2021年中考数学压轴题训练--折叠与图形存在性(附解析)
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2021年中考数学压轴题训练--折叠与图形存在性(附解析)

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资料简介
折叠与图形存在性 【例 1】如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CD 是△ABC 的中线,E 是边 BC 上一动点, 将△BED 沿 ED 折叠,点 B 落在点 F 处,EF 交线段 CD 于 G,当△DFG 是直角三角形时,则 CE= . A C B D E F G 【答案】1, 5 5 2  . 【解析】解:在 Rt△ABC 中,由勾股定理得:AB=2 5 , 由折叠性质知∠F=∠B≠90°,分两种情况讨论, (1)当∠FDG=90°时, A C B D E F G ∵D 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点, ∴CD=BD=AD= 5 , ∴∠B=∠DCE=∠F, ∵∠DCE+∠GEC=∠F+∠FDG, ∴∠GEC=90°, 在 Rt△DFG 中,tan∠F= DG DF , ∴DG= 5 2 , ∴CG=CD-DG= 5 2 , 在 Rt△CEG 中,CE=CG·cos∠GCE= 5 2 × 4 2 5 =1; (2)当∠FGD=90°时, A C B D E F G 由(1)知∠B=∠F=∠DCB, 由 BD=DF= 5 , ∴DG=DF·sin∠F= 5 × 2 2 5 =1, ∴CG=CD-DG= 5 -1, ∴CE=CG÷cos∠DCB=( 5 -1)÷ 4 2 5 = 5 5 2  , 故答案为:1, 5 5 2  . 【变式 1-1】如图,在菱形 ABCD 中,∠DAB=45°,AB=8,点 P 为线段 AB 上一动点,过点 P 作 PE⊥AB 交直线 AD 于 E,沿 PE 将∠A 折叠,点 A 的对称点为点 F,连接 EF、DF、CF,当△CDF 是直角三角形时,AP= . 【答案】 2 2 或 4 2 2 . 【解析】解:①如图,当 DF⊥AB 时,△CDF 是直角三角形, ∵在菱形 ABCD 中,AB=8, ∴CD=AD=AB=8, 在 Rt△ADF 中,AD=8,∠DAN=45°,DF=AF=4 2 , ∴AP=2 2 ; ②如图,当 CF⊥AB 时,△DCF 是直角三角形, 在 Rt△CBF 中,∠CFB=90°,∠CBF=∠A=45°,BC=8, ∴BF=CF=4 2 , ∴AF=AB+BF=8+4 2 , ∴AP= 1 2 AF=4+2 2 , 故答案为:4 或 4+2 2 . 【例 2】如图,矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,点 E 在边 BC 上,将△DEC 沿 DE 翻折后,点 C 落在点 C’处. 若△ABC’是等腰三角形,则 CE 的长为 . A B C D E C' 【分析】根据△ABC’是等腰三角形,分①AB=AC’=2;②AC’=BC’,即 C’落在 AB 的垂直平分线上时; ③AB=BC’=2,三种情况讨论,逐一作出图形求解即可. 【答案】2 或 2 3 3 . 【解析】解:分三种情况讨论: ①AB=AC’=2,如图所示, A B C D E C' 可得:四边形 CDC’E 是正方形,即 CE=2; ②AC’=BC’,即 C’落在 AB 的垂直平分线 MN 上时,如图所示, A B C D E C' MN ∴DM=1,C’D=2, ∴∠C’DM=30°, 即得:∠C’DC=60°,∠EDC=30°, ∴CE=CD·tan∠EDC =2× 3 3 = 2 3 3 ; ③AB=BC’=2, 此时作出 C’的运动轨迹,及以 B 为圆心,2 为半径的圆,发现二者不相交,如图所示, A B C D E C' C'运动轨迹 即此种情况不存在; 综上所述,答案为:2 或 2 3 3 . 