山东省滨州市2021届高三上学期期末考试数学试卷 (解析版)
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山东省滨州市2021届高三上学期期末考试数学试卷 (解析版)

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资料简介
1 2020-2021 学年山东省滨州市高三(上)期末数学试卷 一、单项选择题(共 8 小题). 1.设集合 M={x|(x+3)(x﹣1)<0},N={x|0<x<4},则 M∩N=( ) A.(0,1) B.(﹣1,4) C.(0,3) D.(﹣1,3) 2.已知 i 为虚数单位,若 z= ,则 z 的共轭复数 =( ) A.cos θ ﹣isin θ B.sin θ ﹣icos θ C.sin θ +icos θ D.cos θ +isin θ3.《九章算术》是我国古代的数学巨著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上 造、公士,凡五人,共出百錢.欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?”意思是:“有 大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次变低)5 个人共出 100 钱,按照爵位从高到低 每人所出钱数成等差数列,这 5 个人各出多少钱?”在这个问题中,若大夫出 4 钱,则 上造出的钱数为( ) A.8 B.12 C.20 D.28 4.函数 f(x)=2(x3﹣x)e|x|的图象大致是( ) A. B. C. D. 5.已知平面向量 , 满足 •( + )=3,且| |=2,| |=1,则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 6.已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(﹣3,4),则 cos2 α =( ) A. B. C. D. 7.已知函数 f(x)对任意 x ∈ R 都有 f(x+2)=﹣f(x),且当 x ∈ [0,2)时,f(x)=log2 (x+1),则 f(2021)﹣f(﹣2021)=( ) A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 2 8.已知双曲线 C: 是直线 bx﹣ay+2a=0 上任意 一点,若(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=2 与双曲线 C 的右支没有公共点,则双曲线 C 的离心率 的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1, C.(2,+∞) D. 二、多项选择题(共 4 小题). 9.下列命题为真命题的是( ) A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a<b<0,则 a2<ab<b2 C.若 c>a>b>0,则 D.若 a>b>c>0,则 10.设 m,n 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面.下列说法正确的是( ) A.若 m⊥ α ,n⊥ α ,则 m∥n B.若 α ⊥ β ,m⊥ β ,m ⊄α ,则 m∥ αC.若 α ⊥ β ,m ⊂α ,则 m⊥ βD.若 m ⊂α ,n ⊂α ,m∥ β ,n∥ β ,则 α ∥ β11.二项展开式(2x﹣1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则( ) A.a0=﹣1 B.5a5+4a4+3a3+2a2+a1=10 C.a3=80 D.a1+a2+a3+a4+a5=1 12.已知函数 f(x)=asinx+bcosx(ab≠0),且对任意 x ∈ R 都有 , 则( ) A.f(x)的最小正周期为 2 πB.f(x)在 上单调递增 C. 是 f(x)的一个零点 D. 3 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.曲线 C:y=xex 在点 M(1,e)处的切线方程为 . 14.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线相交于 A,B 两点,则|AB|= . 15.甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的概率为 . 16.已知侧棱长为 的正四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上,当该棱锥体积 最大时,底面 ABCD 的边长为 ,此时球 O 的表面积为 . 四、解答题(共 6 小题). 17.在 ① 2sinA=3sinB; ② △ABC 的面积为 ; ③ b(bcosC+ccosB)=6 这三个条件中 任选一个补充在下面的问题中,并解答. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a﹣b=1,cosC=﹣ ,______. (1)求 c 的值; (2)求 tan2B 的值. 18.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3S3=S4+2S2,a1=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn=an+ ,求{cn}的前 n 项和 Tn. 19.2020 年春,我国武汉出现新型冠状病毒,感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难 等症状,严重的可导致肺炎甚至危及生命.