人教版高中数学必修五同课异构课件:3.3.2 简单的线性规划问题 .1 探究导学课型 .ppt
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人教版高中数学必修五同课异构课件:3.3.2 简单的线性规划问题 .1 探究导学课型 .ppt

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资料简介
3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题 1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本 概念. 2.了解线性规划的意义. 3.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 线性规划的基本概念 (1)约束条件:由变量的不等式(或方程)组成的_________. (2)线性约束条件:关于x,y的___________(或方程)组成的不 等式组. (3)目标函数:欲求最大值或最小值的关于变量x,y的函数解 析式. 不等式组 一次不等式 (4)线性目标函数:关于变量x,y的___________. (5)可行解:满足_____________的解(x,y). (6)可行域:所有_______组成的集合. (7)最优解:使目标函数取得_______________的可行解. (8)线性规划问题:在线性约束条件下,求线性目标函数的 _______________问题. 一次解析式 线性约束条件 可行解 最大值或最小值 最大值或最小值 1.若实数x,y满足 则S=2x+y-1的最大值是    . 【解析】可行域为如图所示的阴影部分, 当可行解为A(2,3)时,Smax=6. 答案:6 2.已知实数x,y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是     . 【解析】如图,作出的阴影部分为可行域, 由 得 即A(3,6),经过分析可知直线z=x-2y经过 A点时z取最小值-9. 答案:-9 3.满足 的平面区域图形为    . 【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示, 由x=1平行于y轴而x-2y=-1与x轴不平 行,知四边形ABCD为梯形. 答案:梯形 一、线性规划问题 已知实数x,y满足 求z=2x+y的取值范围.请思考 下面的问题: 探究1:此题中线性约束条件是   ,目标函数是   . 提示:线性约束条件是关于变量x,y的一次不等式组成的不等 式组,故此题中的线性约束条件为 目标函数是欲 求最大值或最小值的关于变量x,y的函数解析式,故此题中的 目标函数为z=2x+y. 答案:  z=2x+y 探究2:目标函数z=2x+y中z的几何意义是什么? 提示:由z=2x+y,得到y=-2x+z,该直线的斜率是-2,在y轴上 的截距是z,即z为直线在y轴上的截距. 探究3:如何求函数z=2x+y的取值范围? 提示:作可行域如图阴影部分所示,求 函数z=2x+y的取值范围,只需求目标函 数的最大值与最小值,即求直线y=-2x+ z在y轴上的截距z的最大值与最小值, 如图,平移直线l,由图可知,当直线经过点A时,z有最大 值,当直线经过点B时,z有最小值.解 得A(5, 1),所以zmax=2×5+1=11,解 得B(3,1),所以 zmin=2×3+1=7.所以函数z=2x+y的取值范围是[7,11]. 【探究总结】解线性规划问题的关注点 (1)先确定线性约束条件及目标函数. (2)要确定目标函数的几何意义. (3)在求解目标函数的最值时,平移直线要做到规范、准确. (4)求目标函数的取值范围,一般不利用不等式的性质对二元 一次不等式进行变形,因为这样会扩大变量的取值范围. 【拓展延伸】确定线性规划问题中最优解的方法 线性目标函数z=Ax+By+C(A,B不全为0)中,当B≠0时, 这样线性目标函数可看成斜率为 在y轴上 的截距为 且随z变化的一族平行线,则把求z的最大值或 最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时,直线在y轴上 的截距的最大值或最小值的问题.因此只需先作出直线y= 再平行移动这条直线,最先通过或最后通过的可行域的顶点就 是最优解. 二、非线性规划问题 探究1:式子x2+y2表示的几何意义是什么?式子(x-a)2+(y-b)2 呢? 提示:x2+y2可以看成 所以x2+y2表示原点 与可行域内的点(x,y)两点间距离的平方.式子(x-a)2+(y- b)2,可以看成 所以(x-a)2+(y-b)2的几何 意义是点(a,b)与可行域内的点(x,y)两点间距离的平方. 探究2:式子 表示的几何意义是什么? 提示: 表示点(a,b)与可行域内的点(x,y)两点连线的 斜率. 【探究总结】求非线性目标函数最值的关键   求非线性目标函数最值的关键是弄清目标函数的几何意义, 然后画出可行域,运用数形结合的方法求其最值. 类型一 求线性目标函数的最值  1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件 则z=2x-3y的最小值是(  ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 2.(2014·浙江高考)若实数x,y满足 则x+y的取 值范围是     . 【解题指南】1.结合线性约束条件,画出可行域,将目标函数 平移得最小值. 2.根据约束条件画出可行域,平移目标函数求最大、最小值, 即得x+y的范围. 【自主解答】1.选B.由z=2x-3y,得3y=2x-z,即y= 作出可行域如图所示,平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过点B时, 直线y= 在y轴上的截距最大,此 时z取得最小值.解方程组 得 即B(3,4),代入直线z=2x-3y, 得zmin=3×2-3×4=-6,故选B. 2.作出不等式组 所表示的区域,如图所示: 令z=x+y,解方程组 得C(2,1), 解方程组 得B(1,0). 平移直线z=x+y,经过点C使得z取最大值,即zmax=2+1=3, 当直线z=x+y经过点B时,z取最小值, 即zmin=1+0=1, 所以x+y的取值范围是[1,3]. 答案:[1,3] 【延伸探究】在题1中,求z=2x-3y的最大值. 【解析】由可行域可知当直线y= 经过C点时,直线y= 在y轴上的截距最小,此时z取得最大值.解方程组 得 即C(3,-2),代入直线z=2x-3y, 得zmax=3×2-3×(-2)=12. 