60°, ∴△AOE 是等边三角形,即∠AOE=60°, ∴∠EOD=60°, ∴△ODE 是等边三角形, ∴OB=BD=DE=OE, 即四边形 OBDE 是菱形; ②连接 BE,AD,如上图, ∵AB 为直径, ∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC,∠AEB=90°, ∵AB=AC,∴D 为 BC 中点, ∴S△DCE= 1 2 S△BCE, ∵∠BAC=45°,∴AE=BE,△ABE 是等腰直角三角形, ∵AB=AC=4,∴AE=BE= 2 2 ,CE=4- 2 2 , ∴S△DCE= 1 2 S△BCE, = 1 2 × 1 2 BE·CE = 1 2 × 1 2 × 2 2 ×(4- 2 2 ) = 2 2 2 . 【例 3】.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D, 直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P. (1)求证:AC2=AD·AB. (2)点 E 是∠ACB 所对的弧上的一个动点(不包括 A,B 两点),连接 EC 交直径 AB 于点 F,∠ DAP=64°. ①当∠ECB= °时,△PCF 为等腰三角形; ②当∠ECB= °时,四边形 ACBE 为矩形. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)连接 OC, ∵CD 是切线, ∴OC⊥CD, ∵AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠ACO=∠CAD, ∵OA=OC, ∴∠ACO =∠CAO, ∴∠CAD=∠CAO, ∵AB 为直径, ∴∠ACB=∠D=90°, ∴△ACD∽△ABC, ∴ AD AC AC AB  , 即:AC2=AD·AB. (2)①45;②58,理由如下: ①∵∠DAP=64°, ∴∠P=26°,∠CAB=∠DAC=32°, ∵∠CFP 是△ACF 的外角, ∴∠CFP>32°,即∠CFP≠∠P, 由∠PCB=∠CAB=32°,知∠FCP>∠PCB≠∠P, 由△PCD 为等腰三角形,得 PC=PF, ∴∠CFP=77°, ∴∠ACF=45°,∠ECB=90°-∠ACF=45°, 故答案为:45; ②由 ACBE 是矩形,得 F 与 O 重合, ∴∠ECB=90°-∠ACO=90°-32°=58°, 故答案为:58. 【变式 3-1】.如图,△ABC 内接于⊙O,过点 B 的切线 BE∥AC,点 P 是优弧 AC 上一动点(不与 A, C 重合),连接 PA,PB,PC,PB 交 AC 于 D. (1)求证:PB 平分∠APC; (2)当 PD=3,PB=4 时,求 AB 的长. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)证明:连接 OB, 则 OB⊥BE, ∵BE∥AC, ∴OB⊥AC, ∴弧 AB=弧 BC, ∴∠APB=∠BPC, ∴PB 平分∠APC; (2)由(1)知,∠APB=∠BPC, ∵∠BAC=∠BPC, ∴∠BAC=∠APB, ∵∠ABD=∠PBA, ∴△ABD∽△PBA, ∴ AB BD PB AB  , 即 1 4 AB AB  ∴AB=2,即 AB 的长为 2. 1..如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O 与 AB 交于点 D,过 D 作⊙O 的切线交 CB 于 E. (1)求证:EB=EC; (2)若以点 O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解: (1)证明:连接 OD, ∵AC 为直径,∠ACB=90°, ∴BC 为⊙O 的切线, ∵DE 是⊙O 的切线, ∴DE=CE,∠ODE=90°, ∴∠ODA+∠EDB=90°, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∵∠OAD+∠B=90°, ∴∠B=∠EDB, ∴DE=BE, ∴EB=EC; (2)△ABC 是等腰直角三角形,理由如下: ∵四边形 ODEC 是正方形, ∴∠DEB=90°, 由(1)知 CE=BE, ∴△BED 是等腰直角三角形, ∠B=45°, ∴∠A=45°, 即 AC=BC, 又∵∠ACB=90°, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 2..