人教版高中数学必修五同课异构课件:2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 精讲优练课型 .ppt
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人教版高中数学必修五同课异构课件:2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 精讲优练课型 .ppt

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资料简介
第二章 数 列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与简单表示法  【知识提炼】 1.数列的概念 (1)数列:按照一定_____排列的一列数称为数列. (2)项:数列中的_________叫做这个数列的项,第1项 通常也叫做_____,排在第n位的数称作这个数列的___ ____,记作__. 顺序 每一个数 首项 第 n项 an (3)表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…, an,…,简记为{an}. 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个 数 有穷数列 项数_____的数列 无穷数列 项数_____的数列 有限 无限 分类标准 名称 含义 按项的变 化趋势 递增数列 从第__项起,每一项都_____ 它的前一项的数列 递减数列 从第__项起,每一项都_____ 它的前一项的数列 常数列 _________的数列 摆动数列 从第__项起,有些项_____它 的前一项,有些项_____它的 前一项的数列 2 大于 2 小于 各项相等 大于 小于 2 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与_____n之间的关系可以用一个 式子来表示,那么这个公式叫做数列的通项公式. 序号 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)所有自然数能构成数列吗? 提示:能.如将所有自然数按从小到大的顺序排列. (2)同一个数在数列中能重复出现? 提示:能.数列中的数可以重复出现. 2.把五个自然数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4 ,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1, 4,5,那么可以叫做数列的个数为(  ) A.1    B.2    C.3    D.4 【解析】选D.按照数列定义得出四种形式均为数列. 3.已知数列 …,根据前三项给 出的规律,则实数对(a,b)可能是(  ) A.(19,3) B.(19,-3) C.( ) D.( ) 【解析】选C.由前三项可知,该数列的通项公式可能 为an= .所以 即 4.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3(  ) A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第2项 C.只是数列{an}中的第6项 D.是数列{an}中的第2项或第6项 【解析】选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故 3是数列{an}中的第2项或第6项. 5.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则 =_____. 【解析】因为an=3-2n,所以 答案: 【知识探究】 知识点1 数列的概念 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:数列定义中的关键词是什么? 问题2:数列中an和{an}是否相同? 【总结提升】对数列概念的三点说明 (1)数列的定义中要把握两个关键词:“一定顺序”与“ 一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些 数是按照“一定顺序”排列着的,即确定的数在确定的 位置. (2)项an与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的 一个确定的数,而序号是指项在数列中的位次. (3){an}与an是不同概念:{an}表示数列a1,a2,a3,… ,an,…;而an表示数列{an}中的第n项. 知识点2 数列的通项公式观察如图所示内容,回答下 列问题: 问题1:在上面的数列中,你能表示项an与项的序号n 之间的关系吗? 问题2:任何数列都有通项公式吗? 【总结提升】对数列的通项公式的四点说明 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的 有限子集为定义域的函数表达式,即an=f(n). (2)已知数列的通项公式,依次用1,2,3…去替代公 式中的n,就可以求出这个数列的各项;同时利用通项 公式也可以判断某数是不是某数列中的项,是第几项. (3)同函数的关系式一样,并不是所有的数列都有通项 公式.如精确到1,0.1,0.01,…的不足近似值排成数 列就不能用通项公式表示. (4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如 摆动数列:-1,1,-1,1,-1,1,…,通项公式可以 写成an=(-1)n,也可以写成an= 【题型探究】 类型一 数列的概念及分类       【典例】1.下列说法正确的是(  ) A.数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7} B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列 C.数列 的第k项是1+ D.数列0,2,4,6,8,…可记为{2n} 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (  ) 【解题探究】1.典例1中处理数列的概念应注意哪些问 题? 提示:数列不能用集合表示,数列中的项是有序的, 数列中的n∈N*. 2.典例2中,递增、递减数列的概念是什么? 提示:在数列{an}中,若anan+1,则数列{an}是递减数列. 【解析】1.选C.{1,2,3,5,7}是一个集合,所以A 错;由于数列的项是有顺序的,所以B错;数列{ } 的第k项是 C正确;而D中数列应表示为 {2(n-1)}. 2.