专题 21 抛物线（客观题）
一、单选题
1．已知抛物线 2C y px： ( p 为常数)过点 13A ， ，则抛物线 C 的焦点到它的准线的距离
是
A． 1
3 B． 1
6
C．3 D． 2
3
【试题来源】天津市红桥区 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】B
【分析】根据点 13A ， 可求出 p ，即可求出焦点到它的准线的距离．
【解析】 抛物线过点 13A ， ， 3 p ，
抛物线的方程为 2 1
3x y ，则焦点为 10,12
，准线为 1
12y ，
焦点到它的准线的距离为 1
6
．故选 B．
2．已知抛物线 2 12y x 的焦点与双曲线
2 2
14
x y
a
的一个焦点重合，则 a
A． 5 B． 13
C．5 D． 2 5
【试题来源】北京市 2021 届高三上学期数学统练 5 试题
【答案】C
【分析】首先求抛物线的焦点坐标，由双曲线方程可知 2 4c a ，求 a 的值．
【解析】抛物线 2 12y x 的焦点是 3,0 ，
双曲线
2 2
14
x y
a
中， 2 4c a ，由题意可知 4 9a ，解得 5a ．故选 C
3．已知抛物线 2 2 0y px p 的焦点为双曲线
2 2
116 9
x y 的一个焦点，那么 p
A． 5
2 B．5
C．10 D．20
【试题来源】河南省 2021 届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】C
【分析】分别表示出抛物线的焦点与双曲线的左焦点，进而构建等式求解即可．
【解析】双曲线
2 2
116 9
x y 的左焦点坐标是 5,0 ，抛物线 2 2 0y px p 的焦点为
,02
p
所以 52
p ，解得 10p ．故选 C．
4．若点 P 是抛物线 2 8y x 上一点，且点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3 倍，则 PF
的中点到 y 轴距离等于
A．1 B． 3
2
C．2 D．3
【试题来源】河南省 2021 届高三上学期名校联盟模拟信息卷（理）
【答案】B
【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离建立等量关系，求出 P 点横
坐标，再求出 PF 的中点横坐标，则 PF 的中点到 y 轴距离可求．
【解析】抛物线的准线方程为 2x ， 2 0F ， ，由抛物线的定义，得点 0 0,P x y 到焦点 F
的距离等于点 P 到准线的距离，则 0 02 3x x ，解得 0 1x ．所以 PF 的中点的横坐标为
1 2 3
2 2
，所以 PF 的中点到 y 轴距离等于 3
2
．故选 B．
5．已知抛物线 2 4y x 上一点 P 到准线的距离为 1d ，到直线l ：4 3 16 0x y 为 2d ，则
1 2d d 的最小值为
A．3 B．4
C． 5 D． 7
【试题来源】辽宁省抚顺市二中、旅顺中学 2019-2020 年高三上学期期末考试
【答案】B
【解析】因为抛物线上的点 P 到准线的距离等于到焦点 F 的距离，所以过焦点 F 作直线
4 3 16 0x y 的垂线，则 F 到直线的距离为 1 2d d 的最小值，如图所示：
所以 1 2 min 2 2
| 4 0 16 | 4
4 3
d d
，故选 B.
6．已知抛物线 2 2 0y px p 的准线与椭圆
2 2
19 4
x y 相交的弦长为 2 3 ，则 p
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】云南师大附中 2020 届高三（下）月考（理）（七）
【答案】C
【分析】根据椭圆的对称性可得 3Ay ，从而求出 3
2Ax ，再利用抛物线的性质可知
3p ．
【解析】抛物线的准线方程为
2
px ，设其与椭圆相交于 A， B 两点， 2 3AB ，
不妨设 0Ay ，根据对称知 3Ay ，
代入椭圆方程解得 3
2Ax 或 3
2Ax （舍去）， 3p ，故选 C．
7．设抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，准线l 与 x 轴的交点为 M ，P 是C 上一点．若| | 4PF ，
则| |PM
A． 21 B．5
C． 2 7 D． 4 2
【试题来源】北京市朝阳区 2021 届高三上学期期末数学质量检测试题
【答案】C
【分析】根据| | 4PF ，利用抛物线的定义求得点 P 的坐标，然后利用两点间距离公式求
解．
【解析】设 ,P x y ，因为| | 4PF ，由抛物线的定义得 1 4x ，解得 3x ，
所以 2 12y ，又 1,0M ，所以 2 23 1 2 7PM y ，故选 C.
8．已知双曲线
2
2 12
yx 上存在两点 M，N 关于直线 y x b 对称，且 MN 的中点在抛
物线 2 3y x 上，则实数 b 的值为
A．0 或 9
4 B．0
C． 9
4 D． 8
【试题来源】云南省 2021 届高三第五次复习检测（理）
【答案】A
【分析】设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ， MN 的中点 0 0,P x y ，根据点 M，N 在双曲线上，
且 P 为中点，利用点差法得到 0
0
2MN
yk x
，再由 M，N 关于直线 y x b 对称，得到
1MNk ，则 0 02y x ，又点 0 0,P x y 在直线 y x b 上，得到 0 0y x b ，联立求得
点 P，代入抛物线方程求解．
【解析】设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ， MN 的中点 0 0,P x y ，
因为
2
2 1
1
2
2 2
2
12
12
yx
yx
，所以 2 1 2 1
2 1 2 1
2y y y y
x x x x
；因为 1 2 0
2 1 0
2
2
x x x
y y y
，所以 0
0
2MN
yk x
；
因为 M，N 关于直线 y x b 对称，所以 1MNk ，即 0 02y x ；
因为点 0 0,P x y 在直线 y x b 上，所以 0 0y x b ；
由 0 0
0 0
2y x
y x b
，可得 2,3 3
b bP
，所以
22 33 3
b b
，即 0b 或 9
4b ，故选 A．
【名师点睛】圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法．
9．已知双曲线
2
2 12
yx 上存在两点 M，N 关于直线 9
4y x 对称，且 MN 的中点在
抛物线 2y mx 上，则实数 m 的值为
A． 3 或 3 B． 3
C．3 D． 8
【试题来源】云南省 2021 届高三第五次复习检测（文）
【答案】C
【分析】设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ， MN 的中点 0 0,P x y ， M ， N 坐标代入双曲线方
程由点差法得到 0
0
2MN
yk x
，又 M，N 关于直线 9
4y x 对称，可得 0 02y x ，
又由点 0 0,P x y 在直线 9
4y x 上，可求得 0 0,x y ，代入抛物线方程可得答案．
【解析】设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ， MN 的中点 0 0,P x y ，因为
2
2 1
1
2
2 2
2
12
12
yx
yx
，
所以 2 1 2 1
2 1 2 1
2y y y y
x x x x
；因为 1 2 0
2 1 0
2
2
x x x
y y y
，所以 0
0
2MN
yk x
；
因为 M，N 关于直线 9
4y x 对称，所以 1MNk ，即 0 02y x ；
因为点 0 0,P x y 在直线 9