【变式 2-1】如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC≤BC,将△ABC 沿 EF 折叠,使点 A 落在直角边 BC 上的 D 点,设 EF 与 AB、AC 分别交于点 E、F,如果折叠后△CDF 和△BDE 均为等腰三角形,那么∠B= . 【答案】45°或 30°. 【解析】解:若△CDF 是等腰三角形,∵∠C=90°, ∴∠CDF=∠CFD=45°, 由折叠性质知,∠A=∠FDE,∠B=∠EFD, 若△BDE 是等腰三角形,则: (1)若 DE=BD,设∠B=∠DEB=x°,则∠A=∠FDE=90-x, ∵∠CDE=∠B+∠DEB, ∴45+90-x=x+x,解得:x=45, 即∠B=45°, (2)若 DE=BE, ∠CDE=180°-∠BDE=180°-∠B, ∠CDE =45°+∠FDE=45°+∠A=45°+90°-∠B=135°-∠B, ∴不符合题意, (3)若 BD=BE,设∠B=x,则∠BDE=∠BED=90°- 1 2 x, ∠CDE =45°+∠A=135°-x, ∠CDE =∠B+∠DEB=90°+ 1 2 x, ∴135°-x=90°+ 1 2 x,解得:x=30, 即∠B=30°, 综上所述,∠B 的度数为:45°或 30°. 【例 3】如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E 为斜边 AB 的中点,点 P 是射线 BC 上的一个动点,连接 AP、PE,将△AEP 沿着边 PE 折叠,折叠后得到△EPA′,当折叠后△EPA′与△BEP 的 重叠部分的面积恰好为△ABP 面积的四分之一,则此时 BP 的长为 . 【答案】2 或 2 3 . 【解析】解:∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E 为 AB 的中点, ∴AB=4,AE= 1 2 AB=2,BC=2 3 . (1)若点 A’落在 BC 上方时,连接 A′B, 由折叠可得 S△A′EP=S△AEP,A′E=AE=2,. ∵点 E 是 AB 的中点, ∴S△BEP=S△AEP= 1 2 S△ABP. 由题可得:S△EFP= 1 4 S△ABP, ∴S△EFP= 1 2 S△BEP= 1 2 S△AEP= 1 2 S△A′EP, ∴EF=BF,PF=A′F. ∴四边形 A′EPB 是平行四边形, ∴BP=A′E=2; ②若点 A’落在直线 BC 下方时,连接 AA′,交 EP 与 H, . 可得:GP=BG,EG=1. ∵BE=AE, ∴EG= 1 2 AP=1, ∴AP=2 ∴AP=AC, 即此时点 P 与点 C 重合, ∴BP=BC=2 3 . 故答案为:2 或 2 3 . 【变式 3-1】(2019·安阳二模)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点 D 是边 AC 的中点, 点 E 在边 AB 上,将△ADE 沿 DE 翻折,使点 A 落在点 A′处,当线段 AE 的长为 时,A′E∥BC. 【答案】 1 2 或 9 2 . 【解析】解:分两种情况: (1) 当 A'E∥BC 时,∠A'EG=∠B, 由折叠可得,∠A=∠A', ∵∠B+∠A=90°, ∴∠A'EG+∠A'=90°, ∴∠A'GE=90°, ∴△ABC∽△ADG, ∴ AG AD DG AC AB BC   , ∵AD= 1 2 AC= 3 2 , ∴AG= 9 10 ,DG= 6 5 ,A'G= 3 10 , 设 AE=A'E=x,则 EG= 9 10 ﹣x, 则 cos∠GEA’= 4 ' 5 EG A E  , ∴x= 1 2 ,即 AE= 1 2 ; (2)当 A'E∥BC 时,∠AHE=∠C=90°, A'H⊥CD, 设 AE=y, 由△AHE∽△ACB,得: AH AE EH AC AB BC   ∴AH= 3 5 y,HE= 4 5 y, 由折叠可得,A'E=AE=y,AD=A'D= 3 2 , ∴A'H= 1 5 y,DH= 3 5 y﹣ 3 2 , sin∠DA’H= 4 ' 5 DH A D  , 可得:y= 9 2 ,即 AE= 9 2 , 故答案为: 1 2 或 9 2 . 