人教版高中数学必修五同课异构课件：3.4 基本不等式.1 精讲优练课型 .ppt

3.4 基本不等式： 第1课时 基本不等式 【知识提炼】 重要不等式与基本不等式 a=b 几何平均数 算术平均数 2ab 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)基本不等式中的a，b可以是代数式吗？ 提示：可以，但代数式的值必须是正数，否则不成立. (2) 与 是等价的吗？ 提示：不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 2.下列不等式正确的是(  ) 【解析】选C.因为a2+ 中a2>0， 所以 即 所以a2+ ≥2，故选C. 3.下列不等式中，对任意实数x都成立的是(  ) A.lg(x2+1)≥lgx B.x2+1>2x C. ≤1 D.logax+logxa≥2 【解析】选C.A中，x≤0时不成立；在B中，x=1时不成 立；对于D，当logax0，b>0)：①a2+1>2a；② ≤2； ③ab≤ ；④ 其中正确的有______. 【解析】a2+1=a2+12≥2a，故①错；由 ≤2，可得 a+b≤2 ，②显然错误；ab≤ ⇔2ab≤a2+b2， ③正确； ≤ ⇔2ab≤a2+b2，④正确. 答案：③④ 【知识探究】 知识点  基本不等式 观察如图所示的内容，回答下列问题： 问题1：基本不等式中对于a，b有何限定条件？ 问题2：如何用几何法推导出基本不等式？ 【总结提升】对基本不等式的理解 (1)对于条件的理解 ①a，b必须为正数. ②当a=b且只有在这唯一的条件下等号才成立. (2)几何解释 以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a， CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，则CD= . 如图所示： 因为圆的半径为 ，所以 ≥ ，其中当且仅当 点C与圆心重合，即a=b时，等号成立，则该定理又可 以叙述为：半径不小于半弦. 【题型探究】 类型一 对基本不等式的理解及其简单应用 【典例】1.下列不等式①a2+1>2a；②a2+4≥4a； ③ ≥2；④ ≤ab.其中恒成立的是(  ) A.①④ B.③④ C.②③ D.①② 2.(2015·营口高二检测)已知a>0，b>0，则下列不等 式不一定成立的是(  ) 【解题探究】1.典例1中如何判断④是否成立？ 提示：当a，b异号时，式子 恒大于零，而ab2a错 误.由于a2-4a+4=(a-2)2≥0，所以a2+4≥4a恒成立； 同号，所以 ≥2恒成立.当a，b异号时， 式子 恒大于零，而ab1，b>1时，lga+lgb≥ C.当a>4时， D.当ab1，b>1时，lga，lgb均为正数，所以 lga+lgb≥ 成立. 类型二 利用基本不等式进行大小比较与不等式的证明 【典例】1.(2015·四平高二检测)已知a>0，b>0，则 中最小的是(  ) 2.(2015·徐州高二检测)设a，b，c都是正数，求证： 【解题探究】1.典例1中可采取哪些方法进行比较大小 ？ 提示：可采用特殊值法或利用基本不等式进行比较大 小. 2.典例2中如何利用基本不等式将 变形？ 提示：因为a，b，c都是正数，所以 也都是正 数.所以 【解析】1.选D.方法一：特殊值法. 令a=4，b=2，则 所以 最小. 方法二： 由 可知 最小. 2.因为a，b，c都是正数，所以 也都是正数. 所以 三式相加得 即 ，当且仅当a=b=c时取等号. 【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例2改为“a，b，c都是负数， 求证： 【证明】因为a，b，c都是负数，所以 也都是负 数.所以 三式相加得2( )≤-2(a+b+c)， 即 ， 当且仅当a=b=c时取等号. 2.(改变问法)若典例2的条件不变，如何证明 【解析】因为a，b，c都是正数，所以 因此 即 当且仅当a=b=c时取等号. 【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的策略与注 意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助 不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐 步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等 式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形 成基本不等式模型，再使用. 【补偿训练】已知正数0