人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 2.3.1 精讲优练课型 .ppt

2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和  【知识提炼】 1.数列的前n项和 (1)定义：对于数列{an}，一般地，称_____________为 数列{an}的前n项和. (2)表示：常用符号Sn表示，即Sn=_____________. a1+a2+a3+…+an a1+a2+a3+…+an 2.等差数列的前n项和公式 应用条件 公 式 首项、末项与项数 ___________ 首项、公差与项数 ______________ 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则a1与S1有什么关系？ 提示：a1=S1. (2)等差数列{an}的前n项和公式(包含首项、公差和项 数)是关于n的二次函数吗？ 提示：不一定.当d≠0时，Sn=na1+ d= n2+ (a1- )n是关于n的二次函数；当d=0时，Sn=na1=a1n是 关于n的一次函数. 2.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2，则a10的值为(  ) A.19   B.20   C.100   D.102 【解析】选A.a10=S10-S9=(102+2)-(92+2)=19. 3.等差数列{an}中首项a1=1，公差d=-2，则前10项的和 S10=(  ) A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 【解析】选D.S10=10×1+ ×(-2)=-80. 4.等差数列{an}中，若a1=-2，a9=12，则S9=______. 【解析】S9= =45. 答案：45 5.2+6+10+14+…+(4n+2)+(4n+6)=______  【解析】数列2，6，10，14，…，4n+2，4n+6是首项 为2，公差为4的等差数列，共有n+2项. 所以原式= =2n2+8n+8. 答案：2n2+8n+8 【知识探究】 知识点1 等差数列的前n项和公式 观察图形，回答下列问题： 问题1：等差数列前n项和公式的两种形式中，一共涉 及哪几个量？怎样由已知量求未知量？ 问题2：等差数列前n项和公式的两种形式分别适合在 什么情况下使用？ 【总结提升】 1.等差数列前n项和公式的结构 2.等差数列前n项和公式的特点 (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n 项和. (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知 其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”. (3)当已知首项、末项和项数时，用Sn= 较为 简便；当已知首项、公差和项数时，用Sn=na1+ 较好. 知识点2 数列的通项an与前n项和Sn的关系 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：当n≥2时，数列{an}的前n项和Sn与an有怎样的 关系？ 问题2：数列的通项公式何时采用分段形式？ 【总结提升】 1.an与Sn的关系 当n≥2时，有Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn-1=a1+a2+a3+…+ an-1，所以Sn-Sn-1=an. 当n=1时，a1=S1. 综上可知，an= 2.对an与Sn的关系的两点说明 (1)这一关系对任何数列都适用. (2)若由an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求 得的a1相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)也适合n=1的情况， 数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若由an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的 a1不相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)不适合n=1的情况， 数列的通项公式采用分段形式即an= 【题型探究】 类型一 等差数列前n项和的有关计算 【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前 n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=(  ) A.5    B.7    C.9    D.11 2.(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1=1，an=an-1 + (n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________. 3.根据下列条件，求相应的等差数列{an}的有关未知 数： (1)d= ，an= ，Sn=- ，求a1及n. (2)a1= ，a15=- ，Sn=-5，求n和d. 【解题探究】1.典例1中，为了简化计算可以利用等差 数列的什么性质？ 提示：利用等差数列的性质得2a3=a1+a5，所以S5=5a3， 即可求解. 2.典例2中，数列{an}是等差数列吗？若是，其首项和 公差分别是什么？ 提示：数列{an}为等差数列，其首项为1，公差为 . 3.典例3中，解题的依据是什么？用到什么数学思想？ 提示：依据是以下三个公式an=a1+(n-1)d， Sn= ，Sn=na1+ d.解题基本思想是方程的 思想. 【解析】1.选A.因为a1+a3+a5=3a3=3， 所以a3=1，所以S5= =5a3=5. 2.当n≥2时，an=an-1+ 且a2=a1+ ，所以{an}是首项 为1，公差是 的等差数列，所以S9=9×1+ × = 9+18=27. 答案：27 3.(1)方法一：由题意得 由①得a1=2- ，代入②整理得 n2-7n-30=0解得n=10或n=-3(舍去)， 所以a1=2- =-3. 方法二：a1=an-(n-1)d = -(n-1)× =2- ， 所以Sn= 整理得n2-7n-30=0，下同方法一. (2)因为a15= +(15-1)d=- ， 所以d=- .又Sn=na1+ ·d=-5， 解得n=15，或n=-4(舍). 【方法技巧】等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 【变式训练】1.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn， 且S2 011=2 011，a1 007=-3，则S2 012=________. 【解析】因为S2 011=2 011， 所以 =2 011. 