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点 D 是 BC 上一动点,连结 AD,将△ACD 沿 AD 折 叠,点 C 落在点 C′,连结 C′D 交 AB 于点 E,连结 BC′.当△BC′D 是直角三角形时,DE 的长为 . 【答案】 3 2 或 3 4 . 【解析】解:(1)当点 E 与点 C′重合时,△BC′D 是直角三角形, 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得:BC=4. 由翻折的性质可知;AE=AC=3,DC=DE,EB=2. 设 DC=ED=x,则 BD=4﹣x. 在 Rt△DBE 中,由勾股定理得:DE2+BE2=DB2, 即 x2+22=(4﹣x)2. 解得:x= 3 2 . (2)当∠EDB=90 时, 由翻折的性质可知:AC=AC′,∠C=∠C′=90°. 可得:四边形 ACDC′为矩形. ∵AC=AC′, ∴四边形 ACDC′为正方形. ∴CD=AC=3.DB=BC﹣DC=1. ∵DE∥AC, ∴ 1 4 DE BD AC BC   , 1 3 4 DE  . 解得:DE= 3 4 . (3)∵点 D 在 BC 上运动, ∴∠DBC′<90°,即∠DBC′不可能为直角. 故答案为: 3 2 或 3 4 . 2.(2019·洛阳三模)如图,已知 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A=60°,AB=3,点 M,N 分别在线段 AC, AB 上,将△ANM 沿直线 MN 折叠,使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上,若△DCM 为直角三角形时, 则 AM 的长为 . 【答案】2 或 3 3 3 . 【解析】解:∵在△CDM 中,∠C=30°, ∴分两种情况讨论△CDM 为直角三角形的情况, (1)当∠CMD=90°时,如图所示, A B C D M N 设 AM=x,则 DM=x,CM= 3 x, ∴x+ 3 x=6,解得:x= 3 3 3 ; (2)当∠CDM=90°时,如图所示, A B C DM N 设 AM=x,则 CM=2x,DM=x, ∴x+2x=6,解得 x=2, 综上所述,答案为: 3 3 3 或 2. 3.如图,在矩形纸片 ABCD 中,已知 AB=6,BC=8,E 是边 AD 上的点,以 CE 为折痕折叠纸片,使点 D 落 在点 F 处,连接 FC,当△AEF 为直角三角形时,DE 的长为_________. 【答案】3 或 6. 【解析】解:由题意知,∠EAF≠90°, (1)当∠AEF=90°时, 如下图所示, A B C DE F 由折叠知,CD=CF=DE=EF=6, 即 DE=6; (2)当∠AFE=90°时,如下图所示, A B C DE F 此时点 F 落在对角线 AC 上, AC=10,CF=6,AF=4, 设 DE=x,则 EF=x,AE=8-x, 在 Rt△AEF 中,由勾股定理得: x2+42=(8-x)2,解得:x=3, 故答案为:3 或 6. 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,∠B=30°,BC= 3 +1,点 E、F 分别是 BC、AC 边上的动点,沿 E、 F所在直线折叠∠C,使点C的落对应点C'始终落在边AB上,若△BEC'是直角三角形时,则BC'的长为 . 【答案】 3 3 3  或 2. 【解析】解:∵∠B=30°, ∴分两种情况讨论: ①当∠BEC'=90°时, BE= 3 C'E, ∵CE=C'E,BC= 3 +1, ∴BE= 3 ,C'E=1, ∴Rt△BEC'中,由勾股定理得:BC'=2; ②当∠BC'E=90°时, BE=2C'E=2CE,BC= 3 +1, ∴BE= 2 3 ×( 3 +1),C'E= 1 3 ( 3 +1), 在 Rt△BEC’中,由勾股定理得:BC'= 3 3 3  ; 综上所述,BC'的长为 3 3 3  或 2. 5.