4y x 上，所以 0 0
9
4y x ；
由
0 0
0 0
2
9
4
y x
y x
可得 3 3,4 2P
，所以
23 3
2 4m
，即 3m ．故选 C．
【名师点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，点对称的问题，对于圆锥曲线上存在两点关
于某一直线对称，这类问题的一般解法是利用对称性的特点，从中点和垂直两个方面考虑，
设出坐标而不求坐标，与曲线弦的斜率和中点有关的问题都可以用此方法．
10．已知抛物线 2 2y px 上三点 (2,2), ,A B C ，直线 ,AB AC 是圆 2 2( 2) 1x y 的两条
切线，则直线 BC 的方程为
A． 2 1 0x y B．3 6 4 0x y
C． 2 6 3 0x y D． 3 2 0x y
【试题来源】2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
【答案】B
【分析】先利用点 (2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线 AB，AC，再分别联立直线
和抛物线求出点 ,B C ，即求出直线 BC 方程．
【解析】 (2,2)A 在抛物线 2 2y px 上，故 22 2 2p ，即 1p ，抛物线方程为 2 2y x ，
设 过 点 (2,2)A 与 圆 2 2( 2) 1x y 相 切 的 直 线 的 方 程 为 2 2y k x ， 即
2 2 0kx y k ，则圆心 2,0 到切线的距离
2
2 0 2 2 1
1
k kd
k
，解得 3k ，
如图，直线 : 2 3 2AB y x ，直线 : 2 3 2AC y x ．
联立
2
2 3 2
2
y x
y x
，得 23 4 3 14 16 8 3 0x x ，
故 16 8 3
3A Bx x ，由 2Ax 得 8 4 3
3Bx ，故 2 3 6
3By ，
联立
2
2 3 2
2
y x
y x
，得 23 4 3 14 16 8 3 0x x ，
故 16 8 3
3A Cx x ，由 2Ax 得 8 4 3
3Cx ，故 2 3 6
3Cy ，
故 2 3 6 2 3 6 43 3B Cy y ，又由 ,B C 在抛物线上可知，
直线 BC 的斜率为 2 2
2 2 1
1 1 4 2
2 2
B C B C
BC
B C B C
B C
y y y yk x x y yy y
，
故直线 BC 的方程为 2 3 6 1 8 4 3
3 2 3y x
，即 3 6 4 0x y ．故选 B．
【名师点睛】求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距
离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方
程，使判别式等于零解出参数，即可得方程．
11．已知点 A(1，0)，B(5，1)，点 P 为抛物线 2 4C y x： 上任意一点，则 | |PA PB 的最
小值为
A．6 B．7
C．8 D． 17
【试题来源】贵州省 2021 届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】A
【 分 析 】 由 题 知 A 点 为 该 抛 物 线 的 焦 点 ， 进 而 根 据 抛 物 线 的 定 义 得
| | | | | | | | ' 6PA PB PH PB BB ，即 | |PA PB 最小值为 6
【解析】由题意可知， A点为该抛物线的焦点，
分别过点 ,P B 作直线 1x （也即抛物线的准线）的垂线交直线于点 ,H B，如图，
则有| | | | | | | | ' 6PA PB PH PB BB ，
当且仅当 , ,P B B 三点共线时等号成立，所以最小值为 6．故选 A．
【名师点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为| | | | | | | |PA PB PH PB ，再根
据图形得 , ,P H B 三点共线时取得最小值，考查化归转化思想与运算求解能力，是基础题．
12．已知曲线 1C ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
与曲线 2C ： 2 2 ( 0)y px p 有公共的焦点 F，P
为 1C 与 2C 在第一象限的交点，若 PF x 轴，则 1C 的离心率 e 等于
A． 2 1 B． 2 1
C． 5 1
2
D． 5 1
2
【试题来源】江西省赣州市部分重点中学 2021 届高三上学期期中考试（文）
【答案】A
【分析】根据抛物线的方程求出其焦点为 ( ,0)2
pF ，得到 PF p ．设双曲线的另一个焦
点为 'F ，由双曲线的右焦点为 F 求得双曲线的焦距为 'FF p ， 'PFF△ 中，利用勾股
定理求得 ' 2PF p ，再由双曲线的定义算出 2 ( 2 1)a p ，利用双曲线的离心率的定
义加以计算，求得结果．
【解析】抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 ( ,0)2
pF ，
由 PF x 轴，即
2
px ，可求得 PF p ，
设双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的另一个焦点为 'F ，
由抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 ( ,0)2
pF 与双曲线的右焦点重合，
即
2
pc ，可得双曲线的焦距 ' 2FF c p ，
由 'PFF△ 为直角三角形，则 2 2' ' 2PF FF PF p ，
根据双曲线的定义，得 2 ' 2 ( 2 1)a PF PF p p p ，
所以双曲线的离心率为 2 2 12 ( 2 1)
c pe a p
，故选 A．
【名师点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，解题方法如下：
（1）根据抛物线的方程求得其焦点坐标；
（2）利用抛物线方程求得 PF p ；
（3）利用抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合求得双曲线的焦距；
（4）在直角三角形中利用勾股定理求得 2 2' ' 2PF FF PF p ；
（5）利用双曲线的定义求得 2a 的值；
（6）利用双曲线的离心率的定义求得结果．
13．设抛物线C ： 2 2 0x py p 的焦点为 F ，点 P 在 C 上， 5
2PF ，若以线段 PF
为直径的圆过点 1,0 ，则 C 的方程为
A． 2 4x y 或 2 8x y B． 2 2x y 或 2 4x y
C． 2 2x y 或 2 8x y D． 2 4x y 或 2 16x y
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期 11 月月考（理）
【答案】C
【分析】首先设出点 ,P F 的坐标，根据题意可知以线段 PF 为直径的圆与 x 轴相切，利用
焦半径公式和几何关系得到点 P 的坐标，建立方程求 p ．
【解析】设 ,P x y ， 0, 2
pF
，由条件可知 5
2 2
py ，即 5
2 2
py ，
并且线段 PF 的中点纵坐标是 52
2 4
py
，所以以线段 PF 为直径的圆与 x 轴相切，
切点坐标 1,0 ，所以 2x ，即 52, 2 2
pP
，
代入抛物线方程 54 2 2 2
pp
，整理为 2 5 4 0p p ，
解得 1p 或 4p ，即抛物线方程是 2 2x y 或 2 8x y ．故选 C
【名师点睛】本题的关键是知道以线段 PF 为直径的圆与 x 轴相切，这样利用中点的坐标可
以求点 P 的坐标，和此几何关系类似的有以抛物线焦点弦长为直径的圆与抛物线的准线相