【规律总结】解线性规划问题的四个步骤 (1)画:画出线性约束条件所表示的可行域. (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,用平移的方 法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线. (3)求:通过解方程组求出最优解. (4)答:根据所求得的最优解得出答案. 类型二 求非线性目标函数的最值  1.(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组 所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小 值为(  ) A.2 B.1 C. D. 2.已知 求(x+1)2+(y+1)2的最大值、最小值. 【解题指南】1.本题可先根据题意画出平面区域,然后利用数 形结合找出斜率的最值. 2.由于(x+1)2+(y+1)2的几何意义表示点(x,y)与点(-1,-1) 之间距离的平方,故画出可行域后,观察并找出可行域内与 (-1,-1)距离最远和最近的点,并求出这两个距离的平方. 【自主解答】1.选C.作出可行域如图, 由图象可知当M位于点D处时, OM的斜率最小. 由 得 即D(3,-1),此时OM的斜率为 2.作出可行域,如图所示, 设d=(x+1)2+(y+1)2,则它表示可行域内的点与定点E(-1,-1) 的距离的平方.由图可知,点C到定点E的距离最小,点B到定点 E的距离最大. 由 解得B(3,4), 由 解得C(2,1).所以 当x=3,y=4时,dmax=(3+1)2+(4+1)2= 41,当x=2,y=1时,dmin=(2+1)2+(1+1)2 =13,即(x+1)2+(y+1)2的最大值为41,最小值为13. 【规律总结】非线性目标函数最值的常见类型及其解法 (1) 型求最值.根据 的几何意义,可转化为求可行域 内的点(x,y)与点(a,b)连线的斜率的最值. (2)(x-a)2+(y-b)2型求最值.根据(x-a)2+(y-b)2的几何意义,可 转化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)两点间距离的平方的 最值. 【变式训练】已知 求: (1)z=x2+y2-10y+25的最小值. (2)z= 的取值范围. 【解析】作出可行域如图所示,A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到点M(0,5)的距离 的平方,过M作AC的垂线,易知垂足N在线段AC上, 故MN= 所以 所以z的最小值为 (2)z=2· 表示可行域内点(x,y)与定点 连线斜率的2倍,因为 所以z的取值范围是 类型三 根据目标函数的最值求参数  1.(2015·沈阳高二检测)实数x,y满足 若目标函 数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为    . 2.(2014·浙江高考)当实数x,y满足 时, 1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是     . 【解题指南】1.结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数 取得最大值4,结合图形可求得a. 2.先画出可行域,利用数形结合求解. 【自主解答】1.作不等式组 所表示的可行域如图所示, 即点A(a,a), 作直线l:z=x+y,则z为直线l在y轴上的截距,当直线l经过可行 域上的点A(a,a)时,直线l在y轴上的截距最大,此时z取最大 值,即zmax=a+a=2a=4,所以a=2. 答案:2 2.作出不等式组 所表示的 区域,由1≤ax+y≤4,由图可知, a≥0且在(1,0)点取得最小值,在(2,1) 点取得最大值,所以a≥1,2a+1≤4,故 a的取值范围为[1, ]. 答案:[1, ] 【规律总结】根据目标函数的最值求参数的解题思路   采用数形结合,先画出可行域,根据目标函数表示的意义, 画出目标函数取最值的直线,它与相应直线的交点就是最优解, 再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件,即可求出参数 的值或范围. 【变式训练】(2013·北京高考)设关于x,y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0 =2,求得m的取值范围是(  ) 【解析】选C.作出可行域如图所示: 要使可行域存在,必有 10所对应的区域,根据几何概型的概率公式求解. 2.根据题意找出数列{an}的首项a1与公差d所满足的不等式组, 将其转化为线性规划问题求解. 【解析】1.选B.不等式组表示的平面区域如图所示, 由图可知满足条件的区域D为正方形区域,点A(a,b)满足 a+2b>10的区域为阴影部分,设区域D的面积为S,阴影部分的 面积为S′,则A满足a+2b>10的概率为 故选B. 2.可将此题看成关于a1和d的线性规划问题,根据题意可知 化简为 求a4=a1+3d的最大值, 将其转化为 求z=x+3y的 最大值问题,不等式组表示的平面区 域如图所示. 由z=x+3y,得y= 平移直线y= 由图可知,当直 线y= 过点A时,z有最大值.由 得A(1, 1),所以zmax=1+1×3=4,即a4的最大值为4. 【规律总结】线性规划问题在数学中的应用及其关注问题 (1)主要应用方面:不等式、概率、数列、向量等. (2)线性规划问题在数学中的应用非常广泛,且越来越新颖、 灵活、实用性更强.对此主要把握以下三点: ①解线性规划问题关键是在图上完成,所以图应该尽可能准确, 图上操作尽可能规范; ②要对数学模块知识理解深刻,且了解模块与模块之间的深层 联系; ③要在平时学习中不断总结、归纳和积累. 【变式训练】已知P(x,y)在由不等式组 确定的 平面区域内,O为坐标原点,点A(-1,2),则 cos∠AOP的 最大值为     . 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示, 考虑向量数量积及其几何意义, 因为 所以 要求 cos∠AOP的最大值,需要求-x+2y的最大值, 令z=-x+2y,于是转化为求线性目标函数最值问题.平移直线 -x+2y=0,由图可知当直线z=-x+2y过点B时,z有最大值, 由 得B(1,2),所以zmax=-1×1+2×2=3,所以 cos∠AOP的最大值为 答案:

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