3.3.3 函数的最大(小)值与导数
第三章 § 3.3 导数在研究函数中的应用1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.
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知识点一 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，
b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取
得.
知识点二 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 .
(2)将函数y＝f(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一
个是 ，最小的一个是 .
答案
端点 极值点
极值
端点处
最大值 最小值知识点三 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得.
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f
(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)
＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值
y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
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解析答案
题型一 求函数在闭区间上的最值
例1 求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －37 ↗ 极大值3 ↘ 极小值－5 ↗ 35
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.解析答案反思与感悟
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].
解 f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f′(x)在[－1,1]上为增函数.
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟
(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一步.但仅仅是求最值，可用下面
简化的方法求得.
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得.解析答案
跟踪训练1 求下列函数的最值：
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
即f(x)的最小值为0，最大值为π.
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.解析答案
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数.
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.解析答案
题型二 含参数的函数的最值问题
例2 已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
解 f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3).
令f′(x)＜0，得x＜－1或x＞3，
故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞).解析答案
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
解 因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
所以f(2)＞f(－2)，
所以f(x)在[－1,2]上单调递增，
所以f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5，
所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
于是有22＋a＝20，解得a＝－2.
所以f(－1)＝－2－5＝－7，
即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
反思与感悟
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
因为在(－1,3)上f′(x)＞0，反思与感悟
函数的最值与极值及单调性密切相关，因而在求解函数的最值的
问题时，一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函数与
极值的有力工具.解析答案
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，
最小值－29，求a，b的值.解析答案
解 由题意，知a≠0.
所以令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去).
若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x [－1,0) 0 (0,2]
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
由上表，知当x＝0时，f(x)取得最大值，
又因为f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
故f(－1)＞f(2)，所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
所以f(0)＝b＝3，
因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，若a＜0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x [－1,0) 0 (0,2]
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以f(0)＝b＝－29.
又因为f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
即－16a－29＝3，解得a＝－2.
故f(2)＞f(－1).解析答案
题型三 函数最值的应用
例3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).
(1)求f(x)的最小值h(t)；
解 ∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.解析答案
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
解 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
t (0,1) 1 (1,2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) 单调递增 1－m 单调递减
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
也就是g(t)
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