切．
14．已知抛物线 2: 2 0C y px p 的焦点为 F ，O 为坐标原点， ,A B 为抛物线 C 上两
点，| | | |AO AF ，且 9| | | | 4
pAF BF ，则 AB 的斜率不可能是
A． 2 2
3
B． 2 2
C． 2 2 D． 2
2
【试题来源】河南省开封市 2021 届高三第一次模拟考试（理）
【答案】D
【分析】先由题中条件，根据抛物线的焦半径公式，求出 ,A B 的横坐标，进而确定 ,A B 的
坐标，由斜率公式，即可求出结果．
【解析】因为 F 为抛物线 2: 2 0C y px p 的焦点，所以 ,02
pF
，
又| | | |AO AF ，即 AOF 为等腰三角形，所以
4A
px ，又点 A在抛物线 2 2y px 上，
所以
2
2 2 4 2A
p py p ，则 2
2A
py ，即 2,4 2
p pA
，
所以由抛物线的焦半径公式可得 3| | 2 4A
pAF x p ，
又 9| | | | 4
pAF BF ，所以 3| | 2
pBF ，即 3
2 2B
p px ，所以 Bx p ，
则 2 22By p ，即 2By p ，所以 , 2B p p ；
当 2,4 2
p pA
， , 2B p p 时， AB 的斜率为
22 2 22
3
4
AB
pp
k pp
；
当 2,4 2
p pA
， , 2B p p 时， AB 的斜率为
22 2 2 2
4
AB
pp
k pp
；
当 2,4 2
p pA
， , 2B p p 时， AB 的斜率为
22 2 2 2
4
AB
pp
k pp
；
当 2,4 2
p pA
， , 2B p p 时， AB 的斜率为
22 2 22
3
4
AB
pp
k pp
；
故 ABC 都能取到，D 不能取到．故选 D．
【名师点睛】求解本题的关键在于利用题中条件 | | | |AO AF ，确定 A 点横坐标，结合
9| | | | 4
pAF BF 以及焦半径公式，确定 B 点横坐标，得出两点坐标，即可求解．
15．已知曲线 ：
2 2
12 3
x y
，则以下判断错误的是
A． 0 或 3 时，曲线 一定表示双曲线
B． 0 3 时，曲线 一定表示椭圆
C．当 3 时，曲线 表示等轴双曲线
D．曲线 不能表示抛物线
【试题来源】云南省西南名校联盟 2021 届高三 12 月高考适应性月考卷（理）
【答案】B
【分析】理解辨析双曲线、等轴双曲线、椭圆等定义逐一判断即可．
【解析】对 ：
2 2
12 3
x y
，当 2 (3 ) 0 ，即 0 或 3 时，曲线 表示双曲线，
当 3 时， ：
2 2
16 6
y x 表示等轴双曲线，因为无论 取何值，曲线方程均只含 2x ，
2y 项与常数项，因此 A，C，D 正确；
当 1 时， ： 2 2 2x y 表示圆，B 错误．故选 B．
16．若抛物线 2 8x y 上一点 M 到该抛物线焦点 F 的距离为 6，过点 M 作 x 轴的垂线，垂
足为 N，设 O 为坐标原点，则四边形 OFMN 的面积为
A．12 B．12 2
C．16 D．16 2
【试题来源】云贵川桂四省 2020-2021 学年高三上学期 12 月联合考试（文）
【答案】B
【分析】延长 MN 交准线 2y 于点 N ，由| | 6MF ，则 6MQ ，则可得| | 4 2ON ，
从而可求得答案．
【解析】如图，抛物线的准线方程为 2y ，焦点 (0,2)F ，
延长 MN 交准线 2y 于点 N ，由| | 6MF ，则 6MQ
因此| | 6 2 4MN ，所以 M 点的纵坐标为 4，则由 2 8 32M Mx y ，
即 2| | 8 4 32ON ，| | 4 2ON ，由条件可得四边形 OFMN 为梯形，
故四边形 OFMN 的面积为 4 2 2 4 12 22 2
MN OF ON
．故选 B
17．已知抛物线 2 2 0x py p ，过其焦点且斜率为 1
4
的直线交抛物线于 A、 B 两点，
若线段 AB 的中点的横坐标为 2，则该抛物线的准线方程为
A． 2x B． 4x
C． 2y D． 4y
【试题来源】广东省普宁市七校联合体 2021 届高三上学期（11 月）第二次联考
【答案】D
【分析】设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由题意有 1 2 22
x x 且直线方程为
4 2
x py ，联立直线
与抛物线方程可得 1 2 2
px x ，即可求 p ，进而得到抛物线准线方程．
【解析】由抛物线方程知焦点为 (0, )2
p ，即
4 2
x py ，
所以设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，线段 AB 的中点的横坐标为 2，所以 1 2 22
x x ，
联立直线、抛物线方程得 2 22 2 0x px p ，有 1 2 2
px x ，
所以综上有： 8p ，故抛物线准线方程为 42
py ，故选 D
【名师点睛】应用中点公式有 1 2 22
x x ，由直线与抛物线关系得到 1 2 2
px x ，联立求
p．
18．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 F ，准线为 l，过点 F 且斜率为 3 的直线交抛
物线于点 M ( M 在第一象限)，MN l ，垂足为 N ，直线 NF 交 y 轴于点 D ，若| | 2 3MD ，
则抛物线的方程是
A． 2y x B． 2 2y x
C． 2 4y x D． 2 8y x
【试题来源】山西省大同市 2021 届高三上学期期中质量检测（理）
【答案】C
【分析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形 NMF 是正三角形，结合已知条件求出
MN ，结合 F 在 MN 上的射影是 MN 是中点，然后求解抛物线方程．
【解析】由题意如图，过点 F 且斜率为 3 的直线交抛物线于点 (M M 在第一象限），
可知， 60NMF ， MN l ，垂足为 N ，直线 NF 交 y 轴于点 D ，准线与 x 轴的交点
为 A，所以 MN FM ，则三角形 NMF 是正三角形，因为 O 是 AF 的中点， / /AN OD ，
所以 D 是 NF 的中点，所以 MD NF ， 30DMF ，
| | 2 3MD ，所以 | || | 4cos30
MDMF ，则| | 4MN ，
由三角形 NMF 是正三角形可知 F 在 MN 上的射影是 MN 是中点，
所以 2AF BN ，则 (1,0)F ，可得 2p ，所以抛物线方程为 2 4y x ．故选C ．
【名师点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一
定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点
到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．
19．抛物线 2 12y x 的焦点坐标为
A． ( 3,0) B． (0, 2)
C． ( 6,0) D． (0, 6)
【试题来源】湖南省株洲市茶陵县第三中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考
【答案】A
【解析】抛物线 2 12y x 的焦点坐标在 x 轴负半轴，所以为 ( 3,0) 故选 A
20．抛物线 22y x 的焦点到准线的距离为
A． 1
8 B． 1
4
C． 1
2 D．1
【试题来源】安徽省 2020-2021 学年高三上学期开学考试（理）
【答案】B
【分析】由 22y x 可得抛物线标椎方程为 2 1
2x y ，由焦点和准线方程即可得解．
【解析】由 22y x 可得抛物线标准方程为 2 1
2x y ，
所以抛物线的焦点为 1(0, )8
，准线方程为 1