如图,以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 与斜边 AC 交于点 D,E 为 BC 边的中点,连接 DE,OE. (1)求证:DE 是⊙O 的切线. (2)填空:①当∠CAB= 时,四边形 AOED 是平行四边形;②连接 OD,在①的条件下探索四边形 OBED 的形状为 . 【答案】(1)见解析;(2)45;正方形. 【解析】(1)连接 OD,BD, ∵AB 为直径, ∴∠BDC=∠ADB=90°, ∵E 为 BC 的中点, ∴DE=BE=CE, ∵OD=OB,OE=OE, ∴△ODE≌△OBE, ∴∠ODE=∠OBE=90°, ∴OD⊥DE, 即 DE 是⊙O 的切线. (2)①若四边形 AOED 是平行四边形,则 DE∥AB, ∴∠A=∠CDE, ∵∠CDE=∠C, ∴∠A=∠C, ∵∠ABC=90°, ∴∠A=45°; ②由∠A=45°,得∠ADO=45°,即∠DOB=90°, ∵∠EBO=∠ODE=90°, ∴四边形 OBED 是矩形, ∵四边形 AOED 是平行四边形, ∴∠EOB=∠A=45°, ∴∠EOB=∠OEB=45°, ∴OB=BE, ∴四边形 OBED 是正方形. 3..如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=6,CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,点 O 在 AC 上,以 CO 为半径的 圆经过点 D,AE 切⊙O 于 E. (1)求证:AD=AE. (2)填空: ①当∠ACB=_______时,四边形 ADOE 是正方形; ②当 BC=__________时,四边形 ADCE 是菱形. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)证明:连接 OE, ∵CD 平分∠ACB, ∴∠OCD=∠BCD, ∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC, ∴∠ODC=∠BCD, ∴OD∥BC, ∵∠B=90°, ∴∠ADO=90°, ∴AD 是圆 O 的切线, ∵AE 是圆 O 的切线, ∴AD=AE. (2)①45;②2 3 ,理由如下: ①∵ADOE 是正方形, ∴OD=AD, ∴∠OAD=45°, ∴∠ACB=45°; ②四边形 ADCE 为菱形, ∴AD=CD,∠CAD=∠ACD, ∵∠BCD=∠ACD, ∴∠CDB=60°,∠BCD=30°, ∴CD=2BD, ∵AB=6, ∴BD=2,BC=2 3 , 故答案为:45;2 3 . 4..如图,AB 是⊙O 的弦,D 为半径 OA 的中点,过 D 作 CD⊥OA 交弦 AB 于点 E,交⊙O 于点 F,且 CE=CB (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)连接 AF,BF,求∠ABF 的度数. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)证明:连结 OB, ∵CE=CB, ∴∠CBE=∠CEB, ∵CD⊥OA, ∴∠DAE+∠AED=90°, ∵∠CEB=∠AED, ∴∠DAE+∠CBE=90°, ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA, ∴∠OBA+∠CBE=90°,即∠OBC=90°, ∴BC 是⊙O 的切线; (2)解:连结 OF,OF 交 AB 于 H,(见上图) ∵DF⊥OA,AD=OD, ∴FA=FO, ∵OF=OA, ∴△OAF 为等边三角形, ∴∠AOF=60°, ∴∠ABF= 1 2 ∠AOF=30°. 5..如图,在△ACE 中,AC=CE,⊙O 经过点 A,C,且与边 AE,CE 分别交于点 D,F,点 B 是劣弧 AC 上 的一点,且弧 BC=弧 DF,连接 AB,BC,CD. 求证:△CDE≌△ABC. 【答案】见解析. 【解析】证明:连接 DF, ∵AC=CE, ∴∠CAE=∠E, ∵四边形 ACFD 内接于⊙O, ∴∠CAE+∠CFD=180°, ∵∠CFD+∠DFE=180°, ∴∠CAE=∠DFE, ∴∠DFE=∠E, ∴DF=DE, ∵弧 BC=弧 DF, ∴BC=DF, ∴BC=DE, ∵四边形 ABCD 内接于⊙O, 同理可得:∠B=∠CDE, 在△CDE 和△ABC 中, ∵AC=CE,∠ABC=∠CDE,BC=DE, ∴△CDE≌△ABC. 6..