选C.A是递减数列,B是摆动数列,D是有穷数列,故 选C. 【方法技巧】处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列. 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察 数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷 数列,否则为无穷数列. (2)数列的单调性. 若满足anan+1 ,(n∈N*)则是递减数列;若满足an=an+1,(n∈N*)则是 常数列;若an与an+1(n∈N*)的大小不确定时,则是摆动 数列. 【变式训练】已知数列{ },那么这个数列是 (  ) A.递增数列    B.递减数列 C.摆动数列    D.常数列 【解析】选A.因为an+1-an= >0,所以an+1>an,故该数列是递增数列. 【补偿训练】下列说法正确的是(  ) A.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列 B.数列2,3,4,4可以记为{2,3,4} C.数列1, …可以记为{ } D.数列{2n+1}的第5项是10 【解析】选C.A.数列是有序的,B.数列与数集是两个 不同的概念,D.当n=5时,a5=2×5+1=11. 类型二 用观察法求数列的通项公式      【典例】1.(2015·郑州高二检测)观察以下公式 ①an= ②an=(-1)n ③an= 可以作为数列 ,0, ,0, ,0,…通项公式的是 _________. 2.写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是 下列各数. (1) (2)-1,3,-5,7,-9,… (3)a,b,a,b,a,b,… (4)9,99,999,9 999,… 【解题探究】1.典例1中,如何判断一个公式是否可以 作为一个数列的通项公式? 提示:把n依次换为1,2,3,…进行验证,看是否与 数列中对应的项相同即可. 2.典例2(1)是带分数如何处理? (2)中一负一正怎样处理? (3)中数列可看成是哪两个数列对应项的和? (4)中每一项加1会得到什么结果?再观察有何特点? 提示:(1)把每一项分成整数和分数两部分. (2)一正一负可通过(-1)n来实现转换. (3)可看作是数列a,0,a,0,…与数列0,b,0,b, …对应项的和. (4)得到:10,100,1 000,…,可以写成10n的形式. 【解析】1.分别令n=1,2,3,…可以看出①③公式可 以作为已知数列的通项公式. 答案:①③ 2.(1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4, …,恰好是序号n;分数部分分别为 …,与序 号n的关系是 ,所以这个数列的一个通项公式是an= (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的 正奇数;考虑(-1)n具有转换符号的作用,所以数列的一 个通项公式为an=(-1)n(2n-1). (3)数列1,0,1,0,…的通项公式为 ,数列 0,1,0,1…的通项公式为 ,因此数列a,0, a,0…的通项公式为 ,数列0,b,0,b,… 的通项公式为 ,所以数列a,b,a,b,a,b, …的通项公式为an= (4)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…, 此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为 an=10n-1. 【方法技巧】根据数列的前几项求通项公式的解题思 路 (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部 分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再 用(-1)n或(-1)n+1处理符号. (4)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形 式,或者利用周期函数,如三角函数等. 【变式训练】写出下列数列的一个通项公式: (1) (2) (3) (4)5,55,555,5 555,… 【解析】(1)分母依次是2,4,8,…即2n,而分子比 分母少1,所以通项公式为an= (2)将分母统一为2,分子恰为平方数,所以通项公式 为an= (3)此数列的每一项分为三部分:分子、分母、符号. 奇数项都为负,且分子都是1,偶数项都为正,且分子 都是3,分母依次是1,2,3,4,…正负号可以用 (-1)n调整. 由于1=2-1,3=2+1,所以数列的通项公式可合写成 an= (4)将数列各项写为 所以数列的通项公式为an= (10n-1). 【补偿训练】数列1, 的一个通项公式 为__________. 【解析】奇数项为正,偶数项为负,可由(-1)n-1来实 现,分子全为1,分母依次为20,21,22,23,…, 所以an= ,即an= 所以通项公式为an= 答案:an= 类型三 数列通项公式的简单应用    【典例】1.已知数列 则0.96是该数列 的(  ) A.第22项     B.第24项 C.第26项     D.第28项 2.已知数列{an}的通项公式为an= (1)写出数列的第4项和第6项. (2)试问 是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是, 请说明理由. 【解题探究】1.典例1中如何判断给出的数值是该数列 的项? 提示:先假定它是数列中的第n项,列方程求n,根据 n∈N*判断. 2.典例2中如何根据数列的通项公式求数列的项数或项 ? 提示:已知数列的通项公式,只要将数列中的项或项 数代入通项公式,就可以求出项数或项. 【解析】1.选B.因为通项公式为an= ,则有 解得n=24. 2.(1)因为an= ,所以a4= a6= (2)令 则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注 意到n∈N*, 故将n=-8舍去,所以 是该数列的第5项. 【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例2(2)中的“ ”变为“ ”,其他 条件不变,结果如何? 【解析】令 ,则4n2+12n-27=0, 解得n= 或n=- , 注意到n∈N*,所以 不是此数列中的项. 2.(改变问法)若典例2条件不变,试判断数列{an}的增 减性. 【解析】an+1-an= = 故an+1

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