8y ，
所以焦点到准线的距离为 1
4
，故选 B．
21．抛物线 21
2y x 的焦点坐标为
A． 1 ,04
B． 10, 2
C． 1 ,02
D． 10, 4
【试题来源】贵州省黔东南州 2021 届高三上学期第二次月考（文）
【答案】B
【分析】先将抛物线 21
2y x 化为标准方程，即可求出焦点坐标．
【解析】 21
2y x ，抛物线的标准方程为 2 2x y ，即 1p ，
抛物线 21
2y x 的焦点坐标为 10, 2
．故选 B．
22．已知抛物线C ： 2 2 0y px p ，以 2,0P 为圆心，半径为 5 的圆与抛物线 C 交
于 A， B 两点，若 17OA （点O 为坐标原点），则 p
A．4 B．8
C．10 D．16
【试题来源】河南省周口市商丘市大联考 2020-2021 学年高三阶段性测试（三）（理）
【答案】B
【分析】设 ( , )A x y ，根据题意列方程组可解得结果．
【解析】设 ( , )A x y ，由题意得
2 2
2
2 2
17
2
2 25
x y
y px
x y
，解得
2
1
8
16
x
p
y
．故选 B．
23．已知点 2,3A 到抛物线 2y px （ 0p ）的准线的距离为 5，则抛物线的焦点坐标为
A． 10, 3
B． 10,16
C． 0,2 D． 0,4
【试题来源】安徽省六安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】C
【分析】利用抛物线方程及定义进行求解．
【解析】由抛物线 2y px （ 0p ）得 2 1x yp
（ 0p ），故抛物线的焦点在 y 轴正半
轴，又 2,3A 到抛物线准线的距离为 5，即 1 3 54p
，解得 1
8p ，
故抛物线方程为 2 8x y ，焦点为 (0,2) ，故选 C．
24．抛物线 21
16y x 的准线方程是
A． 2y B． 2x
C． 4x D． 4y
【试题来源】黑龙江省 2021 届高三（上）期中（理）
【答案】D
【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
【解析】由抛物线 21
16y x 的方程可变为 2 16x y ，故 8p ，
其准线方程为 4y ，故选 D．
25．已知 Р 为抛物线 2: 2 0C y px p 上一点，点 Р 到C 的焦点的距离为 9，到 y 轴的
距离为 6，则 p
A．3 B．6
C．9 D．12
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】B
【分析】由抛物线的性质知已知两距离的差为
2
p ，由此可得结论．
【解析】由题意 9 6 32
p ， 6p = ．故选 B．
26．抛物线 2y x 的准线方程是
A． 1
2x B． 1
4x
C． 1
2y = - D． 1
4y
【试题来源】北京市海淀区 2021 届高三年级第一学期期末练习
【答案】B
【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解．
【解析】由抛物线方程 2y x 可知 12 1 2p p ， ，故准线方程为 1
2 4
px ．故选 B．
27．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ， P 为抛物线 C 上一点，
且 P 在第一象限，当 PF
PK
取得最小值时，点 P 的坐标为
A． 1 , 22
B． 1,2
C． 2,2 2 D． 4,4
【试题来源】陕西省商洛市考试高三上学期期末教学质量检测（理）
【答案】B
【分析】过点 P 作 PE 垂直于抛物线 C 的准线，垂足为点 E ，由抛物线的定义可得
PE PF ，可得出 cos cosPF PE KPE PKFPK PK
，结合图形可知，当直线 PK
与抛物线相切时， PKF 最大，则 PF
PK
最小，设直线 PK 的方程为 1 0x my m ，
将该直线方程与抛物线C 的方程联立，利用 0 ，求出方程组的解，即可得出点 P 的坐标．
【解析】如下图所示：
过点 P 作 PE 垂直于抛物线 C 的准线l ，垂足为点 E ，由抛物线的定义可得 PE PF ，
抛物线C 的准线为 : 1l x ，则点 1,0K ，
由题意可知， //PE x 轴，则 KPE PKF ， cos cosPF PE KPE PKFPK PK
，
由图形可知，当直线 PK 与抛物线相切时， PKF 最大，则 PF
PK
最小，
设 直 线 PK 的 方 程 为 1 0x my m ， 将 该 直 线 方 程 与 抛 物 线 C 的 方 程 联 立
2
1
4
x my
y x
，消去 x 得 2 4 4 0y my ， 216 16 0m ， 0m ，解得 1m ，
则 2 4 4 0y y ，解得 2y ，此时，
22 14x ，因此，点 P 的坐标为 1,2 ．故选 B．
【名师点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，
解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，
属于中等题．
28．抛物线 2 2 ( 0)x py p 的焦点与双曲线
2 2
116 9
x y 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条
渐近线，则 p 的值为
A． 40
3 B． 5
2
C． 20
3 D． 8 7
3
【试题来源】陕西省咸阳市 2020 届高三下学期 4 月高考模拟（理）
【答案】A
【分析】分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的
条件可得选项．
【解析】抛物线 2 2 ( 0)x py p 的焦点坐标为 0, 2
p
，双曲线
2 2
116 9
x y 的右焦点坐标为
(5,0) ，两焦点的连线的方程为 ( 5)10
py x ，
又双曲线的渐近线方程为 3
4y x= ± ，所以 3 110 4
p ，解得 40
3p ，故选 A．
29．抛物线 24y x 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是
A． 17
16
B． 15
16
C． 7
16 D． 15
16
【试题来源】河南省郑州市名校联考 2020-2021 学年高三第一次调研考试（理）
【答案】B
【分析】化简抛物线的标准方程，求得准线方程，结合抛物线的定义，即可求解．
【解析】由抛物线的方程 24y x ，可得标准方程为 2 1
4x y ，
则焦点坐标为 1(0, )16F ，准线方程为 1
16y ，
设 0 0( , )M x y ，则由抛物线的定义可得 0
1 116y ，解得 0
15
16y ．故选 B．
30．抛物线 21x y4
的准线方程是
A． 1x 16
B． 1x 16
C． x 1 D． x 1
【试题来源】湖北省潜江市 2019-2020 学年高三上学期期末
【答案】C
【分析】由于抛物线 2 2 ( 0)y px p 的准线方程为
2
px ，求解即可．
【解析】由于抛物线 2 2 ( 0)y px p 的准线方程为
2
px ，
抛物线 21
4x y ，即 2 4y x 的准线方程为 1x ，故选 C．
31．已知点 2,3A 到抛物线 2 0y px p 的准线的距离为 5，则抛物线的焦点坐标为
A． 2,0 B． 10, 2
C． 0,2 D． 10, 32
【试题来源】陕西省西安地区 2019-2020 学年高三上学期第一次八校联考（理）
【答案】C
【解析】 2y px 可变形为 2 yx p
，则焦点坐标为 10, 4p
，由抛物线第一定义，点 2,3A
到抛物线 2 0y px p 的准线的距离为 5，即 5AH ，即 1 3 54p
，解得 1 24p
，则
抛物线焦点坐标为 0 2, ，故选 C.