所以a1+a2 011=2. 又因为a1+a2 011=2a1 006，所以a1 006=1. 又因为a1 007=-3， 所以S2 012= 答案：-2 012 2.在等差数列{an}中， (1)已知a5+a10=58，a4+a9=50，求S10. (2)已知S7=42，Sn=510，an-3=45，求n. 【解析】 (1)方法一：由已知条件得 解得 S10=10a1+ ×d=10×3+45×4=210. 方法二： 所以a1+a10=42， 所以S10= =5×42=210. (2)S7= =7a4=42，所以a4=6. Sn= =510， 所以n=20. 类型二 an与Sn关系的应用 【典例】数列{an}的各项都为正数，且满足Sn= (n∈N*)，求数列{an}的通项公式. 【解题探究】本例中如何消去Sn？消去Sn后，为求an应 整理为何种形式？ 提示：先根据Sn= 得出4Sn+1=(an+1+1)2，然后作 差消去Sn.应整理为an+1-an=f(n)或 =g(n)的形式. 【解析】由Sn= 得4Sn=(an+1)2① 所以4Sn+1=(an+1+1)2② ②-①得4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2， 4an+1= +2an+1- -2an， ( - )-2(an+1+an)=0， (an+1+an)(an+1-an-2)=0， 因为an>0，所以an+1-an=2， 又4S1=4a1=(a1+1)2得a1=1， 故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以an=2n-1. 【延伸探究】1.(变换条件)本例中的条件Sn= 改为log2(Sn+1)=n+1，其他条件不变，结果又如何？ 【解析】因为log2(Sn+1)=n+1， 所以Sn=2n+1-1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =(2n+1-1)-(2n-1)=2n， 当n=1时，a1=S1=22-1=3不适合上式， 所以an= 2.(改变问法)本例条件不变，试证明数列 是等差数 列. 【证明】由已知得 2 =an+1，所以2 =Sn-Sn-1+1(n≥2)， 化简可得( -1)2=Sn-1， ( + -1)( - -1)=0， 又S1=1，{an}的各项都为正数， 所以 - =1(n≥2)， 所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列. 3.(变换条件、改变问法)本例条件Sn= 改为 Sn 2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，其他条件不变，求证： 数列{an}是等差数列. 【证明】因为Sn 2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，n∈N*， 所以令n=1得S1 2-(-1)·S1-6=0， 即a1 2+a1-6=0，解得a1=2或a1=-3， 由于数列{an}各项为正数，所以a1=2. 由Sn 2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0， 因式分解得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0， 由数列{an}各项为正数可得Sn-n2-n=0， 即Sn=n2+n， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n， 当n=1时，a1=2也适合上式， 所以an=2n，n∈N* 因为an+1-an=2(n+1)-2n=2，n∈N*， 所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列. 【方法技巧】 1.由Sn求通项公式an的步骤 第一步：令n=1，则a1=S1，求得a1； 第二步：令n≥2，则an=Sn-Sn-1； 第三步：验证a1与an的关系： (1)若a1适合an，则an=Sn-Sn-1. (2)若a1不适合an，则an= 2.Sn与an的关系式的应用 (1)“和”变“项”. 首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差 将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式. (2)“项”变“和”. 首先将an转化为Sn-Sn-1，得到Sn与Sn-1的关系式，然后 求Sn. 【补偿训练】若数列{an}的前n项和为Sn，且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2)，a1= . (1)求证：{ }成等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. 【解析】(1)当n≥2时，由an+2SnSn-1=0， 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以 =2， 又 =2， 故{ }是首项为2，公差为2的等差数列. (2)由(1)可得 =2n，所以Sn= . 当n≥2时， an=Sn-Sn-1= 当n=1时，a1= 不适合上式. 故an= 【延伸探究】1.(变换条件)若将条件改为“a1=2，Sn= (n≥2)”，如何求解. 【解析】(1)因为Sn= 所以 所以 =2. 所以{ }是以 为首项，2为公差的等差数列. 所以 即Sn= (2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1= 当n=1时，a1=2不适合an， 故an= n≥2. 2.(变换条件、改变问法)若将条件改为“2Sn=an 2+n-4” ，求证：数列{an}是等差数列. 【证明】当n=1时， 有2a1=a1 2+1-4，即a1 2-2a1-3=0， 解得a1=3(a1=-1舍去). 当n≥2时，有2Sn-1= +n-5， 又因为2Sn=an 2+n-4， 两式相减得2an=an 2- +1， 即an 2-2an+1= ，即(an-1)2= ， 因此an-1=an-1或an-1=-an-1. 若an-1=-an-1，则an+an-1=1，而a1=3， 所以a2=-2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾， 所以an-1=an-1，即an-an-1=1， 因此数列{an}为等差数列. 类型三 等差数列前n项和的最值问题 【典例】1.已知数列{an}为等差数列，若 0的n的最大值为 ________. 2.(2015·长春高一检测)已知数列{an}是一个等差数 列，且a2=1，a5=-5. (1)求{an}的通项an. (2)求{an}前n项和Sn的最大值. 【解题探究】1.典例1中，如何判断a6与a7的符号？进 一步可判断前多少项和的符号？ 提示：由Sn有最大值可知公差da7，所以 a6>0，a70，S12