新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心, 为了遏制病毒的传播,危难时刻全国人民众志成城、共克时艰.某校为了了解学生对新 型冠状病毒的防护认识,对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动,并从男生、女生 中各随机抽取 20 人,统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表: 女生成绩 成绩 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 7 7 4 2 规定:成绩在 80 分以上(含 80 分)的同学称为“防疫明星”. (1)根据以上数据,完成以下 2×2 列联表,并判断是否有 99%的把握认为“防疫明星” 与性别有关; 男生 女生 合计 4 防疫明星 非防疫明星 合计 (2)以样本估计总体,以频率估计概率,现从该校男生中随机抽取 4 人,其中“防疫明 星”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列与数学期望. 附:参考公式 其中 n=a+b+c+d. 参考数据: P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20.如图 1,一副标准的三角板中,∠B=∠E=90°,∠A=60°,DE=EF,BC=DF.将 三角板的边 BC 与 DF 重合,把两个三角板拼成一个空间图形,如图 2.设 M 是 AC 的中 点,N 是 BC 的中点. (1)求证:平面 ABC⊥平面 EMN; (2)若 AC=2EM=4,求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值. 21.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 在椭 5 圆 C 上,且满足 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于不同两点 M,N,且 OM⊥ON.证明:总存在一 个确定的圆与直线 l 相切,并求该圆的方程. 22.已知函数 f(x)=﹣ +lnx. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,证明 . 6 参考答案 一、单项选择题(共 8 小题). 1.设集合 M={x|(x+3)(x﹣1)<0},N={x|0<x<4},则 M∩N=( ) A.(0,1) B.(﹣1,4) C.(0,3) D.(﹣1,3) 解:M={x|(x+3)(x﹣1)<0}={x|﹣3<x<1}, 而 N={x|0<x<4},所以 M∩N={x|0<x<1}. 故选:A. 2.已知 i 为虚数单位,若 z= ,则 z 的共轭复数 =( ) A.cos θ ﹣isin θ B.sin θ ﹣icos θ C.sin θ +icos θ D.cos θ +isin θ解:∵z= = =cos θ ﹣isin θ , ∴ =cos θ +isin θ , 故选:D. 3.《九章算术》是我国古代的数学巨著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上 造、公士,凡五人,共出百錢.欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?”意思是:“有 大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次变低)5 个人共出 100 钱,按照爵位从高到低 每人所出钱数成等差数列,这 5 个人各出多少钱?”在这个问题中,若大夫出 4 钱,则 上造出的钱数为( ) A.8 B.12 C.20 D.28 解:设首项为 a1,公差为 d>0.由题意可得 a1=4, ①S5=5a1+ =100, ②由 ①② 联立可得 d=8, 则上造出的钱数为 a4=a1+3d=4+3×8=28, 故选:D. 4.函数 f(x)=2(x3﹣x)e|x|的图象大致是( ) 7 A. B. C. D. 解:函数 f(x)=2(x3﹣x)e|x|, 则 f(﹣x)=﹣2(x3﹣x)e|x|=﹣f(x), ∴f(x)是奇函数,排除 A 选项. 令 f(x)=0,可得 x=±1, 当 x= 时,可得 f( )= <0,图象在 x 轴的下方,排除 B,D 选项. 故选:C. 5.已知平面向量 , 满足 •( + )=3,且| |=2,| |=1,则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 解:∵ =2,∴ =4 又∵ •( + )=3, ∴ + • =4+ • =3,得 • =﹣1, 设 与 的夹角为 α , 则 • = cos α =﹣1,即 2×1×cos α =﹣1,得 cos α =﹣ ∵ α∈ [0, π ], ∴ α = 故选:C. 6.已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(﹣3,4),则 cos2 α =( ) A. B. C. D. 解:∵角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(﹣3,4), 8 ∴sin α = = , 则 cos2 α ==1﹣2sin2 α =1﹣2× =﹣ , 故选:B. 7.已知函数 f(x)对任意 x ∈ R 都有 f(x+2)=﹣f(x),且当 x ∈ [0,2)时,f(x)=log2 (x+1),则 f(2021)﹣f(﹣2021)=( ) A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 解:∵f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期为 4 的周期函数, ∵当 x ∈ [0,2)时,f(x)=log2(x+1), ∴f(2021)=f(1)=log22=1, 由 f(x+2)=﹣f(x),可得 f(x)=﹣f(x+2), f(﹣2021)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1, ∴f(2021)﹣f(﹣2021)=2. 