第2课时
简单线性规划的应用
类型一 线性规划的实际应用问题
1.(2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排
900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，
租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超
过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( )
A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元
2.某家具厂有木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱
出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每
个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润
80元，出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少.
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少.
(3)怎样安排生产可使所获利润最大.
【解题指南】1.把实际问题转化为线性规划问题求解.
2.设生产书桌x张，生产书橱y个，可得目标函数为
z=80x+120y.(1)求当y=0时的最大利润，(2)求当x=0时的最大
利润，(3)找出约束条件，画出可行域，利用线性规划解题.
【自主解答】1.选C.设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则
相应的租金为1600x+2400y，依题意，x，y还需满足：
x+y≤21，y≤x+7，36x+60y≥900，于是问题等价于求满足约
束条件 且使目标函数z=1600x+2400y达到最小
的x，y，作可行域如图所示，可行域的三个
顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，
R(15，6)，由图可知，当直线z=1600x+
2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+
2400y在y轴上的截距 最小，即z取得最小值.
故应配备A型车5辆，B型车12辆.
zmin=1600x+2400y=1600×5+2400×12=36800(元).
2.设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为
z=80x+120y，根据题知，约束条件为
画出可行域如图所示，
(1)若只生产书桌，则y=0，此时目标函数z=80x，由图可知
zmax=80×300=24000，即只生产书桌，可获利润24000元.
(2)若只生产书橱，则x=0，此时目标函数z=120y，由图可知
zmax=120×450=54000，即只生产书橱，可获利润54000元.
(3)作直线l：80x+120y=0，并平移直线l，由图可知，当直线l
过点C时，z取得最大值，解 得C(100，400)，所
以zmax=80×100+120×400=56000，即生产100张书桌，400个书
橱，可获得最大利润.
【规律总结】解决线性规划的实际问题的步骤
(1)转化：设出未知数，写出线性约束条件与目标函数，将实
际应用问题转化为数学上的线性规划问题.
(2)求解：解这个线性规划问题.
(3)作答：根据应用题提出的问题作答.
【拓展延伸】解答线性规划的实际应用问题应注意的问题
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此
认真审题非常重要.
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.
(3)结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为
正整数、非负数等.
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是
不等式，而线性目标函数却是一个等式.
(5)图对于解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在
图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.
【变式训练】某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产
品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，
B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产
品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超
过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少
？
【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：
A原料用量 B原料用量
甲产品x吨 3x 2x
乙产品y吨 y 3y
则有 目标函数z=5x+3y，
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x=3，
y=4时可获得最大利润为27万元.
类型二 线性规划中的最优整数解问题
1.富民鲜花店向禾青四组花卉种植户预定两种花卉：百合、玫
瑰，其中每株收购价百合为4元，玫瑰为3元，鲜花店需要百合
在1100～1400株之间，玫瑰在800～1200株之间.已知种植户只
有资金5000元去购买花苗在自家90m2的温室中培育.每株花苗价
格百合2.5元，玫瑰2元.由于百合与玫瑰的生长所需要的采光
条件不同，百合每株大约占地0.05m2，玫瑰大约占地
0.03m2，若种植户要获得最大利润，应种植百合 株，
种植玫瑰 株.
2.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、
可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，
甲、乙两种货物应各托运多少箱.
货物 每箱体
积/m3
每箱重
量/kg
每箱利
润/百元
甲 5 2 20
乙 4 5 10
托运能力
限制数 24 13
【解题指南】1.设出百合与玫瑰种植的数量，建立数学模型，
利用线性规划求解.
2.设甲货物x箱，乙货物y箱，根据题意列出目标函数与约束条
件，利用线性规划求解.
【自主解答】1.设种植百合x株，玫瑰y株，则种植户所获得的
利润为z=(4-2.5)x+(3-2)y=1.5x+y，约束条件为
作出不等式组表示的可行域，
如图所示，
作出直线l：1.5x+y=0，把直线l向上平移，由图可知，当直线
z=1.5x+y过C点时，z取得最大值.由 得
C(1200，1000)，即当种植百合1200株，玫瑰1000株时，种植
户可获得最大利润.
答案：1200 1000
2.设甲货物托运x箱，乙货物托运y箱，利润为z，由题意得
z=20x+10y，
作出可行域如图所示，作直线l：20x+10y=0，当直线z=20x+
10y经过可行域上的点A时，z最大，又A(4.8，0)不是整点，
解方程组 得点B(4，1)为整点.所以甲货物托运4
箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润.
【延伸探究】在题2中，若托运甲货物为每箱10(百元)，托运
乙货物为每箱40(百元)，其他条件不变，那么甲、乙两种货物
应各托运多少箱，可获得最大利润.
【解析】目标函数为z=10x+40y，由图可知，当直线z=10x+40y
经过点C时，z最大.又点C（0， ）不是整点，而整点(0，2)，
(1，2)，(3，1)，(4，1)都在可行域内，将各点代入z=10x+
40y，可知当 时，z最大，即甲货物托运1箱，乙货物托
运2箱，可获得最大利润.
【规律总结】求线性规划中最优整数解的三种方法
(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线，
最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解.
(2)筛选优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐
标逐一代入目标函数求值，经比较得最优解.
(3)调整最优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定
方程的知识调整最优值，最后筛选出最优解.
提醒：在应用线性规划解决实际问题时，要考虑到未知量的实
际意义，特别是有些未知量为整数这一限制条件.
【变式训练】求z=600x+300y的最大值，使x，y满足约束条件
且x，y均为整数.
【解题指南】画出约束条件表示的平面区域即可行域，再分析
求解.
【解析】约束条件表示的可行域如图所示，由z=600x+300y，
得y=-2x+ 平移直线y=-2x，由图可知，直线越往上平移z
的值越大.易求A(0，126)，B(100，0)，
由方程组 解得
即点C的坐标为 因为题设要求整点(x，y)，使z=
600x+300y取得最大值，而整点(69，91)，(70，90)都在可行
域内，将两点坐标代入z=600x+300y，可知当 时，z取
得最大值，所以zmax=600×70+300×90=69000.
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