32．抛物线 21
4y x 的焦点坐标为
A． 1,0 B． 0,1
C． 1 ,016
D． 10,16
【试题来源】四川省内江市第六中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】B
【分析】将抛物线方程化简为标准形式 2 2x py ，然后直接得到焦点坐标 0, 2
p
．
【解析】因为抛物线方程为 21
4y x 即 2 4x y ，
所以 2p ，所以焦点坐标为 0,1 ，故选 B．
【名师点睛】本题考查根据抛物线方程求解焦点坐标，难度较易．形如 2 2y px 的抛物线
的焦点坐标为 ,02
p
，形如 2 2x py 的抛物线的焦点坐标为 0, 2
p
．
33．过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点， M 为线段 AB 的中点，则
以线段 AB 为直径的圆一定
A．经过原点 B．经过点 1,0
C．与直线 1x 相切 D．与直线 1y 相切
【试题来源】北京市 2021 届高三入学定位考试
【答案】C
【分析】通过抛物线的焦半径公式可知 1 2AB x x p ，可得点 M 到直线 1x 的距离
为 1
2 AB ．
【解析】设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，利用焦半径公式可得 1 2AB x x p ，
又 1 2 1 2,2 2
x x y yM
，所以 M 到直线 1x 距离为 1 2 1
2 2
x x pd AB ，
所以以线段 AB 为直径的圆一定直线 1x 相切．故选 C．
34．已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，点 M，N 分别在抛物线 C 上．若 2MF FN ，则
点 M 到 y 轴的距离为
A． 1
2 B． 3
5
C． 2
3 D．1
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属 2021 届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】D
【分析】由 2 2y x 可得 1( ,0)2F ，设
2
1
1( , )2
yM y ，
2
2
2( , )2
yN y ，由 2MF FN ，可得 1 1x ．
【解析】由 2 2y x 可得 1( ,0)2F ，设
2
1
1( , )2
yM y ，
2
2
2( , )2
yN y ，
由 2MF FN ，可得
2 2
1 2
1 2
1 1( , ) 2( , )2 2 2 2
y yy y ，
所以
2
21
2
1 12 2
y y 且 1 22y y ，所以
2 2
1 13
2 2 4
y y ，解得 2
1 2y ，所以
2
1
1 12
yx ，
所以点 M 到 y 轴的距离为 1．故选 D．
35．已知抛物线C ： 2 4y x 的焦点为 F ，点 0 0,M x y 在抛物线 C 上，若 4MF ，则
A． 0 5x B． 0 2 3y
C． 21OM D． F 的坐标为（0，1）
【试题来源】河南省新乡市 2021 届高三第一次模拟考试（文）
【答案】C
【分析】根据抛物线方程 2 4y x ，结合抛物线的定义逐项判断．
【解析】因为 2 4y x ，所以 1,0F ，因为 0 1MF x ，所以 0 3x ， 2
0 12y ，
2 2
0 0 9 12 21OM x y ．故选 C．
36．若以抛物线 2 2 ( 0)y px p 上的点 (1, )P a 为圆心，2 为半径的圆恰好与抛物线的准线
相切，则 a 的值为
A．2 B． 2
C． 2 D．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期模拟试卷（文）
【答案】B
【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求出 p ，然后求解 a ，即可得到结果．
【解析】以抛物线 2 2 ( 0)y px p 上的点 (1, )P a 为圆心，2 为半径的圆恰好与抛物线的准
线相切，可得1 22
p ，所以 2p ，所以抛物线的方程为 2 4y x ，点 (1, )P a 在抛物线
上，所以 2a ．故选 B
37．已知 和直线 ，抛物线 上动点 到 的距离为 ，则 的
最小值是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省宜宾市叙州区第二中学校 2020-2021 学年高三上学期开学考试（理）
【答案】C
【解析】抛物线准线为 ，设 到其距离为 ，则 ，
所以 ，故选 C．
【方法点晴】本题是一个关于抛物线的概念、抛物线的焦点、准线等方面的综合应用问题，
属于中档题．解决本题的基本思路是“化曲为直”的思想，由于抛物线上任意一点到准线的距
离等于其到焦点的距离，因此可将本题的求 的最小值的问题，转化为求点 到准线
与 到焦点 F 的距离和的最小值问题，再利用平面上两点之间线段最短的原理即可求得所
需结论．
38 ． 已 知 点 ( , )M x y 是 抛 物 线 2 4y x 上 的 动 点 ， 则
2 26 2 10x x y y 2 22 1x x y 的最小值为
A．3 B．4
C．5 D．6
【试题来源】四川省宜宾市叙州区第一中学校 2020-2021 学年高三上学期开学考试（理）
【答案】B
【分析】由题意： 2 2 2 26 2 10 2 1x x y y x x y 表示 A（3，1）和 F（1，0）
与在抛物线 2 4y x 上的动点 P 的距离之和，利用抛物线的定义将到 F 的距离转到到准线的
距离即可求解．
【 解 析 】 由 题 意 知 2 2 2 26 2 10 2 1x x y y x x y = 2 23 ( 1)x y
2 21x y 表示 A（3，1）和 F（1，0）与在抛物线 2 4y x 上的动点 P 的距离之和，
又 F（1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点 P 到 F（1，0）的距离等于到 x=-1 的
距离，只需要过 A 作 x=-1 的垂线交抛物线于 P，交准线于 M，则 AM=4 即为所求．故选
B．
39．已知点 A是抛物线 2: 2 0C x py p 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点，
过 A作抛物线的一条切线，切点为 P ，且满足 2PA ，则抛物线C 的方程为
A． 2 8x y B． 2 4x y
C． 2 2x y D． 2x y
【试题来源】四川省成都市彭州市 2021 届高三（理）
【答案】C
【分析】本题首先可根据题意得出点 0, 2
pA
，然后设切线方程为
2
py kx 、切点为
,P PP x y ，通过联立抛物线与切线方程解得 1k ，最后对 1k 、 1k 两种情况分别
进行讨论，通过 2PA 即可得出结果．
【解析】由题意可知，抛物线准线方程为
2
py ，点 0, 2
pA
，切线斜率 k 一定存在，
设过点 A与抛物线相切的直线方程为
2
py kx ，切点 ,P PP x y ，
联立抛物线与切线方程
2
2
2
py kx
x py
，转化得 2 22 0x pkx p ，
2 2 24 4 0p k p ，解得 1k ，当 1k 时，直线方程为
2
py x ，
2 22 0x px p ，解得 Px p ，则
2 2P P
p py x ，
因为 2PA ，所以
2
2 22P P
px y
，解得 1p ；
当 1k 时，同理得 1p ，综上所述，抛物线方程为 2 2x y ，故选 C．
【名师点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查
判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题．
40．已知半径为 1 的圆 M 经过点 3,4 ，则其圆心到抛物线 2 4y x 的焦点的距离的最大
值为
A． 2 5 1 B． 4 2 1
C． 2 5 1 D． 4 2 1
【试题来源】河南省商丘、周口、驻马店市联考 2020-2021 年度高三开学考试（一）（文）