故选:A. 8.已知双曲线 C: 是直线 bx﹣ay+2a=0 上任意 一点,若(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=2 与双曲线 C 的右支没有公共点,则双曲线 C 的离心率 的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1, C.(2,+∞) D. 解:双曲线 C: ﹣﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x,即 bx﹣ay =0, ∵P(x0,y0)是直线 bx﹣ay+2a=0 上任意一点, 则直线 bx﹣ay+2a=0 与直线 bx﹣ay=0 的距离 d= = , ∵圆(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=2 与双曲线 C 的右支没有公共点, ∴d≥ , 9 ∴ ≥ , 即 e= ≤ , 故 e 的取值范围为(1, ], 故选:B. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分。 9.下列命题为真命题的是( ) A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a<b<0,则 a2<ab<b2 C.若 c>a>b>0,则 D.若 a>b>c>0,则 解:当 c=0 时,ac2=bc2,所以 A 不正确; 若 a<b<0,例如 a=﹣2,b=﹣1,则 a2>b2,所以 B 不正确; c>a>b>0,a(c﹣b)﹣b(c﹣a)=ac﹣bc=c(a﹣b)>0,所以 ,所以 C 正确; 若 a>b>c>0,则 ﹣ = = >0,所以 D 正确; 故选:CD. 10.设 m,n 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面.下列说法正确的是( ) A.若 m⊥ α ,n⊥ α ,则 m∥n B.若 α ⊥ β ,m⊥ β ,m ⊄α ,则 m∥ αC.若 α ⊥ β ,m ⊂α ,则 m⊥ βD.若 m ⊂α ,n ⊂α ,m∥ β ,n∥ β ,则 α ∥ β解:由 m,n 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面,得: 对于 A,若 m⊥ α ,n⊥ α ,则由线面垂直的性质定理得 m∥n,故 A 正确; 对于 B,若 α ⊥ β ,m⊥ β ,m ⊄α ,则由面面垂直、线面垂直的性质得 m∥ α ,故 B 正确; 对于 C,若 α ⊥ β ,m ⊂α ,则 m 与 β 相交、平行或 m ⊂β ,故 C 错误; 对于 D,若 m ⊂α ,n ⊂α ,m∥ β ,n∥ β ,则 α 与 β 相交或平行,故 D 错误. 故选:AB. 10 11.二项展开式(2x﹣1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则( ) A.a0=﹣1 B.5a5+4a4+3a3+2a2+a1=10 C.a3=80 D.a1+a2+a3+a4+a5=1 解:由二项展开式(2x﹣1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, 令 x=0,可得 a0=﹣1,故 A 正确. 两边对 x 求导数,可得 10(2x﹣1)4=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1, 再令 x=1,可得 5a5+4a4+3a3+2a2+a1=10,故 B 正确; a3= •23=80,故 C 正确; 在展开式中,令 x=1,可得﹣1+a1+a2+a3+a4+a5=1,故 a1+a2+a3+a4+a5=2,故 D 错误, 故选:ABC. 12.已知函数 f(x)=asinx+bcosx(ab≠0),且对任意 x ∈ R 都有 , 则( ) A.f(x)的最小正周期为 2 πB.f(x)在 上单调递增 C. 是 f(x)的一个零点 D. 解:函数 f(x)=asinx+bcosx(ab≠0),且对任意 x ∈ R 都有 , 所以函数 f(x)的图象关于 x= 对称, 所以 f(0)=f( ),即 b= a﹣ b,所以 a= b,由 ab≠0,可得 = ,故 D 正确; 所以 f(x)= bsinx+bcosx=2b( sinx+ cosx)=2bsin(x+ ), 所以 f(x)的最小正周期为 2 π ,故 A 正确; 当 x ∈ ,x+ ∈ [﹣ , ],当 b>0 时,f(x)在 上单 调递增;当 b<0 时,f(x)在 上单调递减,故 B 错误. 11 当 x= 时,f(x)=0,故 是 f(x)的一个零点,故 C 正确. 故选:ACD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.曲线 C:y=xex 在点 M(1,e)处的切线方程为 y=2ex﹣e . 解:函数的 f(x)的导数 f′(x)=(1+x)ex, 则曲线在(1,e)处的切线斜率 k=f′(1)=2e, 则对应的切线方程为 y﹣e=2e(x﹣1), 即 y=2ex﹣e. 故答案为:y=2ex﹣e 14.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线相交于 A,B 两点,则|AB|= 8 . 解:抛物线焦点为(1,0) 则直线方程为 y=x﹣1,代入抛物线方程得 x2﹣6x+1=0 ∴x1+x2=6 根据抛物线的定义可知|AB|=x1+ +x2+ =x1+x2+p=6+2=8 故答案为:8 15.甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的概率为 . 解:甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程, 基本事件总数 n= =36, 甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同包含的基本事件个数 m= =30, 则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的概率为 P= = = . 故答案为: . 16.已知侧棱长为 的正四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上,当该棱锥体积 最大时,底面 ABCD 的边长为 2 ,此时球 O 的表面积为 9 π . 解:设四棱锥的高为 h, 则 = , 12 V′=2(1+h)(1﹣h), 当 h=1 时,V 最大,此时底面 ABCD 的边长为 2, 设球半径为 R,则 2+(R﹣1)2=R2, 解得 R= , ∴球 O 的表面积为 S=4 π ×( )2=9 π . 故答案为:2,9 π . 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在 ① 2sinA=3sinB; ② △ABC 的面积为 ; ③ b(bcosC+ccosB)=6 这三个条件中 任选一个补充在下面的问题中,并解答. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a﹣b=1,cosC=﹣ ,______. (1)求 c 的值; (2)求 tan2B 的值. 解:(1)若选择 ① , 因为 2sinA=3sinB,由正弦定理可得 2a=3b, 又 a﹣b=1,解得 a=3,b=2, 由余弦定理可得 c2=9+4﹣2× =16,解得 c=4; 若选择 ② , 因为 cosC=﹣ ,0<C< π ,可得 sinC= = , 由△ABC 的面积为 = absinC,解得 ab=6, 又 a﹣b=1,所以 b2+b﹣6=0,解得 b=2,或﹣3(舍去),所以 a=3, 由余弦定理,可得 c2=9+4﹣2× =16,解得 c=4; 若选择 ③ , 因为 b(bcosC+ccosB)=6, 由余弦定理可得 b(b• +c• )=6,整理可得 ab=6, 又 a﹣b=1,可得 b2+b﹣6=0,解得 b=2,或﹣3(舍去),可得 a=3, 由余弦定理,可得 c2=9+4﹣2× =16,解得 c=4; 13 (2)由余弦定理可得 cosB= = = , 又因为 0<B< π , 所以 sinB= = , 可得 tanB= ,tan2B= = = . 18.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3S3=S4+2S2,a1=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn=an+ ,求{cn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3S3=S4+2S2,a1=2.设公比为 q, 则 3(a3+a2+a1)=(a1+a2+a3+a4)+2(a1+a2), 整理得 2a3=a4, 故 q=2. 所以 . (2)由(1)得 bn=log2an=n, cn=an+ = , 故 = = . 19.2020 年春,我国武汉出现新型冠状病毒,感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难 等症状,严重的可导致肺炎甚至危及生命.新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心, 为了遏制病毒的传播,危难时刻全国人民众志成城、共克时艰.某校为了了解学生对新 型冠状病毒的防护认识,对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动,并从男生、女生 中各随机抽取 20 人,统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表: 女生成绩 成绩 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 7 7 4 2 规定:成绩在 80 分以上(含 80 分)的同学称为“防疫明星”. 14 (1)根据以上数据,完成以下 2×2 列联表,并判断是否有 99%的把握认为“防疫明星” 与性别有关; 男生 女生 合计 防疫明星 非防疫明星 合计 (2)以样本估计总体,以频率估计概率,现从该校男生中随机抽取 4 人,其中“防疫明 星”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列与数学期望. 附:参考公式 其中 n=a+b+c+d. 参考数据: P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解:(1)由频率分布直方图可得:男生中成绩大于等于 80 的频率为(0.035+0.025)× 10=0.6, 则男生中“防疫明星”的人数为 20×0.6=12 人,“非防疫明星”人数为 8 人, 由频数分布表可得,女生中“防疫明星”的人数为 6 人,“非防疫明星”人数为 14 人, 所以 2×2 列联表为: 男生 女生 合计 防疫明星 12 6 18 非防疫明星 8 14 22 合计 20 20 40 15 所以 K , 所以有 99%的把握认为“防疫明星”与性别有关; (2)从 20 名男生中随机抽取 1 人,是防疫明星的概率为 , 从该校男生中随机抽取 4 人,其中“防疫明星”的人数 X 服从二项分布, 即 X~B(4, ),X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 则 P(X=0)=C ,P(X=1)=C , P(X=2)=C ,P(X=3)=C , P(X=4)=C , 所以随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 所以 X 的数学期望为 E(X)=4× . 