人教版高中数学必修五同课异构课件:3.4 基本不等式.2 探究导学课型 .ppt
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人教版高中数学必修五同课异构课件:3.4 基本不等式.2 探究导学课型 .ppt

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时间:2020-12-23

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资料简介
第2课时  基本不等式的应用 1.掌握基本不等式及其变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题及实际问题. 1.基本不等式与最值 设x,y为正实数. (1)若x+y=s(定值),则当________时,xy有最大值____. (2)若xy=p(定值),则当_________时,x+y有最小值_____. 2.利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时,需满足 (1)x,y必须是_____. (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为_____;求和x+y的最 小值时,应看积xy是否为_____. 正数 定值 定值 1.已知x0,y>0,且 =1,求x+y的最小值. 【解题指南】1.只需x+ -1的最小值大于等于a即可.故转化 为求x+ -1的最小值. 2.要求x+y的最小值,根据基本不等式应构建两个数(式)的积 为定值,因而需要对条件进行变形,可利用“1”的代换,亦 可利用已知条件消元. 【自主解答】1.当x>-1时,不等式x+ -1≥a恒成立,因此 只需h(x)=x+ -1的最小值大于等于a成立即可;x+ -1 =(x+1)+ -2≥ -2=0,所以h(x)min=0,所以a≤0. 答案:0 2.方法一:(1的代换)因为 =1, 所以x+y=(x+y)· 因为x>0,y>0,所以 当且仅当 即y=3x ①时,取“=”. 又 =1,② 解①②可得x=4,y=12. 所以当x=4,y=12时,x+y的最小值是16. 方法二:(消元法)由 =1,得x= 因为x>0,y>0,所以y>9. 所以 =(y-9)+ +10. 因为y>9,所以y-9>0, 所以(y-9)+ 当且仅当y-9= 即y=12时,取“=”,此时x=4, 所以当x=4,y=12时,x+y的最小值是16. 【规律总结】运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型 及处理技巧 (1)若已知等式,则要用基本不等式进行缩放,得出不等式, 进而解出该不等式. (2)若已知不等式,则要先将字母参数分离出来,转化为求函 数式的最值,而求函数式的最值时,可能用到基本不等式. 【变式训练】若a>b>c,且 恒成立,求m的取 值范围. 【解题指南】先将 变形,再利用基本不等式 求出m的取值范围. 【解析】由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,因此原不等 式等价于m≤ 要使原不等式恒成立,只需 的最小值不小于m即可,因为 当且仅当 即2b=a+c时, 等号成立.所以m≤4. 类型三 利用基本不等式解实际应用题  1.某人要买房,调查数据显示:随着楼层的升高,上下楼耗费 的体力增多,因此不满意度升高,当住第n层楼时,上下楼造 成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为 安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低,当住第n层 楼时,环境不满意度为 ,则此人应选(  ) A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼 2.某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规 划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一 层的建筑费用为每平方米4000元,从第二层开始,每一层的建 筑费用比其下面一层每平方米增加100元. (1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的 表达式(总开发费用=总建筑费用+购地费用). (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼 应建为多少层? 【解题指南】1.建立关于n的函数,讨论其最小值. 2.(1)根据每层建筑面积及每层每平方米的建筑费用的关系, 得出总建筑费用,从而得出y=f(x)的表达式. (2)根据(1)中y=f(x)的表达式,把函数的解析式变换成两个数 (式子)的积为定值的形式,然后利用基本不等式求解. 【自主解答】1.选C.只需求不满意度n+ 的最小值.由均值不 等式得n+ ≥4 ,当且仅当n= ,即n=2 ≈3时,n+ 取 得最小值. 2.(1)由已知,写字楼最下层的总建筑费用为4000×2000= 8000000(元)=800(万元),从第二层开始,每层的建筑总费用 比其下面一层多100×2000=200000(元)=20(万元),写字楼从 下到上各层的总建筑费用构成以800为首项,以20为公差的等 差数列,所以函数表达式为f(x)=800x+ ×20+9000=10x2 +790x+9000(x∈N*). (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)= ×10000= ≥50×(2 +79)=6950(元),当且仅当x= ,即x=30时等号成立,故该 写字楼应建为30层. 【规律总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数. (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大或最 小值问题. (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值. (4)写出正确答案. 【变式训练】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方 形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道 (阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人 行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比 =x(x>1),求公园ABCD所占 面积S关于x的函数S(x)的解析式. (2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何 设计? 【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米, 由a2x=4 000,得 则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a +160 =4 000+(8x+20)· +160= +4 160(x>1). (2) =5 760,当且仅当 即x=2.5时,等号成立,此 时a=40,ax=100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1 应设计为长100米,宽40米. 【拓展类型】基本不等式的综合应用  1.已知等比数列a1,a2,a3的和为定值m(m>0),且其公比q

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