如图,在 Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,点 D 为斜边 AB 上一点,DE⊥AB 交 AC 于点 E,将△AED 沿 DE 翻折,点 A 的对应点为点 F.如果△EFC 是直角三角形,那么 AD 的长为 . 【答案】 7 5 或 5. 【解析】解:在 Rt△ABC 中,AC=8,BC=6, 由勾股定理得:AB=10, 按直角顶点位置分类讨论, ①若∠CFE=90°, ∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, ∴∠CFB+∠EFD=∠B+∠A=90°, 由翻折知:∠A=∠EFD,AE=EF, ∴∠CFB=∠B,CF=BC=6, 在 Rt△CEF 中,有 CE2=EF2+CF2, 即 CE2=(8﹣CE)2+62, ∴CE= 25 4 , ∴AE= 7 4 , 由∠ADE=∠ACB=90°, 得△ADE∽△ACB, ∴ AE AD AB AC  , 得:AD= 7 5 ; ②当∠ECF=90°时,点 F 与 B 重合, ∴AD= 1 2 AB=5; ③当∠CEF=90°时, 则 EF∥BC,∠AFE=∠B, ∵∠A=∠AFE, ∴∠A=∠B, ∴AC=BC(与题设矛盾),这种情况不存在, 综上所述:如果△EFC 是直角三角形,AD 的长为 7 5 或 5. 故答案为: 7 5 或 5. 6.在 Rt△ABC 中,AC=3,AB=4,D 为斜边 BC 中点,E 为 AB 上一个动点,将△ABC 沿直线 DE 折叠,A、 C 的对应点分别为 A′、C′,EA′交 BC 于点 F,若△BEF 为直角三角形,则 BE 的长度为 . 【答案】 1 2 或 5 4 . 【解析】解:∵∠B≠90°, ∴分两种情况讨论: ①当∠BEF=90°时, 过 D 作 DM⊥AB 于 M,则∠EMD=90°,DM∥AC,D 为 BC 中点, 可得:M 为 AB 的中点, ∴BM= 1 2 AB=2,DM= 1 2 AC= 3 2 , 由折叠可得,∠MED= 1 2 ∠AEF=45°, ∴△DEM 是等腰直角三角形, ∴EM=DM= 3 2 , ∴BE=2﹣ 3 2 = 1 2 ; ②当∠BFE=90°时,连接 AD,A'D, 根据对称性可得:∠EAD=∠EA'D,AD=A'D Rt△ABC 中,AC=3,AB=4, 由勾股定理得:BC=5, Rt△ABC 中,D 为 BC 的中点, ∴AD=BD=A'D= 1 2 BC= 5 2 , ∴∠B=∠EAD=∠FA'D, 设 BE=x,则 BF=BE·cosB= 4 5 x, ∴DF=BD﹣BF= 5 2 ﹣ 4 5 x, 由 sin∠FA'D=sinB,得: 5 4 5 3 2 5 2 5x   , 解得:x= 5 4 ,即 BE= 5 4 , 综上所述,BE 的长度为 1 2 或 5 4 . 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 4 3 ,BC=4,点 D 是 AC 的中点,点 F 是边 AB 上一动点,沿 DF 所在直线把△ADF 翻折到△A′DF 的位置,若线段 A′D 交 AB 于点 E,且△BA′E 为直角三角形,则 BF 的 长为_________. 【答案】 28 5 或 6. 【解析】解:由分析知∠EBA’≠90°,分两种情况讨论: (1)当∠BA’E=90°时,如图所示, B AC D E F A' 连接 BD,过 F 作 FH⊥AC 于 H, B AC D E F A' H 可得:△BCD≌△BA’D,∠BDF=90°, 设 FH=x,则 AF=2x,AH= 3 x,DH=2 3 -x,BF=8-2x, 由勾股定理得: BD2+DF2=BF2,DF2=DH2+FH2, 即 BD2+ DH2+FH2= BF2, ∴    2 2228 2 3 8 2x x x     , 解得:x= 12 5 , 即 BF= 28 5 ; (2)当∠BEA’=90°时,如下图所示, B AC D E F A' 由折叠性质知,∠A=∠ADF=∠EDF=30°, ∵AD=2 3 , ∴DE= 3 ,AE=3, ∴EF= 3 3 DE=1, ∴AF=2, 即 BF=6, 综上所述,BF 的值为 28 5 或 6. 