人教版高中数学必修五同课异构课件：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 3.3.1.2 精讲优练课型

第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域  【知识提炼】 1.二元一次不等式组的有关概念 (1)定义：由几个_______________组成的不等式组. (2)二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的 x和y的取值构成_______________，所有这样的_______ _________构成的集合称为二元一次不等式组的解集. 二元一次不等式 有序数对(x，y) 有序数 对(x，y) 2.二元一次不等式组表示的平面区域 是各个不等式表示的平面区域的_____，即各个不等式 表示的平面区域的公共部分. 交集 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)每一个二元一次不等式组都能表示平面上一个区域 吗？ 提示：不一定.当不等式组的解集为空集时，不等式组 不表示任何图形. (2)不等式组表示的平面区域有何特点？ 提示：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的 平面区域的公共部分，可能是封闭的，也可能是开放 的区域. 2.不等式组 表示的区域为D，点P1(0，-2)， P2(0，0)，则(  ) A.P1∉D且P2∉D B.P1∉D且P2∈D C.P1∈D且P2∉D D.P1∈D且P2∈D 【解析】选C.将点P1，P2的坐标代入不等式组中的各不 等式，可知点P1的坐标满足三个不等式，点P2的坐标不 满足y0 及x-y+40，不满足x- y+40， 将(3，0)，(0，2)代入①得2x+3y-6=0，将(0，0)代入 上式得-60，代入 x+2y+1，得1>0，代入2x+y+1，得1>0. 结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示 为 【延伸探究】将典例2中的图形变为 则用二元一次不等式组如何表示图中的阴影部分？ 【解析】阴影区域边界的直线方程分别是x=0，y=0， y=2，2x-y+4=0. 由阴影部分知点的横坐标小于等于零，且纵坐标在0和 2之间，故x≤0，0≤y≤2，又把原点的坐标代入2x-y+4 得其值大于0，故阴影部分满足不等式：2x-y+4≥0， 所以所求二元一次不等式组为 【方法技巧】画二元一次不等式组表示平面区域的一 般步骤 【知识拓展】含有绝对值的不等式的平面区域的表示 法 (1)去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普 通的二元一次不等式. (2)一般采用分象限讨论去绝对值符号. (3)利用对称性可避免对绝对值的讨论. (4)在方程f(x，y)=0或不等式f(x，y)>0中，若将x(或 y)换成-x(或-y)，方程或不等式不变，则这个方程或 不等式所表示的图形就与原方程或不等式所表示的图 形关于y(或x)轴对称. 【变式训练】画出不等式组 所表示的平面区域. 【解析】先画出直线2x+y-4=0，由于含有等号，所以 画成实线.取直线2x+y-4=0左下方的区域的点(0，0)， 由于2×0+0-42y表示直线x=2y右下方的区域，不等式y≥0表示x 轴及其上方的区域. 取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的 平面区域，如图所示 类型二 与二元一次不等式组表示的平面区域相关问题 【典例】1.(2015·重庆高考)若不等式组 表示的平面区域为三角形，且面积等于 ，则m的值 为(  ) A.-3 B.1 C. D.3 2.若不等式组 所表示的平面区域被直线 mx+y+2=0分为面积相等的两部分，则实数m的值为____. 3.在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积为________. 【解题探究】1.典例1中画不等式组表示平面区域的根 据是什么？ 提示：首先根据表示的平面区域为三角形这一条件画 出阴影部分，然后根据面积即可求出参数的值. 2.典例2中的直线mx+y+2=0是否过定点？ 提示：直线过定点(0，-2). 3.典例3中要求所表示的平面区域面积的关键是什么？ 提示：关键是正确画出平面区域，再数形结合计算面 积. 【解析】1.选B.根据题意画出不等式组表示的平面区 域如图 由图可知A(1-m，1+m)，B(2，0)， 且A为直角.因为|AB|= |1+m|，|AC|= |1+m|， 三角形ABC的面积S= |AB||AC|= |1+m|2= ，解得 m=1或m=-3. 当m=-3时，表示的平面区域不存在，所以m=1. 2.满足不等式组 的平面区域(阴影部分)如 图所示： 直线mx+y+2=0恒经过点A(0，-2)，当直线mx+y+2=0经 过BC的中点时，平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相 等的两部分.由题意知B(2，0)，C(0，-6)，则BC的中 点为(1，-3)，代入直线方程mx+y+2=0得：m=1. 答案：1 3.在平面直角坐标系中，作出x+y-2=0，x-y+2=0，和 x=2三条直线，利用特殊点(0，0)可知表示的平面区域 如图阴影部分所示， 其面积S=4×2× =4. 答案：4 【延伸探究】 1.(变换条件)典例2中，若将直线改为“x+my-2=0”， 其他条件不变，求实数m的值. 【解析】满足不等式组 的平面区域(阴影部 分)如图所示： 直线x+my-2=0恒过定点(2，0)，正好为图中阴影区域 中的点B(2，0)，当直线x+my-2=0经过AC的中点时，平 面区域被直线x+my-2=0分成面积相等的两部分，由题 意知A(0，-2)，C(0，-6)，则AC的中点为(0，-4)，代 入直线方程x+my-2=0得m=- . 2.(改变问法)将典例2中的“被直线mx+y+2=0分为面积 相等的两部分”改为“被直线x+y+2=0划分”，求此直线 将平面区域分成两部分的面积比. 【解析】由x+y+2=0可得，直线过点(0，-2)，不等式 组所表示的平面区域如图所示： 由 解得M(1，-3)，通过验证点M正好为点 BC的中点，因此直线x+y+2=0将阴影区域分成了面积相 等的两部分.