【答案】B
【分析】设圆 M 的圆心为 ,x y ，可知圆 M 的圆心在圆 2 23 4 1x y 上，则其圆
心到抛物线 2 4y x 的焦点的距离的最大值为圆 2 23 4 1x y 的圆心到焦点的距
离加上半径，即可求出．
【解析】设圆 M 的圆心为 ,x y ，则 2 23 4 1x y ，所以圆 M 的圆心在圆
2 23 4 1x y 上．因为抛物线 2 4y x 的焦点为 1,0 ，
所以圆心到抛物线 2 4y x 焦点的距离的最大值为 2 23 1 4 0 1 4 2 1 ．
故选 B．
二、填空题
1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 过抛物线 2 4y x 的焦点 F ，且与该抛物线相交于 ,A B
两点．若直线l 的倾斜角为 45 ，则
△
OAB 的面积为_________．
【试题来源】北京房山区 2021 届高三上学期数学期末试题
【答案】 2 2
【分析】将所求三角形的面积分解为以 OF 为底边的两个三角形 OFA 和 OFB 的面积和，然
后联立直线与抛物线的方程，消去 x，得到关于 y 的一元二次方程，求得 A，B 的纵坐标，
进而求解．
【解析】过抛物线 2 4y x 的焦点 (1,0)F ，直线l 的方程： 1y x ，即 1x y ，
代入抛物线的方程并整理得 2 4 4 0y y ，解得 1 22 2 2, 2 2 2y y ，
这就是 A，B 两点的纵坐标． OAB 的面积为 1 2
1 1 1 4 2 2 22 2S OF y y ，
故答案为 2 2 ．
【名师点睛】本题考查直线与抛物线的交点，三角形的面积计算问题，关键是将所求三角形
的面积分解为以易求长度的线段 OF 为公共底边的两个三角形的面积的和．
2．抛物线 2 4x y 的准线方程为_________．
【试题来源】上海市浦东新区 2021 届高三上学期一模
【答案】 1y
【解析】由抛物线方程得 2p ，焦点为 (0, 1) ，准线方程为 1y ．故答案为 1y ．
3．已知抛物线 C ： 2 2y px （ 0p ），以 2,0P 为圆心，半径为 5 的圆与抛物线C 交
于 A， B 两点，若 17OA （点O 为坐标原点），则 p _________．
【试题来源】河南省周口市商丘市大联考 2020-2021 学年第一学期高中毕业班阶段性测试
（三）（文）
【答案】8
【分析】在 AOP 中，利用余弦定理求得 cos AOP ，进而得到 cos AOx ，然后由
17OA ，求得点 A 的坐标，代入抛物线方程求解．
【解析】如图所示：
在 AOP 中， 5AP ， 2OP ， 17OA ，
由余弦定理得
2 2 2 17cos 2 17
OP OA APAOP OP OA
，所以 17cos 17AOx ，
所以 1,4A ，代入方程 2 2 0y px p ，解得 8p ．故答案为 8
4．若一个圆的圆心是抛物线 2 4x y 的焦点，且被直线 3y x= + 截得的弦长为 2，则该圆
的标准方程是_________．
【试题来源】天津市红桥区 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】 2 2( 1) 3x y
【分析】根据抛物线的焦点，可求得圆心坐标，根据弦长为 2，结合弦长公式，可求得 2r ，
代入方程，即可得答案．
【解析】因为 2 4x y 的焦点为（0，1），所以所求圆的圆心为（0，1），设该圆半径为 r，
则圆心（0，1）到直线 3 0x y 的距离
2 2
0 1+3 = 2
1 1
d
，
所以弦长 2 2 22=2 2 2r d r ，解得 2 3r ，
故该圆的标准方程为 2 2( 1) 3x y ，故答案为 2 2( 1) 3x y
5．抛物线 2 4x y 上一点 M 到焦点的距离是 7，则点 M 到准线的距离是_________．
【试题来源】江西省贵溪市实验中学高中部 2021 届高三上学期三校生第三次月考
【答案】7
【分析】根据抛物线定义即可知点 M 到准线的距离．
【解析】由抛物线定义知抛物线上的点到焦点与点到准线的距离相等，所以 点 M 到准线
的距离为 7，故答案为 7．
6．平面直角坐标系 xOy 中，抛物线C ： 2 8y x 的焦点为 F ，M 是C 上的点，若 OFM△
的外接圆 E 与C 的准线相切，则圆 E 的面积为_________．
【试题来源】福建省莆田第十五中学 2019 届高三上学期期中考试（理）
【答案】 9
【分析】由圆的对称性画出图形，结合抛物线的性质求出半径，最后求出圆的面积．
【解析】由圆的对称性可知，圆 E 的圆心在线段 OF 的垂直平分线上，如下图所示
其中 A为线段 OF 的中点， B 为准线与圆 E 的切点，连接 BE ，C 为准线与 x 轴的交点
由题意可知， 1 2 3AC OA OC ，圆 E 的半径 3r BE AC
则圆 E 的面积 2 9S r
故答案为 9
7．已知抛物线C ： 2 2 0y px p 的焦点为 F ，过点 F 且斜率为 3 的直线l 交C 于 A，
B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 y 轴于 M ，N 两点，设线段 AB 的中点为Q ，若点 F 到
C 的准线的距离为 3，则sin QMN 的值为_________．
【试题来源】广东省广州市 2021 届高三上学期阶段训练
【答案】 5
8
【分析】由题意得 3p ，可得抛物线的方程和直线 AB 的方程，联立直线 AB 方程和抛物
线方程，运用根与系数关系和中点坐标公式可得 AB 的中点Q 的坐标和弦长 AB ，可得圆Q
的半径，在 QMN 中，由锐角三角函数的定义可得所求值
【解析】抛物线C ： 2 2 0y px p 的焦点为 ( ,0)2
pF ，准线方程为
2
px ，
由题意得 3p ，则抛物线方程为 2 36 , ( ,0)2y x F ，
则直线 AB 的方程为 33( )2y x ，由
2
33( )2
6
y x
y x
，得 2 273 15 04x x ，
设 ,A B 的横坐标分别为 1 2,x x ，则 1 2 5x x ，
所以 AB 的中点Q 的坐标为 5( , 3)2
， 1 2 5 3 8AB x x p ，
则圆Q 的半径为 4，在 QMN 中，
5
52sin 4 8QMN ，故答案为 5
8
【名师点睛】此题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，解题的
关键是联立直线方程和抛物线的方程，运用根与系数关系和中点坐标公式进行转化，考查方
程思想和计算能力，属于中档题
8．已知抛物线 2 2 0y px p 上横坐标为 1 的点到焦点的距离为 5
2
，则 p _________．
【试题来源】江苏省南通市海安县 2020-2021 学年高三上学期期中调研考试
【答案】3
【解析】由抛物线定义可得， 51 ( )2 2
p ，解得 3p ，故答案为 3
9．若抛物线 2 4y x 上一点 M 到焦点 F 的距离为 4，则 M 点的横坐标为_________．
【试题来源】上海市黄浦区格致中学 2021 届高三上学期期中
【答案】3
【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，列关系即得结果．
【解析】易见，抛物线 2 4y x 的准线方程为 1x ，设 M 0 0,x y ，则 M 到准线的距离
为 0 1x ，等于 M 到焦点 F 的距离为 4，即 0 1 4x ，故 0 3x ，即 M 点的横坐标为 3．
故答案为 3．
10．已知抛物线 C： 2 8y x 的焦点为 F ，准线为l ，点 P 是抛物线C 上第一象限内的一点，
过点 P 作l 的垂线，垂足为 M ，直线 PF 的斜率为 3 ，则| |MF _________．
【试题来源】湖南省永州市八县 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】8
【分析】由直线 PF 的斜率为 3 可知倾斜角为 60 ，由抛物线定义进而可得 FPM 为等
边三角形，根据几何关系即可得到答案．
【解析】因为直线 PF 的斜率为 3 ，所以 60PFx MPF ，
由抛物线定义：| |PF PM ，所以 FPM 为等边三角形，