8.如图,在 Rt△ABC 中,AB=3,BC=4,点 P 为 AC 上一点,过点 P 作 PD⊥BC 于点 D,将△PCD 沿 PD 折叠,得到△PED,连接 AE.若△APE 为直角三角形,则 PC= . 【答案】 35 32 或 125 32 . 【解析】解:若∠APE=90°,则∠CPD=∠EPD=45°,可得∠C=45°,与题意不符, ∴∠APE≠90°, 在 Rt△ABC 中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5, ①当∠AEP=90°时, 设 PC=x,在 Rt△PDC 中,sinC= 3 5 ,cosC= 4 5 , 所以 PD= 3 5 x,CD= 4 5 x, 由折叠知 DE=CD= 4 5 x , ∴BE=BC﹣CE=4﹣ 8 5 x, ∵∠B=∠PDE, ∠BAE+∠AEB=90°,∠PED+∠AEB=90°, ∴∠BAE=∠PED=∠C, tan∠BAE=tan∠C, 即 84 35 3 4 x  , 解得:x= 35 32 , 即 PC= 35 32 ; ②当∠EAP=90°时,如下图, A B C P DE 设 PC=x,则 PE=x,PD= 3 5 x,CD= 4 5 x,CE= 8 5 x,BE= 8 5 x-4, 可证:∠AEB=∠C, ∴tan∠AEB= tan∠C, ∴ 3 4 BE AB  , 即 8 4 35 3 4 x   , 解得:x= 125 32 即 PC= 125 32 , 综上所述,答案为: 35 32 或 125 32 . 9.如图,矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,点 E 为 AD 中点,点 P 为线段 AB 上一个动点,连接 EP,将△APE 沿 PE 折叠得到△FPE,连接 CE,CF,当△ECF 为直角三角形时,AP 的长为 . 【答案】1 或 9 4 . 【解析】解:由图可知,∠ECF≠90°,所以分两种情况讨论: (1)当∠CFE=90°时, 由折叠可得,∠PFE=∠A=90°,AE=FE=DE, ∴∠CFP=180°,即点 P,F,C 在一条直线上, ∴Rt△CDE≌Rt△CFE, ∴CF=CD=4, 设 AP=FP=x,则 BP=4﹣x,CP=x+4, 在 Rt△BCP 中,BP2+BC2=PC2, 即(4﹣x)2+62=(x+4)2, 解得 x= 9 4 ,即 AP= 9 4 ; (2)当∠CEF=90°时, 过 F 作 FH⊥AB 于 H,作 FQ⊥AD 于 Q,则∠FQE=∠D=90°, ∵∠FEQ+∠CED=∠ECD+∠CED, ∴∠FEQ=∠ECD, ∴△FEQ∽△ECD, ∴ FQ QE EF DE CD CE   , ∴ 3 3 4 5 FQ QE  , ∴FQ= 9 5 ,QE= 12 5 , ∴AQ=HF=3-QE= 3 5 ,AH=QE= 9 5 , 设 AP=FP=x,则 HP= 9 5 ﹣x, 在 Rt△PFH 中,HP2+HF2=PF2, 即( 9 5 ﹣x)2+( 3 5 )2=x2, 解得 x=1,即 AP=1. 综上所述,AP 的长为 1 或 9 4 . 10.如图,已知 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2 3 +4,点 M、N 分别在线段 AC、AB 上,将 △ANM 沿直线 MN 折叠,使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上,当△DCM 为直角三角形时,折痕 MN 的长 为 . 【答案】 2 3 4 3  或 6 . 