人教版高中数学必修五同课异构课件：2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 探究导学课型 .ppt

第二章 数  列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与简单表示法 1.了解数列的概念及其简单表示和数列的分类，认识数列是反 映自然规律的基本数学模型. 2.了解数列是一种特殊的函数，了解数列与函数的关系. 3.能根据数列的前几项，写出它的一个通项公式. 1.数列的概念及一般形式 (1)相关概念 ①数列：按照_________排列的一列数称为数列. ②项：数列中的_________叫做这个数列的项，排在_______ 的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项). (2)一般形式 数列的一般形式可以写成___________________，简记为____. 一定顺序 每一个数 第一位 a1，a2，a3，…，an… {an} 2.数列的分类 类别 含义 按项 的个 数 有穷数列 项数_____的数列 无穷数列 项数_____的数列 按项 的变 化趋 势 递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项 的数列 递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项 的数列 常数列 各项_____的数列 摆动数列 从第2项起，有些项_____它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列 有限 无限 大于 小于 相等 大于 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用_________ 来表示，那么这个_____叫做这个数列的通项公式. 4.数列的表示法 数列的表示法有三种，分别是_____法、_____法、_____法. 序号n 一个式子 公式 列表 图象 解析 1.已知数列1， …，则 是它的(  ) A.第22项         B.第23项 C.第24项 D.第28项 【解析】选B.因为 ，令2n-1=45，得n=23， 故 是它的第23项. 2.数列的通项公式为an= 则a2·a3等于(  ) A.70    B.28    C.20    D.8 【解析】选C.因为a2=2×2-2=2，a3=3×3+1=10， 所以a2·a3=20. 3.数列1， ， ，…， ，…的通项公式是       . 【解析】数列的通项公式是an= . 答案：an= 4.数列在平面直角坐标系中的图象是        . 【解析】数列在平面直角坐标系中的图象是一群孤立的点. 答案：一群孤立的点 5.数列{an}的通项公式是an=n(n+1)，则这个数列的第6项是        . 【解析】这个数列的第6项是a6=6×(6+1)=42. 答案：42 一、数列的概念 如图，观察下列三角形数、正方形数，回答下面的问题： 探究1：分别把相应的数写下来，得到怎样的一列数？ 提示：三角形数构成的数列是：1，3，6，10，… 正方形数构成的数列是：1，4，9，16，… 探究2：把部分三角形数和正方形数随意打乱，如：1，1，10 ，16，3，4，6，是否构成一个数列？ 提示：这些数按照一定的顺序排列，能构成一个数列. 【拓展延伸】数列与数集的区别与联系 (1)区别：①数列主要研究项与项数之间的关系，数集主要研 究集合中元素公共的性质. ②数集中元素有三个性质：确定性、无序性和互异性；数列中 的项也有三个性质：确定性、可重复性和有序性. (2)联系：数列中的项与数集中的元素都是数，都体现对数之 间关系的研究. 【探究总结】对数列概念的三点说明 (1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在 这个数列中的某一个确定的数an，而项数是指这个数在数列中 的位置序号. (2)同一个数在数列中可以重复出现. (3)两个数列相同，需要各项相同且排列顺序相同. 二、数列的分类及其表示方法 观察下列几组数列，探究下列问题 ①1，2，3，…，n ②1，2，3，…，n，… ③2，2，2，… ④1， ， ， ，…， ⑤6，-6，6，-6，… 探究1：这五个数列，按项的个数来分，可以把数列分为几类 ？ 提示：从项数的多少可以把数列分为两类：有穷数列如①④和 无穷数列如②③⑤. 探究2：按项的大小可以把数列分为递增数列、递减数列、常 数列、摆动数列，请指出以上各数列各属于哪一种类型？ 提示：①②是递增数列，③是常数列，④是递减数列，⑤是摆 动数列. 【探究总结】数列分类的关注点 (1)注意数列是按照不同的分类标准分成不同类别，一个数列 可以是递增数列且是无穷数列. (2)按照项的大小关系分类也可以看成数列的增减性. 三、数列的通项公式及其与函数的关系 探究1：观察如图的对应关系，思考an和n之间是否构成一个映 射关系，是否构成一个函数关系？ 提示：根据映射和函数的概念，an和n之间构成一个映射，也构 成一个函数关系，并且构成了从N*到{f(n)|n∈N*}的特殊映射 和函数. 探究2：根据所给的几个数列的通项公式，探究下列问题： ①an=n，②an=(-1)n，③an= (1)是否所有的数列都有通项公式，并且一个数列只有一个通 项公式？ 提示：并不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式 形式上不一定是唯一的，如②和③表示的是同一个数列. (2)通项公式an=f(n)的作用是什么？ 提示：通项公式an=f(n)中n代表项数，an代表项，因此，通过 数列的通项公式能够知道数列中的指定项，同时也知道任意一 项在该数列中的准确位置. 【探究总结】1.数列的函数性质的关注点 (1)数列的定义域为N*或者它的有限子集{1，2，3，…，n}. (2)数列的值域是一些孤立的实数组成的集合. (3)数列的对应关系一般是其通项公式. 