江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学（文）试卷

1 江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021 届 高三第一次联考文科数学试卷 命题人：吉水中学: 吉安县立中学： 永丰中学： 时间：120 分钟 满分 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知复数 i iz  3 ，则 || z =（ ） A． 4 B． 10 C． 5 D． 2 2.已知集合  | 0 2A x x   ，集合  | lg 0B x x  ，则 A B  （ ） A．   ,1 2,  B．   ,0 1,2  C． 1,2 D． 1,2 3.某学生准备参加某科目考试，在 12 次模拟考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课 考试成绩的众数与中位数分别为（ ） A．95，94 B．95，94.5 C．93，94.5 D．95，95 4.设 1 2 log 3a  ， 0.91 3b      ， 1 82c  ，则（ ） A． a b c  B． bca  C． c a b  D．b a c  5.某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（ ） A． 2 B．3 C． 4 D． 6 6.等差数列 }{ na 前 n 项和为 ns ， 121191  aaa ，则 13S  （ ） A.32 B. 42 C .52 D. 62 7．若抛物线  2 2 0y px p  上的点  2,0 xA 到其焦点的距离是点 A 到 y 轴距离的 2 倍，则 p 等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8.为了得到函数 2 sin3y x 的图象，可以将函数 sin 3 cos3y x x  的图象（ ） A．向右平移 4  个单位 B．向左平移 4  个单位 C．向右平移 12  个单位 D．向左平移 12  个单位 9.已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a xC： 的离心率为 3，双曲线 C 的一个焦点到它的一条渐近线的距 离为 22 ，则双曲线C 的方程为( ) A． 189 22  yx B. 18 2 2  yx C. 18 2 2  yx D. 198 22  yx 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为( ) A． 81 2  B． 81 4  C． 81 5  D． 81 7  11.已知函数  f x 是定义域为 R 的奇函数，且当 0x 时， xe xxf )( ，则曲线  y f x 在点  )1(1 f， 处的切线方程为（ ） A． 2y ex e  B． 2y ex e   C． 2y ex e  D． 2y ex e   12.已知数列 na 满足  13 4 1n na a n    ，且 1 9a  ，其前 n 项之和为 nS ，则满足不等式 16 125nS n   的最小整数 n 是（ ） A．9 B．8 C．6 D．7 二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 (1,2)a  , (3, )b m ,且 a b  ,则 m  ______. 14.已知实数 x ， y 满足不等式组 2 0 3 0 1 x y x y y          ，则目标函数 yxz 2 的最大值为 . 15.已知          1,log 1,4 xx xaxaxf a 是  ,  上的增函数，则 a 的取值范围为_________. 16.设函数 ( )f x 是定义在 R 上周期为 2 的函数，且对任意实数 x 恒有 ( ) ( ) 0f x f x   ，当 [ 1,0]x   时， 2( )f x x ，若 ( ) ( ) log x ag x f x  在 (0, )x  上有三个零点，则 a 的取值范围为_______． 2 三、解答题：共 70 分.解答 应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分）已知 ABC 的内角 CBA 、、 的对边分别为 cba 、、 ，且满足 2cos32sin 2 CBbBa  . （1）求角 A 的大小； （2）若 BCa sin2sin32  ， ，求 ABC 的面积. 18.（12 分）在四棱锥 P ABCD 中， PD⊥平面 ABCD ，底面四边形 ABCD 是边长为１的正方形， 侧棱 PA 与底面成的角是 45 ， ,M N 分别是 ,AB PC 的中点． （1）求证： MN ∥平面 PAD ； （2）求三棱锥 M PBC 的体积． 19.（12 分）某县为了在全县营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策， 为进一步了解此项政策对市民的影响程度，县政府在全县随机抽取了 100 名市民进行调查，其中男士比 女士少 20 人，表示政策无效的 25 人中有 10 人是女士. （1）完成下列 2 2 列联表，并判断是否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有关”； 政策有效 政策无效 总计 女士 10 男士 合计 25 100 （2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取 5 名市民，再从这 5 名市民中任意抽取 2 名，对 政策的有效性进行调研分析，求抽取的 2 人中有男士的概率. 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         . 20.（12 分）已知函数   ln 1f x ax x   ． (1)若 1a   ，求函数  f x 的最大值； (2)对任意的 0x  ，不等式   xf x e 恒成立，求实数 a 的取值范围． 21.（12 分）已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 (0 1)B ， . （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 : ( 2)l y k x  交椭圆于 ,P Q 两点，若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内，求实数 k 的取值 范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（10 分）【选修 4－4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程 为 01)4cos(2   ，曲线 2C 的参数方程为        sin3 cos2 y x （ 为参数）． （1）写出曲线 1C 的直角坐标方程和曲线 2C 的普通方程； （2）已知点 )1,0( P ，曲线 1C 与曲线 2C 相交于 A ， B 两点，求 PA PB . 23．（10 分）【选修 4－5：不等式选讲】 已知函数 |1||2|)(  xxxf （1）解不等式 5)( xf ； 2( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828 3 （2）若关于 x 的不等式 2( ) 2f x a a  有解，求实数 a 的取值范围．