江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学（理）试卷

1 江西省吉安市“省重点中学五校协作体” 2021 届高三第一次联考数学理科试卷 命题人：吉安县立中学： 吉水中学： 永丰中学： 时间：120 分钟 总分：150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1. 已知集合  5,2,1,3A ，     05 2| x xxB ，则 BA  ( ) A. B.  2,1,3 C.  5,2,1 D.  2,1 2. 已知i 为虚数单位，复数 1 2 1 iz i   ，则复数 z 在复平面上的对应点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 等差数列 na 中， 201063  aaa ，则 911 2aa  的值为( ) A. 20- B. 10- C. 10 D. 2 4. 7)2( xx  的展开式中 x 的系数为( ) A. 280- B. 280 C. 210- D. 210 5. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其 平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多 见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近 似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，且 1cos 4   ，则侧棱与底面外接圆半径的比为( ) A. 2 B. 15 152 C. 1 D. 4 1 6. 已知抛物线 2 6y x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线于 BA， 两点，且| | | | 12FA FB  ， 则 || AB ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7．已知直线 2y  和函数     2sin 0f x x     的图象相交，E ，F 为两个相邻的交点，若 π 4EF  ，则  ( ) A. 2 B. 2 或 6 C. 3 或 5 D. 3 8. 执行如图所示的程序框图，设所有输出数据构成的集合为 A ，若从集合 A 中任取一个元素 a ，则满 足函数 2( ) 2 2021f x x ax   在区间[2, ) 内单调递增的概率为( ) 否 是 结束 开始 3?x  | 2 1|y x  y输出 1x x 5x   A. 3 1 B. 3 2 C. 2 1 D. 4 3 9. 已知 A、B、C、D 四点都在表面积为 100π的球 O 的表面上，若 BC＝4 3 ，∠BAC＝120°，则球 O 内接三棱锥 A－BCD 的体积的最大值为( ) A. 3 312 B. 3 32 C. 3 332 D. 3 64 10. 已知圆 C： 1622  yx ，过点 P(8，0)的动直线l 与圆 C 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M， 则 M 的轨迹的长度为( ) A. 8 B. 3 8 C. 3 4 D. 3 34  11. 下列大小关系正确的是( ) A. 23.2 3.22  B. 25.3 5.32  C. 1 ln 2 ln 2 2 D. 5log3log 85  12. 已知定义在 R 上的函数 ( 2) 3y f x   是奇函数，当 (2, )x  时， 1( ) 42f x x x     ，则不等式   0)1ln(3)(  xxf 的解集为( ) A. (2, ) B. ),()0,1(  e C. (0,2) ( , )e  D. ( 1,0) (2, )  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若 0 2 0 3 0 x x y x y         ,则 yxz 3 的最大值是____________. 14. 向量 a ，b 满足 1|| a ， 2|| b ， a 与b 的夹角为 120 ，则  |2| ba __________. 15. 已知双曲线 )0,0(,1: 2 2 2 2  bab y a xC ，点 ),( 00 yxP 是直线 02  aaybx 上任意一点，若圆 2)()( 2 0 2 0  yyxx 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为__________. 2 16．定义：若数列{ }nt 满足 1 ( ) ( ) n n n n f tt t f t    ，则称该数列为函数 )(xf 的“切线—零点数列”.已知函数 qpxxxf  2)( 有两个零点 1- ， 2 ，数列 nx 为函数 )(xf 的“切线—零点数列”，设数列 na 满 足 1 3a  ， 2ln 1 n n n xa x   ，数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 2020S =_______. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17． （本小题满分 12 分） 已知函数 2 1cos)6cos(sin)( 2  xxxxf  . （1）当 x [ ,0] 时，求出函数 )(xf 的最大值，并写出对应的 x 的值； （2） ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，若 2 1)( Af ， 4 cb ，求 a 的最小值. 18．（本小题满分 12 分） 已知，如图四棱锥 ABCDP  中， 2 ADABPA ， ABCD 为 平行四边形， 3 ABC ， ABCDPA 平面 ， ME, 分别是 PDBC, 中点，点 F 在棱 PC 上. （1）证明：平面 AEF 平面 PAD； （2）若二面角 EAFP  的余弦值为 5 15- ，求直线 AM 与 平面 AEF 所成角的正弦值. 19．(本小题满分 12 分) 面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保 护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此吉安市在吉州区建立了公共自 行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预 先赠送 20 分，当诚信积分为 0 时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中 心以 1 元购 1 个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快 还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下： ①租用时间不超过 1 小时，免费； ②租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时，扣 1 分； ③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时，扣 2 分； ④租用时间为 3 小时以上且不超过 4 小时，扣 3 分； ⑤租车时间超过 4 小时除扣 3 分外，超出时间按每小时扣 2 分收费（不足 1 小时的部分按 1 小时 计算） 甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过 4 小时，设甲、乙租用 时间不超过一小时的概率分别是 0.4，0.3；租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.4， 0.5；租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时的概率分别是 0.1，0.1． （1）求甲比乙所扣积分多的概率； （2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望． 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     经过点      2 1,3P ，且离心率 2 3e . （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于 BA, 两点，点       03 34 ，Q 总满足 BQOAQO  ， 证明：直线l 过定点. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 )(,ln1)( Raxaxxxf  . （1）讨论函数 )(xf 的单调性； （2）已知函数 axxxfxxg  ln2)()( 2 ，(其中 )(xf  是 )(xf 的导函数)，若函数 )(xg 有两个极 值点 21, xx ，且 exx  21 ，求 )()( 21 xgxg  的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修 4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 4 2 x t y t     （t 为参数）.以坐标原点为极点，以 x 轴的 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 1 cos    . （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设点 P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求 PQ 的最小值. 23.[选修 4—5：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) 2 1 4 5f x x x    的最小值为 M . （1）求 M ； 3 （2）若正实数 a ，b ， c 满足 2a b c M   ，求： 2 2 2( 1) ( 2) ( 3)a b c     的最小值.