第2课时
等差数列的性质
1.掌握等差数列的性质，能用性质解决一些实际问题.
2.能用等差数列的知识解决一些应用问题.
等差数列的性质
{an}是公差为d的等差数列，
若正整数m，n，p，q满足m+n=p+q，则：am+an=_____.ap+aq
1.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a8等于( )
A.8 B.16 C.24 D.32
【解析】选A.因为a7+a9=2a8=16，故a8=8.
2.数列{an}是等差数列，公差为d，则数列{2an}的公差是
.
【解析】数列{2an}的公差是2d.
答案：2d
3.数列{an}是等差数列，a3+a5=a2+ =2 .
【解析】利用等差数列的性质，因为3+5=2+6=2×4，所以
a3+a5=a2+a6=2a4.
答案：a6 a4
一、等差数列的性质
结合等差数列的性质：m+n=p+q⇒am+an=ap+aq，探究下列问题：
探究1：该性质反过来是否成立？
提示：不一定，当数列是常数列时，结论不成立；当数列是非
常数列的等差数列时，结论成立.
探究2：特别地，若m+n=2p(m，n，p∈N*)，那么am+an=2ap是否
成立？若m+n+p=q+r+s(m，n，p，q，r，s∈N*)，是否有
am+an+ap=aq+ar+as成立？
提示：成立.因为当m+n=2p时，am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d
=2a1+(m+n-2)d=2a1+2(p-1)d=2ap，
同理可以证明若m+n+p=q+r+s(m，n，p，q，r，s∈N*)，有
am+an+ap=aq+ar+as成立.
【探究总结】等差数列的常用性质
(1)在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和相
等，且等于首末两项之和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1.
(2)在等差数列{an}中，公差d对任意的m，n∈N*且m≠n，都有
d=
(3){an}，{bn}均为等差数列，则{an±bn}也为等差数列.
(4)若{kn}为等差数列，kn∈N*，{an}为等差数列，则 也
为等差数列.
二、等差数列与一次函数
根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，思考下面问题：
探究1：能否把等差数列的通项公式化为一次函数？
提示：能.an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，令d=a(a为常数)，
a1-d =b(b为常数)，则等差数列的通项公式化为一次函数
an=an+b(n∈N*).
探究2：若数列的通项公式an是n的一次函数，那么数列{an}是
等差数列吗？
提示：是.设an=an+b(a，b为常数)，则an+1=a(n+1)+b，则an+1-
an=a(n+1)+b-an-b=a(常数)，故数列{an}是等差数列.
【探究总结】等差数列的函数性质
(1)当公差d≠0时，等差数列{an}的通项公式：an=a1+(n-1)d
=pn+q(其中p=d)是关于n的一次函数，表示数列的各点(n，an)
在一次函数y=px+q的图象上，且该直线的斜率为公差d.
(2)从图象的角度看，等差数列的图象是一条直线上孤立的
点，且斜率
(3)等差数列的单调性取决于公差d的符号.
【拓展延伸】等差数列与一次函数y=kx+b(k≠0)的区别与联系
等差数列 一次函数
解析式 an=an+b(n∈N*) y=kx+b
不同点
定义域为N*，图象是直线上
一系列孤立的点
定义域为R，图象是一
条直线
相同点
等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变
量的一次函数，都是最简单的也是最基本的数列和
函数
类型一 等差数列性质的应用
1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( )
A.a1+a101>0 B.a2+a1010的等差数列{an}
的四个说法：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数
列 是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列，其中正确
的为( )
A.p1，p2 B.p3，p4
C.p2，p3 D.p1，p4
【解题指南】1.本题可用通项公式求解或者利用一次函数图象
求解.
2.借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列.
【自主解答】1.选B.不妨设p2.选D.
p1：数列{an}是递增数列，由an+1-an=d>0，知数列{an}是递增数
列，正确.
p2：数列{nan}是递增数列，由(n+1)an+1-nan
=(n+1)(a1+nd)-n[a1+(n-1)d]
=a1+2nd，仅有d>0是无法判断a1+2nd的正负的，因而不能判定
(n+1)an+1，nan的大小，错误.
p3：数列 是递增数列，显然，当an=n时， =1，数列
是常数列，不是递增数列，错误.
p4：数列{an+3nd}是递增数列，数列的第n+1项减去数列的第n
项
[an+1+3(n+1)d]-(an+3nd)
=(an+1-an)+[3(n+1)d-3nd]
=d+3d=4d>0.
所以an+1+3(n+1)d>an+3nd，即数列{an+3nd}是递增数列，正确.
【规律总结】等差数列函数特性应用的关注点
(1)把等差数列的通项公式看成一个特殊的一次函数，已知部
分元素可求其他元素.
(2)利用研究函数的方法研究数列的单调性、最值等性质.
【变式训练】已知：等差数列{an}满足an+2an+1+an+2=4，则该数
列为( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
【解析】选C.由n+n+2=2(n+1)，
得an+an+2=2an+1，即an+1=1，
所以等差数列{an}为常数列.
类型三 等差数列的实际应用
1.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而
下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节
的容积共为4升，则第5节的容积为 升.
2.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供
的两个不同的信息表如图所示：
甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第6
年平均每个养鸡场生产2万只鸡.
乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你
根据提供的信息：
(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了
？请说明理由.
【解题指南】1.设出自上而下各节的容积构成的等差数列，则
该数列的前4项和为3，后3项和为4，而所求结果为第5项.
2.由图象可知养鸡数和养鸡场数目皆构成等差数列，所给的即
数列的两项，可求数列的通项公式，根据通项公式来解题.
【自主解答】1.设自上而下各节的容积构成的等差数列为
a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9.
则
解得 故a5=a1+4d= .
答案：
2.(1)设第n年每个养鸡场饲养鸡an万只，养鸡场为bn个，由图
知{an}，{bn}均为等差数列且1≤n≤6，
a1=1，a6=2，所以an=0.2n+0.8，
b1=30，b6=10，所以bn=-4n+34，
所以a2=0.2×2+0.8=1.2，
b2=-4×2+34=26，a2b2=1.2×26=31.2(万只).
所以第2年有养鸡场26个，全县出产鸡31.2万只.
(2)a1b1=1×30=30(万只)，a6b6=2×10=20(万只).
因为a6b6
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