人教版高中数学选修4-5课件：3.1二维形式的柯西不等式 .ppt

第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式 【自主预习】 二维形式的柯西不等式 (ac+bd)2 【即时小测】 1.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 (  ) A.    B.2    C.    D.3 【解析】选C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2, 所以- ≤2x+y≤ . 即2x+y的最大值为 . 2.已知 =1,则以下成立的是(  ) A.a2+b2>1  B.a2+b2=1 C.a2+b2c,若 恒成立,则k的最大 值为_________. 【解析】设a= ,b= 由|a·b|≤|a||b|得2≤ 即 ,当且仅当a-b=b-c即a+c=2b时, 等号成立.故kmax=4. 答案:4 2.求函数y= 的最大值及最小值. 【解析】由原函数式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y, 设a=(2,3-y),b=(sinx,cosx), 由|a·b|≤|a||b|得|4-2y|≤ , 解得 ≤y≤3,当且仅当 时,等号成立. 故最大值及最小值分别为3与 . 自我纠错 求函数的最值 【典例】已知实数x,y满足 =1,求x2+2y2 的最小值. 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误, 以及忽视了等号成立的条件. 【解析】由柯西不等式得x2+2y2=(x2+2y2)×1 =(x2+2y2) 当且仅当x2= y2时等号成立, 即x2= +1,y2= +1时,x2+2y2有最小值为3+2 .