人教版高中数学必修五同课异构课件：3.3.2简单的线性规划问题 教学能手示范课 .ppt

x y o 3.3.2简单的线性规划问题 引例 • 某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产 品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时 1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂 所有可能的日生产安排是什么？ 解决问题 • （1）用不等式组表示问题中的限制条件：  设甲、乙两种产品 分别生产x、y件， 由已知条件可得二 元一次不等式组： 解决问题 • （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影 部分的整点（坐标 为整数的点）就代 表所有可能的日生 产安排。 O x y x – y = 6 解决问题 • （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利3万元， 采用哪种生产安排利润最大？ 解决问题 • （4）尝试解答： 设工厂获得的利润为z，则z = 2x + 3y， ——求z的最大值。 几何画板 解决问题 • （5）获得结果： 每天生产甲产品4件，乙产品2件时， 工厂可获得最大利润14万元 相关概念 y x4 8 4 3 o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解 （x，y）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条 件。 由所有可行解组成 的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。 可行域 可行解 最优解 例5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg ？ 食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07 分析：将已知数据列成表格 解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z ，那么 目标函数为：z＝28x＋21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 x y o 5/7 5/7 6/7 3/7 3/7 6/7 它表示斜率为 随z变化的一组平行直 线系 是直线在y轴上 的截距，当截距最 小时，z的值最小。 M 如图可见，当直线 z＝28x＋21y 经过可 行域上的点M时，截距 最小，即z最小。 M点是两条直线的交点，解方程组 得M点的坐标为： 所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为16元。 例6 在上一节例3中,各截得这两种钢板多少 张可得所需A,B,C三种规格成品,且使所用钢 板张数最少? 例3 要将两种大小不同的钢板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格，每张钢板 可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： A规格 Ｂ规格 Ｃ规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格的成品分别为15，18，27块， 用数学关系式和图形表示上述要求。 0 2 4 8 10 14 18 6 12 16 2 6 12 14 224 108 16 18 20 解：设需要截第一种钢板x张，第二种 钢板y张，则 2x+y≧ 15 X+2y ≧ 18 X+3y ≧ 27 x ≥0,x∈N y ≥0,y∈N 2x+y=15 X+2y= 18 24 X+3y=2 7 x=3,y=9;x=4,y=8 89.例六 .gsp 例7 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： x y o 解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图： 把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。 x y o 由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。 故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。 M 容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin＝3 解线性规划问题的步骤： （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。 （1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； 巩固练习 1.设x,y满足约束条件 则 的最大值是_______. 2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别 为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设 备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、 2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和 500h。如何安排生产可使收入最大？ 解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收 入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是 Z＝ 3x＋2y 变形为 它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。 X Y O 400 200 250 50 0 当直线经过点M时，截距最大，Z最大。 M 解方程组 可得M（200， 100）Z 的最大值Z ＝ 3x＋2y＝800 故生产甲产品200 件，乙产品100件， 收入最大，为80万 元。 线形目标函数——目标函数是关于变量的一次 解析式 目标函数——把要求的最大值的函数 线形规划——在线性约束条件下求线性目标函 数的最大值或最小值问题 可行解——满足线形约束条件的解叫做可行解 可行域——由所有可行解组成的集合 小结: 四、作业 习题3.3 B组：2、3