故分成两部分的面积比为1∶1. 【方法技巧】求平面区域面积的方法 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域， 然后根据区域的形状求面积. (1)若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式 求解. (2)若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平 面区域分成几个规则图形求解. 【补偿训练】不等式组 表示的平面区域的面 积为________. 【解析】作出不等式组 表示的平面区域，如图阴影所示. 可以求得点A的坐标为 点B的坐标为(-2，-2)， 点C的坐标为(8，-2)， 所以△ABC的面积是 答案： 【延伸探究】若本题中不等式所表示的平面区域的面 积被直线3kx+3y-4k-4=0分为面积相等的两部分，求k 的值. 【解析】直线3kx+3y-4k-4=0的方程可以化为 k(3x-4)+3y-4=0，过定点 .正好是解析中区域三 角形ABC的顶点A.因此只有直线过BC中点时，直线 3kx+3y-4k-4=0能平分平面区域. 因为B(-2，-2)，C(8，-2)，所以BC中点M(3，-2). 将点M的坐标代入直线3kx+3y-4k-4=0， 可得9k-6-4k-4=0，所以k=2. 类型三 用二元一次不等式组表示实际问题 【典例】1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算 2000元，设木工x人，瓦工y人，则工人所满足的数学 关系式是________. 2.甲、乙、丙三种药品中毒素A，B的含量及成本如下表： 甲 乙 丙 毒素A(单位/千克) 600 700 400 毒素B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 4 9 11 某药品研究所想用x千克甲种药品，y千克乙种药品，z 千克丙种药品配成100千克新药，并使新药含有毒素A 不超过56000单位，毒素B不超过63000单位.用x，y表 示新药的成本M(元)，并画出相应的平面区域. 【解题探究】1.典例1中的工人预算工资为2000元有什 么含义？ 提示：其含义为工人的工资不能超过2000元. 2.典例2中的“z千克的丙种药品”如何用“x，y”表示？ 提示：由于“x+y+z=100”，则z=100-x-y. 【解析】1.由付给木工的总工资与付给瓦工的总工资之 和不大于2000元，即得50x+40y≤2000元，又因为人数 为整数，由此可得x，y满足的不等式组为 答案： 2.由已知，得x+y+z=100， 因为M=4x+9y+11z=4x+9y+11(100-x-y) =1100-7x-2y， 又600x+700y+400(100-x-y)≤56000， 800x+400y+500(100-x-y)≤63000， 于是满足以下条件： 在直角坐标系中可表示成图中的平面区域(阴影部分). 【延伸探究】典例2中在条件不变的情况下，求出相应 的平面区域的面积. 【解析】由已知条件可分别求出点A(50，20)， C(80，0)以及点 如图所示： 故阴影部分的面积为： 【方法技巧】用平面区域来表示实际问题的基本方法 (1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的 量，用字母表示. (2)把问题中有关的量用这两个字母表示. (3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来. (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出 来. 【变式训练】某人准备投资1200万兴办一所中学，对 教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班 级为单位)： 学段 班级学 生人数 配备教 师数 硬件建 设(万元) 教师年 薪(万元) 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 总共招生班数不多于30且不少于20，试用不等式组表 示上述限制条件. 【解析】设开设初中班x个，开设高中班y个， 由招生班数不多于30且不少于20，所以有20≤x+y≤30 ， 由所投资金1200万的限制， 得到26x+54y+2×2x+2×3y≤1200.即x+2y≤40， 另外开设的班数不能为负，则x≥0，y≥0 得到： 【补偿训练】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨 产品的资源需求如下表： 品种 电力(千瓦时) 煤(t) 工人(人) 甲 2 3 5 乙 8 5 2 该厂有工人200人，每天只能保证160千瓦时的用电额 度，每天用煤不得超过150t，请在直角坐标系中画出 每天甲、乙两种产品允许的产量范围. 【解析】设该工厂每天分别生产甲、乙两种产品xt和yt， 生产xt的甲产品和yt乙产品的用电量是 (2x+8y)千瓦时，根据条件，有2x+8y≤160； 用煤量为(3x+5y)t，根据条件，有3x+5y≤150； 用工人数为(5x+2y)人，根据条件，有5x+2y≤200； 另外，还有x≥0，y≥0. 综上所述，x，y应满足以下不等式组 甲、乙两种产品的产量范围是这个不等式组表示的平 面区域，即如图所示的阴影部分(含边界). 易错案例 画二元一次不等式组表示平面区域 【典例】如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组 表示为____________. 【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是边界的实虚没有把握准确， 以及取点定侧时结果弄反. 【自我矫正】边界所在的直线方程为y=-2，x=0，2x- y+2=0，根据平面区域与边界的关系可知 答案： 【防范措施】 1.掌握用不等式组表示平面区域的方法 求解此类问题时，要用前面学习的二元一次不等式表 示的平面区域的方法来表示平面区域，一般采用“直线 定界，取点定域”.如本例中取(0，0)确定出2x-y+2≥0. 2.注意边界的实虚 在用不等式表示区域时，要明确平面区域边界的实虚， 从而对应的不等式中有无“=”，若是实线则不等式中含 有“=”，若是虚线则不等式中不含有“=”.如本例中“y>- 2”.