如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是半圆上不与点 A,B 重合的动点,PC∥AB,点 M 是 OP 中点. (1)求证:四边形 OBCP 是平行四边形; (2)填空: ①当∠BOP= 时,四边形 AOCP 是菱形; ②连接 BP,当∠ABP= 时,PC 是⊙O 的切线. 【答案】(1)见解析;(2)120;45. 【解析】(1)证明:∵PC∥AB, ∴∠PCM=∠OAM,∠CPM=∠AOM. ∵点 M 是 OP 的中点, ∴OM=PM, ∴△CPM≌△AOM, ∴PC=OA. ∵OA=OB, ∴PC=OB. ∵PC∥AB, ∴四边形 OBCP 是平行四边形. (2)解:①∵四边形 AOCP 是菱形, ∴OA=PA, ∵OA=OP, ∴OA=OP=PA, ∴△AOP 是等边三角形, ∴∠A=∠AOP=60°, ∴∠BOP=120°; ②∵PC 是⊙O 的切线, ∴OP⊥PC,∠OPC=90°, ∵PC∥AB, ∴∠BOP=90°, ∵OP=OB, ∴∠ABP=∠OPB=45°. 7..如图,AB 为⊙O 的直径,F 为弦 AC 的中点,连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D,过点 D 作⊙O 的切线, 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:AC∥DE; (2)连接 AD、CD、OC.填空 ①当∠OAC 的度数为 时,四边形 AOCD 为菱形;②当 OA=AE=2 时,四边形 ACDE 的面积为 . 【答案】(1)见解析;(2)30;2 3 . 【解析】(1)证明:∵F 为弦 AC 的中点, ∴AF=CF,OF 过圆心 O ∴FO⊥AC, 即∠OFA=90°, ∵DE 是⊙O 切线, ∴OD⊥DE 即∠EDO=90°, ∴DE∥AC. (2)①当∠OAC=30°时,四边形 AOCD 是菱形,理由如下: 连接 CD,AD,OC, ∵∠OAC=30°,OF⊥AC ∴∠AOF=60° ∵AO=DO,∠AOF=60° ∴△ADO 是等边三角形 ∵AF⊥DO ∴DF=FO,AF=CF, ∴四边形 AOCD 是平行四边形 ∵AO=CO ∴四边形 AOCD 是菱形. ②连接 CD, ∵AC∥DE, OA=AE=2,∴OD=2OF,DE=2AF ∵AC=2AF,∴DE=AC,且 DE∥AC ∴四边形 ACDE 是平行四边形 ∵OA=AE=OD=2 ∴OF=DF=1,OE=4 在 Rt△ODE 中,由勾股定理得:DE=2 3 , ∴S 四边形 ACDE=DE×DF =2 3 ×1 =2 3 答案为:2 3 . 8..如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠C=30°,以边上 AC 上一点 O 为圆心,OA 为半径作⊙O, ⊙O 恰好经过边 BC 的中点 D,并与边 AC 相交于另一点 F. (1)求证:BD 是⊙O 的切线. (2)若 AB= 3 ,E 是半圆 AGF 上一动点,连接 AE,AD,DE. 填空: ①当弧 AE 的长度是 时,四边形 ABDE 是菱形; ②当弧 AE 的长度是 时,△ADE 是直角三角形. 【答案】(1)见解析;(2) 2 3  ; 3  或π. 【解析】(1)证明:连接 OD, 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠C=30°, ∴AB= 1 2 BC, ∵D 是斜边 BC 的中点, ∴BD= 1 2 BC, ∴AB=BD, ∴∠BAD=∠BDA, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠ODB=∠BAO=90°, 即 OD⊥BC, ∴BD 是⊙O 的切线. (2)①若四边形 ABDE 是菱形,连接 OE, 则 AB∥DE, ∵∠BAC=90°, ∴DE⊥AC, 得:AD=BD=AB=CD= 1 2 BC= 3 , ∴△ABD 是等边三角形,OD=1, ∴∠ADB=60°, ∵∠CDE=60°, ∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°, ∴∠AOE=2∠ADE=120°, ∴弧 AE 的长度为:120 1 180   = 2 3  ; 故答案为: 2 3  ; ②∵AD 为弦(不是直径), ∴∠AED≠90°, (i)若∠ADE=90°,则点 E 与点 F 重合,弧 AE 的长度为:180 1 180   =π; (ii)若∠DAE=90°,则 DE 是直径,则∠AOE=2∠ADO=60°, 弧 AE 的长度为: 60 1 180   = 1 3 π; 故答案为: 1 3 π或π. 9..