20.如图 1,一副标准的三角板中,∠B=∠E=90°,∠A=60°,DE=EF,BC=DF.将 三角板的边 BC 与 DF 重合,把两个三角板拼成一个空间图形,如图 2.设 M 是 AC 的中 点,N 是 BC 的中点. (1)求证:平面 ABC⊥平面 EMN; (2)若 AC=2EM=4,求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值. 【解答】(1)证明:因为 M,N 分别为 AC,BC 的中点, 所以 MN∥AB,又因为 AB⊥BC,所以 MN⊥BC, 因为 DE=EF,所以 EN⊥BC, 因为 MN∩EN=N,且 MN,EN 都在平面 EMN 内, 16 所以 BC⊥平面 EMN,因为 BC ⊂ 平面 ABC, 所以平面 ABC⊥平面 EMN; (2)解:在 Rt△ABC 中,∠BAC=60°,AC=4, 所以 AB=2,BC= , 所以 MN=1,EN= , 又因为 EM=2,所以 EM2=EN2+MN2,所以 EN⊥NM, 又因为 EN⊥BC,MN 与 BC 是平面 ABC 内的相交直线, 所以 EN⊥平面 ABC,又 AC ⊂ 平面 ABC,所以 EN⊥AC, 过点 N 作 NG⊥AC 于点 G,连结 EG, 则 AC⊥平面 EGN,又 EG ⊂ 平面 EGN,所以 EG⊥AC, 所以∠EGN 为二面角 E﹣AC﹣B 的平面角, 在 Rt△MNC 中,MN=1,NC= ,MC=2,所以 NG= , 在 Rt△ENG 中,EN= ,所以 EG= , 所以 , 故二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值为 . 21.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 在椭 圆 C 上,且满足 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于不同两点 M,N,且 OM⊥ON.证明:总存在一 个确定的圆与直线 l 相切,并求该圆的方程. 解:(1)∵ ,∴ , 即 ,得 , 17 又点 P(2, )在椭圆 C 上,∴F1(﹣2,0),F2(2,0), 且由椭圆定义, 得 2a=|PF1|+|PF2|= = . ∴ ,b2=a2﹣4=4, 则椭圆 C 的标准方程为 ; 证明:(2)联立 ,消去 y,得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2﹣4)=0. ∵直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于不同两点 M,N, ∴△=16k2m2﹣8(2k2+1)(m2﹣4)=8(8k2+4﹣m2)>0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 , , ∴ =x1x2+(kx1+m)(kx2+m) = = , 又 OM⊥ON,∴ , 即 2(k2+1)(m2﹣4)﹣4k2m2+m2(2k2+1)=0. ∴8(k2+1)=3m2. ∴原点 O 到直线 l 的距离 d= . ∴存在定圆 与直线 l 相切. 22.已知函数 f(x)=﹣ +lnx. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,证明 . 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 18 f′(x)= , 当 a≥0 时,f′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当 a<0 时,x ∈ (0,﹣a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, x ∈ (﹣a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当 a<0 时,f(x)在(0,﹣a)单调递减,f(x)在(﹣a,+∞)调递增. (2)当 a=1 时,f(x)=﹣ +lnx, 令 g(x)=f( )﹣(﹣ex),x ∈ (0,+∞), 则 g(x)=﹣x﹣lnx+ex,g′(x)=1﹣ +ex, 令 h(x)=﹣1﹣ +ex,x ∈ (0,+∞), h′(x)= +ex>0 恒成立, 所以 h(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为 h( )=﹣3+ <0,h(1)=﹣2+e>0, 所以存在唯一的 x0 ∈ ( ,1),使得 h(x0)=﹣1﹣ +e =0, 即 e =1+ ① , 当 x ∈ (0,x0)时,h(x)<0,即 g′(x)<0,所以 g(x)在(0,x0)上单调递减, 当 x ∈ (x0,+∞)时,h(x)>0,即 g′(x)>0,所以 g(x)在(x0,+∞)上单调递 增, 所以 g(x)min=g(x0)=﹣x0﹣lnx0+e , ②把 ① 代入 ② 得 g(x0)=﹣x0﹣lnx0+1+ ,x0 ∈ ( ,1), 设 φ (x)=﹣x﹣lnx+1+ ,x ∈ ( ,1), 则 φ ′(x)=﹣1﹣ ﹣ <0 恒成立, 所以 φ (x)在( ,1)上单调递减, 所以 φ (x)> φ (1)=1>0, 19 因为 x0 ∈ ( ,1), 所以 φ (x0)>0,即 g(x0)>0, 所以 g(x)>0, 所以 a=1 时,f( )>﹣ex.

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