设l 交 x 轴于点 A，则| | 2 | | 8MF AF ．故答案为 8．
11．已知抛物线C ： 2 2 0y px p 的准线方程为 2x ，焦点为 F ，准线与 x 轴的交
点为 A， B 为抛物线 C 上一点，且满足 5 2BF AB ，则 BF _________．
【试题来源】湖南省 2020-2021 学年高三上学期 11 月第三次月考
【答案】16 8 3
【分析】由 22
p 求出 4p ，可得抛物线方程为 2 8y x ，利用抛物线的定义可求出
2 5cos 5BAF ，再利用余弦定理可得答案．
【解析】由题可知抛物线C ： 2 2 0y px p ，准线方程 2x ，
则 2,0F ，有 22
p ，所以 4p ，所以抛物线方程为 C ： 2 8y x ，
因为 5 2BF AB ，作 BQ 准线，交于点Q ，由抛物线的定义得 BF BQ ，
所以 5 2BQ AB ，设 ABQ ，则 π0 2BAF
，
所 以 2 2 5cos 55
BQ
AB
， 在 三 角 形 ABF 中 ， 4AF ， 5 2BF AB ，
2 5cos 5BAF ，由余弦定理可得
2
2 25 5 2 54 2 42 2 5BF BF BF
，
解得 16 8 3BF ，故答案为16 8 3
【名师点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一
定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点
到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．
12．若抛物线 21
4y x 上一点 M 到焦点 F 的距离为 4，则点 M 的纵坐标的值为_________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学 2021 届高三上学期 12 月月考
【答案】3
【分析】根据抛物线方程求出焦点、准线方程，利用抛物线定义求解．
【解析】由 21
4y x 可得 2 4x y ，
所以该抛物线的焦点为 (0,1)F ，准线方程为 1y ，
设 ( , )M MM x y ，由抛物线的定义可得 1 4MMF y ，所以 3My ．故答案为 3
13．已知抛物线 2 2 0y px p 经过点 2,2 2M ，且焦点为 F ，则直线 MF 的斜率为
_________．
【试题来源】贵州省思南中学 2021 届高三上学期期中考试（文）
【答案】 2 2
【分析】已知点的坐标代入抛物线方程求得 p 值后可得焦点坐标，从而可得直线斜率．
【解析】由题意 2(2 2) 2 2p ，解得 2p ，所以焦点为 (1,0)F ，
所以 2 2 0 2 22 1MF
．故答案为 2 2 ．
14．已知点 M 在抛物线 y2＝4x 上，若以点 M 为圆心的圆与 x 轴和其准线 l 都相切，则点 M
到其顶点 O 的距离为_________．
【试题来源】北京市昌平区 2020 届高三第二次统一练习（二模）
【答案】 5
【分析】利用已知条件求出 M 的坐标，然后求解点 M 到其顶点 O 的距离．
【解析】点 M 在抛物线 y2＝4x 上，若以点 M 为圆心的圆与 x 轴和其准线 l 都相切，
设 M（x，x+1），可得（x+1）2＝4x，解得 x＝1，所以 M（1，2），
点 M 到其顶点 O 的距离为 2 22 1 5 ．故答案为 5 ．
15．设 P 是抛物线 2 4y x 上的一个动点， F 是焦点，若 4,2B ，则 PB PF 的最小值
为_________．
【试题来源】陕西省西安市第六十六中学 2019-2020 学年高三上学期期末（文）
【答案】5
【分析】求出抛物线的准线方程，把 P 到焦点 F 距离转化为它到准线的距离，然后利用三
点共线性质得最小值．
【解析】如图，过 P 作 PM与准线 1x 垂直，垂足为 M ，则 PF PM ，
所以 PF PB PM PB ，易知当 , ,B P M 三点共线时， PM PB 最小，最小值为
4 ( 1) 5 ．所以 PB PF 的最小值为 5．故答案为 5．
【名师点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，
解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．
三、双空题
1．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 F ，过点 ( 1,4)M 作 y 轴的垂线交抛物线C 于
点 A，且满足| | | |AF AM ，则抛物线C 的方程为_________；设直线 AF 交抛物线C 于另
一点 B ，则点 B 的纵坐标为_________．
【试题来源】北京市西城区 2021 届高三上学期数学期末试题
【答案】 2 4y x 1
【分析】根据抛物线的定义可得 1x 为抛物线的准线，即可求出抛物线方程，从而求出 A、
F 点的坐标，求出直线 AF 的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系即可得解；
【解析】依题意| | | |AF AM ，根据抛物线的定义可得 1x 为抛物线的准线，所以 12
p ，
即 2p ，所以抛物线方程为 2 4y x ，则 1,0F ，当 4y 时， 24 4x ，所以 4,4A ，
所以直线 AF 的方程为 4 13y x ，设直线与抛物线的另一个交点为 1 1,B x y ，联立直
线与抛物线方程
2 4
4 13
y x
y x
，消去 x 得 2 3 4 0y y ，所以 14 4y ，所以 1 1y
故答案为 2 4y x ； 1
【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要
用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，
若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．已知曲线 C 是平面内到定点 (0,1)F 和定直线 : 1l y 的距离之和等于 3 的动点 P 的轨
迹，则曲线C 的一条对称轴方程是________，| |PF 的最小值是________．
【试题来源】北京市 2020 届高三 6 月阶段性检测
【答案】 0x 1
2
【分析】设 ,P x y ，由题意可得 1 3PF y ，分 1 3y ， 1 2y ， 4 1y 三
种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及| |PF 的最小值．
【解析】设 ,P x y ，由题意可得 1 3PF y ，即 22 1 1 3x y y ，
当 1 3y ，即 2y 或 4y 时，无解；
当 1 2y 时， 22 1 2x y y ，则 2 32 3 1 2x y y
，此时曲线C 的一条对
称轴方程是 0x ； 22 3 1| | 1 2 2 2 2PF x y y ；即此时| |PF 的最小值是 1
2
；
当 4 1y 时， 22 1 4x y y ，则 2 310 15 12x y y
，此时曲线 C 的一条
对称轴方程是 0x ； 22 3 5| | 1 4 4 2 2PF x y y ；即此时| |PF 的最小值是 5
2
；
综上，| |PF 的最小值是 1
2
．故答案为 0x ； 1
2
．
【名师点睛】本题主要考查求抛物线的轨迹方程，考查抛物线的对称性，以及求抛物线上的
点到定点的距离问题，属于常考题型．
3．直线 l 过抛物线 2: 2 0C y px p 的焦点 1,0F ，且与 C 交于 ,A B 两点，则
p _________， 1 1
AF BF
_________．
【试题来源】内蒙古赤峰二中 2020 届普通高等学校招生第三次统一模拟考试（理）
【答案】2 1
【分析】由题意知 12
p ，从而 2p ，所以抛物线方程为 2 4y x ．联立方程，利用根与
系数关系可得结果．
【解析】由题意知 12
p ，从而 2p ，所以抛物线方程为 2 4y x ．
当直线 AB 斜率不存在时： 1x 代入，解得 2AF BF ，从而 1 1 1AF BF
．