如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以点 A 为圆心,AC 为半径,作⊙A,交 AB 于点 D,交 CA 的延 长线于点 E,过点 E 作 AB 的平行线交⊙A 于点 F,连接 AF,BF,DF. (1)求证:△ABC≌△ABF; (2)填空: ①当∠CAB= °时,四边形 ADFE 为菱形; ②在①的条件下,BC= cm 时,四边形 ADFE 的面积是 6 3 cm2. 【答案】(1)见解析;(2)①60;②6. 【解析】(1)证明:∵EF∥AB, ∴∠E=∠CAB,∠EFA=∠FAB, ∵AE=AF, ∴∠E=∠EFA, ∴∠FAB=∠CAB, 又∵AF=CA,AB=AB, ∴△ABC≌△ABF; (2)①当∠CAB=60°时,四边形 ADFE 为菱形. 由∠CAB=60°,得∠FAD=∠EAF=60°, ∴EF=AD=AE=DF, ∴四边形 ADFE 是菱形. ②∵四边形 AEFD 是菱形,∠AEF=∠CAB=60°, ∴ 23 6 32 AE  , ∴AE= 2 3 , ∴AC= 2 3 , ∴BC= 3 AC=6. 10..如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以直角边 BC 为直径作⊙O,交 AB 于点 D,E 为 AC 的中点, 连接 DE. (1)求证:DE 为⊙O 的切线; (2)已知 BC=4.填空: ①当 DE= 时,四边形 DOCE 为正方形; ②当 DE= 时,△BOD 为等边三角形. 【答案】(1)见解析;(2)2;2 3 . 【解析】(1)证明:连接 CD,OE, ∵BC 为⊙O 的直径,∴∠BDC=90°, ∵DE 为 Rt△ADC 的斜边 AC 上的中线,∴DE=CE=AE, ∵OD=CC,OE=OE, ∴△COE≌△DOE, ∴∠OCE=∠ODE=90°, 即 DE 为⊙O 的切线; (2)解:①若四边形 DOCE 为正方形,则 OC=OD=DE=CE, ∵BC=4, ∴DE=2. ②若△BOD 为等边三角形,则∠BOD=60°, ∴∠COD=180°﹣∠BOD=120°,∠DOE=60°, ∴DE= 3 OD=2 3 . 故答案为:2,2 3 . 11..如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC, 分别交 AC,AB 的延长线于点 E,F. (1)求证:EF 是⊙O 的切线. (2)①当∠BAC 的度数为 时,四边形 ACDO 为菱形; ②若⊙O 的半径为 5,AC=3CE,则 BC 的长为 . 【答案】(1)见解析;(2)60;8. 【解析】(1)连接 OD, ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA, ∵AD 平分∠EAF,∴∠DAE=∠DAO,∴∠DAE=∠ADO,∴OD∥AE, ∵AE⊥EF,∴OD⊥EF,∴EF 是⊙O 的切线; (2)连接 CD, ①当∠BAC=60°时,四边形 ACDO 为菱形; ∵∠BAC=60°,∴∠AOD=120°, ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=30°,∠CAD=30°, ∵OD∥AE,∴∠OAD=∠ADC=30°,∠CAO=∠ADC=30°,∴AC=CD, ∵AD=AD,∴△ACD≌△AOD,∴AC=AO,∴AC=AO=CD=OD, ∴四边形 ACDO 为菱形; ②设 OD 与 BC 交于 G, ∵AB 为直径, ∴∠ACB=90°, ∵DE⊥AC,可得四边形 CEDG 是矩形, ∴DG=CE, ∵AC=3CE, ∴OG= 1 2 AC=1.5CE,OD=2.5CE=5, ∴CE=2,AC=6, ∵AB=10, 由勾股定理得:BC=8.

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