第三章 § 3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；
3.掌握两点间距离公式并会应用.
问题导学 题型探究 达标检测
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知识点一 直线的交点与直线的方程组解的关系
思考1 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？
答案 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐
标是其方程的解.反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
思考2 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.
答案答案
思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有
何对应关系？
答案 (1)若方程组无解，则l1∥l2；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合.答案
1.两直线的交点
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l1 l1：A1x＋B1y＋C1＝0
点A在直线l1上
直线l1与l2的交点是A
A1a＋B1b＋C1＝0答案
2.两直线的位置关系
方程组 的解 一组 无数组
直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个
直线l1与l2的位置关系 重合
无解
无数个
相交 平行知识点二 两点间的距离
已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？
答案 |P1P2|＝|x2－x1|.
思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？
答案 |P1P2|＝|y2－y1|.
答案 返回思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由.
答案 如图，
在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
答案 返回题型探究 重点难点 个个击破
类型一 两条直线的交点问题
例1 (1)直线l1：2x－6y＝0与直线l2： 交点的个数为___.
②×6－①，得3＝0矛盾，
故方程组无解，
∴两直线无交点.
0
解析答案(2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则
k＝________.
解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，
解得k＝±6.
±6
解析答案(3)直线l过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，
则直线l的方程为_______________.
反思与感悟
∴两直线交点为(－1，－2)，
2x－y＝0
解析答案反思与感悟
两条直线相交的判定方法
方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二 两直线斜率都存在且斜率不等
方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟踪训练1 (1)直线l1：2x－6y＋3＝0与l2： 的位置关系是
______.
解析答案
②×6，整理得2x－6y＋3＝0，
所以①、②可以化成同一方程，
即①和②表示同一条直线，
∴l1与l2重合.
重合(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0的交点，且与x＋3y－1＝0
平行的直线l的方程.
设所求的直线方程为x＋3y＋c＝0，
即5x＋15y＋24＝0.
解析答案类型二 两点间的距离公式及其应用
例2 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)判断△ABC的形状；
解析答案∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|
，
∴△ABC是等腰直角三角形.
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，
∴△ABC是等腰直角三角形.解析答案反思与感悟
(2)求△ABC的面积.
∴△ABC的面积为26.反思与感悟
(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，
以确定证明的方向.
(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主
要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边
是否相等或是否满足勾股定理.跟踪训练2 已知点A(－1,2)，B(2， )，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|
，并求|PA|的值.
解析答案
∵|PA|＝|PB|，
得x＝1，∴P(1,0)，类型三 运用坐标法解决平面几何问题
例3 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2
＝2(|AD|2＋|DC|2).
解析答案反思与感悟
证明 设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，
如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0).
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).反思与感悟
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
解析答案
故|AC|＝|BD|.解析答案
类型四 直线恒过定点问题
例4 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐
标是____________.解析答案
解析 方法一 取m＝1，得直线y＝－4.
取m＝ ，得直线x＝9.
故两直线的交点为(9，－4)，
下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4).
将x＝9，y＝－4代入方程，
左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边，
故直线恒过点(9，－4).
反思与感悟方法二 直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
∵对任意m该方程恒成立，
故直线恒过定点(9，－4).
答案 (9，－4)
反思与感悟反思与感悟
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然
后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x
＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点
可由方程组 解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表
示的所有直线必过定点(x0，y0).返回解析答案
跟踪训练4 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y
－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.解析答案
解 方法一 对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；
令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
得两条直线的交点坐标为(2，－3).
将点(2，－3)代入方程组左边，
得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.
这表明不论m取什么实数，
所给直线均经过定点(2，－3).返回
方法二 将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0
整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，
所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).1 2 3达标检测 4
解析答案
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点
是( )B1 2 3 4
解析答案
2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0
的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0
解析 首先解得交点坐标为(1,6)，
再根据垂直关系得斜率为－2，
可得方程y－6＝－2(x－1)，
即2x＋y－8＝0.
A1 2 3 4
3.已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则 的值为( )
解析 由两点间的距离公式，
D
解析答案1 2 3 4
解析答案
4.当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这
个定点的坐标为__________.
解析 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，
则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即 (－1，－
2).
(－1，－2)规律与方法
1.方程组 有惟一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两
条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋
C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直
线(不含l2).
2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方
程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ 与两
点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.
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