【解析】解:∵∠C=30°,即 C 不可能是直角顶点, ∴分两种情况讨论: (1)当∠CDM=90°时, 在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2 3 +4, ∴∠C=30°,AB= 3 +2, 由折叠性质知,∠MDN=∠A=60°, ∴∠BDN=30°, ∴BN= 1 2 DN= 1 2 AN, ∴BN= 1 3 AB= 3 2 3  , ∴AN=2BN= 2 3 4 3  , 由∠DNB=60°,得:∠ANM=∠DNM=60°, ∴△AMN 是等边三角形, ∴AN=MN= 2 3 4 3  ; (2)当∠CMD=90°时, 由题可得,∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°, ∴∠BDN=60°,∠BND=30°, ∴BD= 1 2 DN= 1 2 AN,BN= 3 BD, ∴AN=2,BN= 3 ,BD=1, ∴CD=BC-BD= 3 AB-BD=2 3 +2, ∴DM=AM= 1 2 CD= 3 +1, ∴在 Rt△ANH 中,AH= 1 2 AN=1,NH= 3 , ∴HM=AM-AH= 3 , 在 Rt△HNM 中,由勾股定理得:MN= 6 ; 故答案为: 2 3 4 3  或 6 . 11.如图,正方形 ABCD 的边长是 16,点 E 在边 AB 上,AE=3,点 F 是边 BC 上不与点 B,C 重合的一个 动点,把△EBF 沿 EF 折叠,点 B 落在 B′处.若△CDB′恰为等腰三角形,则 DB′的长为 . 【答案】16 或 4 5 . 【解析】解:分三种情况讨论, (1)当 B′D=B′C 时, 过 B′作 GH∥AD 交 AB、CD 于点 G、H,则∠B′GE=90°, 可得:GH 是 CD、AB 的垂直平分线, ∴AG=DH= 1 2 DC=8, 由 AE=3,AB=16,得 BE=13. 由翻折的性质,得 B′E=BE=13. ∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5, 在 Rt△B’EG 中,由勾股定理得:B′G=12, ∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4, 在 Rt△DB’H 中,由勾股定理得:DB′=4 5 ; (2)当 DB′=CD 时,则 DB′=16. (3)当 CB′=CD 时,则 CB=CB′,由翻折的性质,得 EB=EB′, ∴EC 垂直平分 BB′, ∵EF 是线段 BB′的垂直平分线, ∴点 F 与点 C 重合,此种情况不存在; 故答案为:16 或 4 5 . 12.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=2 3 ,AC=2,点 D 是 BC 的中点,点 E 是边 AB 上一动点, 沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置,B′D 交 AB 于点 F.若△AB′F 为直角三角形,则 AE 的长 为 . 【答案】3 或 14 5 . 【解析】解:∵∠C=90°,BC=2 3 ,AC=2, ∴∠B=30°,AB=2AC=4, ∵点 D 是 BC 的中点, ∴DB=DC= 3 ,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°, 设 AE=x,则 BE=4﹣x,EB′=4﹣x, 由题意知∠B’AF≠90°,分两种情况讨论: (1)当∠AFB′=90°时, BF= 3 2 ,EF= 3 2 ﹣(4﹣x)=x﹣ 5 2 , 在 Rt△B′EF 中,∠EB′F=30°, ∴EB′=2EF, 即 4﹣x=2(x﹣ 5 2 ),解得:x=3,即 AE=3; (2)当∠AB’F=90°时,过 E 作 EH⊥AB’于 H, ∵DC=DB′,AD=AD, ∴Rt△ADB′≌Rt△ADC, ∴AB′=AC=2, ∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°, ∴∠EB′H=60°,∠HEB’=30°, ∴B′H= 1 2 B′E= 1 2 (4﹣x),EH= 3 B′H= 3 2 (4﹣x), 在 Rt△AEH 中,EH2+AH2=AE2, ∴ 3 4 (4﹣x)2+[ 1 2 (4﹣x)+2]2=x2,解得 x= 14 5 , AE= 14 5 . 故答案为 3 或 14 5 .

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