当直线 AB 斜率存在时：设 AB 的方程为 1y k x ，联立
2
1
4
y k x
y x
，整理，得
2 2 2 22 4 0k x k x k ，设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则
2
1 2 2
1 2
2 4
1
kx x k
x x
从而 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 21 1 1 1 11 1 1 2
x x x x
AF BF x x x x x x x x
．
（方法二）利用二级结论： 1 1 2
AF BF p
，即可得结果．
【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算
能力，属于基础题．
4．已知 M 是曲线 2y x 上一动点， ( )1,0A ，过 M 作 x 轴的垂线l ，垂足为 H ，且l 与
曲线 4 0y xx
的交点为 P ，则 MA PH 的最小值为__________；若 M 的横坐标大
于 3，且 PAH 的面积与 APM△ 的面积之差为 3 ，则 M 的坐标为__________．
【试题来源】湖北省十堰市 2020 届高三下学期 6 月调研考试（理）
【答案】5 4,4
【分析】求出抛物线的焦点坐标，设 M 的横坐标为 0m m ，用 m 表示出 MA PH ，
由基本不等式可求出最值，求出 PAH 与 APM△ 的面积，然后作差，得到关于 m 的函数解
析式，利用导数求解单调性，即可求出 m ．
【解析】曲线 2y x 是抛物线 2 4y x 在 0y ≥ 的部分， 1,0A 是此抛物线的焦点，
设 M 的横坐标为 0m m ，则 41 2 4 1 5MA PH m m
，
当且仅当 =2m 时取等号．
PAH 的面积为
1
2 11 412
mS m m m
，
APM△ 的面积为 2
1 4 21 2 12S m m m mm m
，
则 1 2
2 1 2 41 1 3mS S m m m m mm m m
．
设 41 3f m m m mm
， 2
4 4 11 0
2
m mf m mm m m
，
则 f m 在 3, 上单调递减，又 4 3f ，
故方程 3f m 的解为 4m ，从而 M 的坐标为 4,4 ．故答案为 5； 4,4
【名师点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，考查基本不等式的应用和导数的应用，
考查转化思想及运算能力，属于中档题．
5．已知抛物线 2 2 0y px p 的焦点 F 到准线l 的距离为 2，若点 P 在抛物线上，且点 P
到l 的距离为 d ，Q 在圆 22 3 1x y 上，则 p ______， PQ d 的最小值为______．
【试题来源】甘肃省静宁县第一中学 2020 届高三第七次模拟考试（文）
【答案】2 10 1
【分析】由抛物线的定义直接可求出 2p = ，由于 d PF ，所以 PQ d PQ PF ，
则 PQ PF 的最小值就是圆心到抛物线的焦点的距离减去半径的长．
【解析】因为抛物线 2 2 0y px p 的焦点 F 到准线l 的距离为 2，
所以 2p = ， (1,0)F ，准线 : 1l x ，由抛物线的定义可知点 P 到l 的距离 d PF ，
所以 PQ d PQ PF ，设圆 22 3 1x y 的圆心为C ，则 (0,3)C ，圆的半径为 1
2 21 1 3 1 10 1PQ CFPF ，当且仅当 , , ,C P Q F 共线时等号成立，
所以 PQ d 的最小值为 10 1 ，故答案为 2； 10 1
6．已知点 4,4A 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 上，该抛物线的焦点为 F，过点 A 作直线
: 2
px 的垂线，垂足为 B，则 p __________， BAF 的平分线所在的直线方程为
_________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学 2020 届高三下学期高考适应性考试
【答案】2 2 4 0x y
【分析】代入 A点坐标可求得 p ， BAF 的平分线据直线即为直线 AF 的倾斜角的平分线
所在直线，由此易得其斜率．
【解析】因为点 4,4A 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 上，
所以 24 2 4p ，所以 2p ，则 (1,0)F ， 4 4
4 1 3AFk
，
设直线 AF 的倾斜角为 ，则
2
2tan4 2tan 3 1 tan 2
，解得 1tan 2 2
（ tan 22
舍去），
因为 AB l ，所以 / /AB x 轴，所以 AF 的倾斜角的平分线所在直线即为 BAF 的平分线
所在的直线，所以其方程为 14 ( 4)2y x ，即 2 4 0x y ．
故答案为 2； 2 4 0x y ．
【名师点睛】本题考查由抛物线上点的坐标求抛物线的焦参数 p ，考查求直线方程．解题
关键是确定 BAF 的平分线所在的直线即为 AF 的倾斜角的平分线所在直线．
7．已知抛物线C ： 2 4y x 的焦点为 F ，过点 1,1M 的直线与C 交于 A，B 两点，若 M
恰好为 AB 的中点，则 AF BF _________；直线 AB 的斜率为_________．
【试题来源】2020 届河北省衡水中学高三模拟（三）（理）
【答案】4 2
【分析】过点 A， B ， M 分别作准线 1x 的垂线，垂足分别为 1A ， 1B ， 1M ，根据梯
形的中位线以及抛物线的定义可得 AF BF 4；设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，由 2
1 14y x ，
2
2 24y x 作差，根据中点公式和斜率公式可得直线 AB 的斜率．
【解析】过点 A，B ，M 分别作准线 1x 的垂线，垂足分别为 1A ， 1B ， 1M ，则 1 2MM ；
根据梯形中位线定理，得 1 1 4AA BB ．
根据抛物线的定义，得 1 1| | | 4AF BF AA BB ∣ ．
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，由 2
1 14y x ， 2
2 24y x ，得 1 2 1 2 1 24y y y y x x ，
则直线 AB 的斜率为 1 2
1 2 1 2
4 4 22 1
y yk x x y y
．故答案为 4；2．
8．已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F ， 1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , )P x y P x y P x y 为抛物线 C 上的三
个动点，其中 1 2 3x x x 且 2 0,y 若 F 为 1 2 3PP P 的重心，记 1 2 3PP P 三边 1 2 1 3 2 3, ,PP PP P P
的中点到抛物线C 的准线的距离分别为 1 2 3, , ,d d d 且满足 1 3 22d d d ，则 2y _________；
1 3PP 所在直线的方程为_________．
【试题来源】2020 届河北省石家庄市高考模拟（文）
【答案】 4 2 2 0x y
【解析】由题意知 1 2 1 3 2 3
1 2 32, 2, 22 2 2
x x x x x xd d d ，代入 1 3 22d d d 得
1 2 3 1 32 2x x x x x ， 即 2 1 32x x x ． 由 F 为 1 2 3PP P 的 重 心 ， 则 有
1 2 3 1 2 32, 03 3
x x x y y y ，即 2 22 6x x ，即 2 2x ，所以 2 4y ，因此有
1 3 4y y ．故 1 3PP 的中点坐标为 (2,2) ，所在直线的斜率 1 3
1 3 1 3
8 2y yk x x y y
，故
1 3PP 所在直线的方程为 2 2 0x y ．故答案为-4； 2 2 0x y ．
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