2.数列与函数的关系 (1)数列作为特殊的函数，它具有函数的通性，定义域、值域、 对应关系. (2)数列是特殊的函数，其定义域是N*或者它的有限子集{1，2 ，3，…，n}，故数列对应的图象是一列孤立的点. (3)数列的单调性和函数的单调性一致，可以用函数的单调性 来研究数列的单调性. 类型一 数列的概念及其分类  1.分别写出下列数列： (1)不大于10的自然数按从小到大的顺序组成的数列为         . (2)-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…构成的数列为         . 2.下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数 列，还是无穷数列？并说明理由. (1)-3，-1，1，x，5，7，y，11. (2)无理数. (3)正有理数. 【解题指南】1.按照要求的次序写出各个数即可. 2.根据数列的定义判断每组元素能否构成数列.然后再根据数 列的项数的个数来判断是否是有穷数列. 【自主解答】1.(1)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10. (2)-2，22，-23，24，…. 答案：(1)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 (2)-2，22，-23，24，… 2.(1)当x，y代表数时为数列，此时是有穷数列；当x，y中有 一个不是数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数， 按一定的顺序排列所组成的. (2)不是数列，因为我们无法把所有的无理数按一定顺序排列 起来. (3)是数列，且是无穷数列.如我们可将有理数按下面顺序排列 起来： 【规律总结】处理数列概念问题的注意点 (1)注意数列中的顺序性，不同的顺序的数排成一列，构成不 同的数列，故书写数列时注意数的顺序. (2)数列的分类是依据不同的标准，同一个数列可能既是无穷 数列又是递增数列. 【变式训练】写出下列数列： (1)全体自然数按从小到大排成一列. (2)正整数1，2，3，4，5的倒数排成一列. (3)π精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排成一列. 【解析】(1)0，1，2，3，…. (2)1， (3)3，3.1，3.14，3.141，…. 类型二 数列与函数问题  1.已知数列{an}的通项公式an=2n- ，则此数列为(  ) A.递增数列       B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2.已知函数f(x)= 设an=f(n)(n∈N*). (1)求证：an0，即- an，所以{an}是递增数列. 【延伸探究】题2条件不变，写出数列{an}的前4项. 【解析】由 得 【规律总结】函数的性质在数列中的应用 (1)数列是特殊的函数，数列的项数和项类似于函数的定义域 和值域中的元素，通项公式类似于函数解析式. (2)可以利用研究函数的方法研究数列的相关性质，如单调性， 但要注意数列中定义域为从1开始的无穷多正整数集或其一部 分组成的集合. 【拓展延伸】函数法研究数列的单调性 (1)定义法，先设出数列对应的函数，然后可以利用证明函数 单调性的定义法判断数列的单调性. (2)作差法，对an+1-an进行符号判断，若恒大于零，则是递增 数列，恒小于零是递减数列. (3)作商法，即判断 与1的大小关系，类似于研究函数的 单调性问题. 类型三 数列的通项公式  1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各 数： (1)1，- ， ，- 的通项为      . (2)2，0，2，0的通项为      . (3)1，3，5，7的通项为      . (4) 的通项为      . 2.根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项和第2013项. (1)an=cos . (2)an=3n+2n. 【解题指南】1.(1)正负相间，去掉符号后是正整数的倒数. (2)可借助于正弦值的特点来写通项公式. (3)正整数中的奇数. (4)根据分数的特点分别写出通项公式的分子和分母. 2.把要求的项数值依次代入. 【自主解答】1.(1)正负相间由(-1)n+1确定，去掉符号后为正 整数的倒数，即 (2)由于2，0隔项相同，根据正弦值的特点得： (3)奇数的表达形式：an=2n-1. (4)分母、分子变化的数均为项数加1，即 答案： (3)an=2n-1 (4) 2.(1)数列的前5项分别是：0，-1，0，1，0； 第2013项是a2013= (2)因为an=3n+2n，数列的前5项分别是：a1=3+2=5， a2=3×2+22=10，a3=3×3+23=17，a4=3×4+24=28， a5=3×5+25=47.a2013=3×2013+22013=6039+22013. 【规律总结】求数列通项公式的两个关注点 (1)一个数列的通项公式有时不唯一. 如1，0，1，0，1，0，1，0，…，它的通项公式可以是 也可以是 (2)通项公式的作用：①求数列中的任意一项； ②检验某数是不是该数列中的项，并确定是第几项. 【变式训练】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一 个通项公式. (1)1，0，-1，0，1，0，-1，0，…  (2) (3)7，77，777，7777，… (4)-1，7，-13，19，-25，31，… 【解析】(1)an= (2)各项负正相间，观察分子分母的特点，分子为项数加1， 分母为分子相应平方数减1，故 (3)利用10n-1的特性，可以得到an= (10n-1). (4)各项负正相间，去掉符号后，后项与前项的差为6，可写 成6n-5，故an=(-1)n(6n-5).