第2课时
数列的通项公式与递推公式
1.会根据数列的通项公式，解决简单的数列问题.
2.体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出
数列的前几项.
3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)
开始的任一项an与它的前一项____(或前几项)(n≥2，n∈N*)
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.
an-1
1.已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，则a5=( )
A.7 B.15 C.20 D.31
【解析】选D.因为a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，所以a2=3，a3=7，
a4=15，所以a5=2a4+1=31.
2.数列{an}中，a1=-1，an+1=an-2，则a3= .
【解析】因a1=-1，an+1=an-2.
所以a2=-1-2=-3，a3=a2-2=-3-2=-5.
答案：-5
3.数列{an}中a1=3，an+1=an+4，则它的第5项是 .
【解析】a1=3，an+1=an+4，则a2=7，a3=11，a4=15，a5=19.
答案：19
数列的递推公式
已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前
一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间的
关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：
探究1：根据数列的递推公式如何求数列中的项？
提示：根据数列的递推公式，只需将初始值代入递推公式，就
可依次求出数列中的其他项.
探究2：若仅由数列{an}的递推关系an=ban-1+c(n≥2，n∈N*)，
能否确定数列{an}的每一项？
提示：仅由数列{an}的递推关系an=ban-1+c(n≥2，n∈N*)，只
能确定数列{an}中相邻两项之间的关系，而无法确定数列中的
每一项.而要想确定数列中的每一项，还需知道数列的第一项
或前几项.
探究3：数列的通项公式和递推公式能否互相转化？
提示：数列的通项公式和递推公式一般可以相互转化.但有些
递推公式求不出通项公式，故数列的通项公式和递推公式并不
一定能互相转化.
【探究总结】数列递推公式与通项公式的区别与联系
区别 联系
通项
公式
项an是序号n的函数式
an=f(n) 都是数列的一种
表示方法递推
公式
项an与数列的其他项或多
项的关系式
类型一 数列通项公式的应用
1.数列{an}的通项公式为an=3n2-28n，则数列{an}各项中最小项
是( )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
2.数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4(n∈N*)，问：
(1)数列中有多少项为负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
【解题指南】1.用函数的观点看待通项公式，是开口向上的抛
物线，越接近对称轴的函数值越小.
2.数列的通项公式an与n是函数关系，本题为二次式，需结合二
次函数知识探求，当然不能忘记n的取值范围.
【自主解答】1.选B.由an=3n2-28n=
又n为正整数，故当n=5时an取最小值.
2.(1)由an为负数，得n2-5n+41)求出最小项是第几项.
【变式训练】已知数列{an}的通项公式为
则当an取得最大值时，n等于 .
【解析】由题意知
所以
解得 所以n=5或6.
答案：5或6
类型二 由递推公式求数列的项
1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项为
.
2.数列{an}中，a1=1，对所有的n>2都有a1·a2·a3·
…·an=n2，则a3+a5等于( )
A. B. C. D.
3.已知数列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，求a2013.
【解题指南】1.阅读框图，得到递推公式，求出前5项.
2.根据已知，写出a1·a2·…·an-1=(n-1)2，可以求出an.
3.利用递推关系推导2013≤a2013≤2013.
【自主解答】1.根据框图，数列的递推公式为
数列的前5项依次为：1，
答案：1，
2.选A.因为a1·a2·…·an=n2，
所以a1·a2·…·an-1=(n-1)2，
所以an= (n≥2)，
所以 所以
3.由an+2≥an+2得
a2013≥a2011+2≥a2009+2×2≥…≥a1+2×1006=2013，
由an+2≥an+2得an≤an+2-2，
又an+3≤an+3得an+3≤an+3≤an+2+1，于是
a2013≤a2012+1≤a2011+2×1≤a2010+3×1≤a2009+4×1≤…≤a1
+2012×1=2013，所以a2013=2013.
【规律总结】已知递推公式求数列的项的方法
根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚公式中各
部分的关系，依次代入计算即可.若数列前几项各项间规律明
显，可归纳出一个通项公式，然后再代入通项公式求数列中的
每一项.
【变式训练】(2014·巢湖高二检测)在各项均为正数的数列
{an}中，任意m，n∈N*都有am+n=am·an.若a6=64，则a9等于
( )
A.256 B.510 C.512 D.1024
【解析】选C.在各项均为正数的数列{an}中，
对任意m，n∈N*都有am+n=am·an.
所以a12=a6·a6=642，
又a6=a3·a3，所以a3=8，
所以a12=a9·a3，解得a9= =512.
类型三 利用递推公式研究数列
1.已知{an}中，a1=1， 则数列{an}的通项公式是( )
A.an=2n B.an=
C.an= D.an=
2.已知数列{an}满足：a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)·an-1
(n≥2)，则{an}的通项an=
3.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an，写出数列的前4项，猜
想数列的通项公式并加以证明.
【解题指南】1.写出数列的前几项，观察得出数列的通项公式.
2.利用方程进行等价转化找数列{an}的项an与前一项an-1之间的
关系.
3.根据递推公式可以逐个写出前4项，用累乘法证明.
【自主解答】1.选C.a1=1，a2= ，a3= ，a4= ，
观察得an=
2.由已知得：an=a1+2a2+…+(n-2)an-2+(n-1)an-1(n≥2)，
an-1=a1+2a2+…+(n-2)an-2(n≥3).
两式相减得：an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，
所以an=n·an-1，即 =n(n≥3)，
所以
=3×4×5×…×(n-1)×n，
所以 (n≥3).
又因为a1=1，a2=a1=1，所以an= (n≥2).
答案：
3.由a1=2，an+1=2an，得
a2=2a1=4=22，a3=2a2=2·22=23，a4=2a3=2·23=24，
猜想an=2n(n∈N*).
证明如下：
由a1=2，an+1=2an，
得
所以 =2·2·…·2·2=2n.
【规律总结】由递推公式求数列的通项公式的两种方法
(1)观察归纳法：
①根据递推公式，求出数列的前几项；
②通过前几项观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素
不变，初步归纳出公式；
③取n的特殊值进行检验，判断得到的通项公式是否正确.
(2)递推公式法：
①观察数列相邻两项间的递推关系，将它们一般化；
②得到数列的普遍的递推关系；
③通过代数方法由递推关系求出通项公式.
【变式训练】设数列{an}，a1=0，an+1= ，写出数列的
前4项，并归纳出该数列的一个通项公式.
【解析】a1=0，
直接观察可以发现a3= 可写成a3= ，
这样可知an= (n≥2).当n=1时， =0=a1，
所以an=
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