沪科版九年级数学上册第23章 解直角三角形 教学课件

23.1 锐角的三角函数 第 23 章 解直角三角形 1. 锐角的三角函数 第 1 课时 正切 1. 理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点） 2. 能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； ( 重点 ) 3. 了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题 . （难点） 学习目标 智者乐水，仁者乐山 图片欣赏 导入新课 思考： 衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 陡意味着倾斜程度大！ 想一想 : 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 铅直高度 水平宽度 梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为 倾斜角 从梯子的顶端 A 到墙角 C 的距离，称为梯子的 铅直高度 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的 水平宽度 A C B 讲授新课 正切的定义 一 相关概念 问题 1: 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 合作探究 1 A B C D E F 倾斜角越大 —— 梯子越陡 问题 2: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度 越小 ，梯子 越陡 当水平宽度一样，铅直高度 越大 ，梯子 越陡 甲 乙 问题 3: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的 比相等 时， 梯子 一样陡 3m 6m D E F C 2m B 4m A 问题 4: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的 比 越大 ，梯子 越陡 . 3m 2m 6m 5m A B C D E F 倾斜角 越大 ，梯子 越陡 . 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离 B 1 C 1 , 进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ A C 1 C 2 B 2 B 1 合作探究 2 两个直角三角形相似 (1)Rt△ AB 1 C 1 和 Rt△ AB 2 C 2 有什么关系 ? (3) 如果改变 B 2 在梯子上的位置 ( 如 B 3 C 3 ) 呢 ? 思考： 由此你得出什么结论 ? A B 1 C 2 C 1 B 2 C 3 B 3 想一想 相等 相似 三角形的对应边相等 在 Rt△ABC 中 , 如果锐角 A 确定，那么∠ A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠ A 的 正切 , 记作 tanA, 即 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ tanA= 归纳总结 结论： tanA 的值越大，梯子越陡 . 定义中的几点说明： 1. 初中阶段， 正切 是在 直角三角形 中定义的， ∠ A 是一个 锐角 . 2. tanA 是一个完整的符号，它表示∠A的正切 . 但∠BAC的正切表示为: t an∠BAC . ∠1的正切表示为: tan∠1 . 3. tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比 （ 注意顺序： ） . 4. tanA 不表示 “ tan” 乘以 “ A ” . 5. tanA 的大小只与 ∠ A 的大小有关，而与 直角三角形的边长 无关. A B C ┌ 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？可以大于 1 吗？ 对于锐角 A 的每一个确定的值， tan A 都有唯一的确定的值与它对应 . 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 议一议 例 1 ： 下图表示两个自动扶梯 , 哪一个自动扶梯比较陡 ? 解 : 甲梯中 , β 6m ┐ 乙 8m α 5m ┌ 甲 13m 乙梯中 , ∵tanβ ＞ tanα,∴ 乙梯更陡 . 提示 : 在生活中 , 常用一个锐角的 正切 表示梯子的 倾斜程度 . 典例精析 1. 在 Rt△ABC 中， ∠ C= 90 ° ， AC=7 ， BC=5 ，则 tan A=______ ， tan B =______ ． 练一练 互余两锐角的正切值互为倒数 . 2. 下图中∠ ACB =90° ， CD ⊥ AB , 垂足为 D .指出∠ A 和∠ B 的对边、邻边. A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 4. 如图 , 在 Rt△ ABC 中 , 锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍 ,tan A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 3. 已知∠ A ,∠ B 为锐角， (1) 若∠ A =∠ B , 则 tan A tan B ; (2) 若 tan A =tan B , 则∠ A ∠ B . = = 正切通常也用来描述山坡的坡度 . 坡度、坡角 二 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡 . 例如， 有一山坡在水平方向上每前进 100m 就升高 60m, 那么山坡的 坡度 i ( 即 tanα) 就是 : 坡角 ：坡面与水平面的夹角 α 称为 坡角 ； 坡度（坡比） ：坡面 的 铅直高度与水平宽度的比称 为 坡度 i ( 或坡比 ), 即 坡度等于坡角的正切 . 100m 60m ┌ α i 概念学习 例 2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(  ) 解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3， B 【方法总结】 理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． 例 2 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90 °， AC =4 ， BC =3 ，求 tan A 和 tan B . B C A 解 B C A (1) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5, AC=12,tanA=( ). (2) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ). (3) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5,tanA= , AC=( ). 1. 完成下列填空： 当堂练习 2. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， △ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA= （ ） A. B. C. D. D 这个图呢？ C A B C A B 3. 如图 ,P 是 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为 ，则 =__________. M 记得构造直角三角形哦！ O P (12,5) A x y 4. 如图 , 某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B . 已知山顶 B 到山脚下的垂直距离是 55m, 求山坡的坡度 ( 结果精确到 0.001m). A B C ┌ 解： 5. 在等腰△ ABC 中 , AB = AC =13, BC =10, 求 tan B . 提示 : 过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D . 求锐角三角函数时 , 勾股定理的运用是很重要的 . A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ， ∴在 Rt△ ABD 中， 易知 BD =5 ， AD =12. 6. 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C =90°, AB =15,tan A = , 求 AC 和 BC . 4 k ┌ A C B 15 3 k 7. 如图 , 正方形 ABCD 的边长为 4, 点 M 在 BC 上 ,M 、 N 两点关于对角线 AC 对称 , 若 DM=1 ，求 tan∠ADN 的值 . A D B N M C 解：由正方形的性质可知， ∠ ADN= ∠ DNC ， BC= DC= 4 ， ∵ M 、 N 两点关于对角线 AC 对称 , ∴ DM =1 BN = DM =1. 如图，在平面直角坐标系中， P(x,y) 是第一象限内直线 y=-x+6 上的点 , 点 A(5,0) ， O 是坐标原点，△ PAO 的面积为 S. （ 1 ）求 S 与 x 的函数关系式； （ 2 ）当 S=10 时 , 求 tan∠PAO 的值 . M 能力提升 解： (1) 过点 P 作 PM ⊥ OA 于点 M ， （ 2 ）当 S=10 时 , 求 tan∠ PAO 的值 . M 解： 又 ∵ 点 P 在直线 y=-x+6 上， ∴x=2. ∴AM=OA-OM=5-2=3. 课堂小结 正切 定义 坡度 ∠ A 越大， tanA 越大 , 梯子越陡 与梯子倾斜程度的关系 23.1 锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第 2 课时 正弦和余弦 1. 理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计 算；（重点、难点） 2. 在直角三角形中求正弦值、余弦值 . ( 重点 ) 学习目标 导入新课 回顾与思考 1. 分别求出图中∠ A ，∠ B 的正切值 . 2. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，当锐角 A 确定时，∠ A 的对边与邻边的比就随之确定 . 想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c 任意画 Rt△ ABC 和 Rt△ A'B'C' ， 使得∠ C ＝∠ C ' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A ' ＝ α ，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 讲授新课 正弦的定义 一 合作探究 在图中，由于∠ C ＝∠ C ' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A ' ＝ α ，所以 Rt△ ABC ∽Rt△ A ' B ' C ' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ A 的 对边 与 斜边 的比也是一个 固定值 ． A B C A' B' C' ∠ A 的对边与斜边的比叫做 ∠ A 的正弦 （ sine ），记作 sin A ， 即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠ A 的对边记作 a ∠ B 的对边记作 b ∠ C 的对边记作 c 概念学习 典例精析 例 1 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ B =90 °， AC =200 ， sin A= 0.6 ，求 BC 的长 . 解： 在 Rt △ ABC 中， 即 ∴ BC =200×0.6=120. A B C 变式： 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90 ° ,BC=20, 求 :△ABC 的周长和面积 . 解 : 在 Rt△ABC 中 , 20 ┐ A B C 余弦的定义 二 合作探究 任意画 Rt△ ABC 和 Rt△ A'B'C' ， 使得∠ C ＝∠ C ' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B ' C ' A B C A' B ' C ' 在图中，由于∠ C ＝∠ C ' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，所以 Rt△ ABC ∽Rt△ A ' B ' C ' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的 度数一定 时，不管三角形的大小如何，∠ A 的 邻边与斜边的比 也是一个 固定值 ． ∠ A 的邻边与斜边的比叫做 ∠ A 的余弦（ cosine ） ，记作 cos A ，即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠ A 的对边记作 a ∠ B 的对边记作 b ∠ C 的对边记作 c 概念学习 例 2 ： 如图 : 在等腰△ ABC 中 ,AB=AC=5,BC=6. 求 : sinB,cosB,tanB. 老师提示 : 过点 A 作 AD⊥BC 于 D. 5 5 6 A B C ┌ D 如图，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ A sinA 的值越大 , 梯子越 ____ ; cosA 的值越 ____ , 梯子越陡 . 陡 小 8 10 6 8 10 6 A 议一议 例 3 ： sin70° ， cos70° ， tan70° 的大小关系是 (   ) A ． tan70° ＜ cos70° ＜ sin70° B ． cos70° ＜ tan70° ＜ sin70° C ． sin70° ＜ cos70° ＜ tan70° D ． cos70° ＜ sin70° ＜ tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70° ＜ 1 ， cos70° ＜ 1 ， tan70° ＞ 1. 又 cos70° ＝ sin20° ，锐角的正弦值随着角的增大而增大， ∴sin70° ＞ sin20° ＝ cos70°. 故选 D. 【方法总结】 当角度在 0°t 乙 ． 答：乙先到达B处． 锐角三角函数 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单实际问题 课堂小结 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 三角关系 边角关系 仰俯角问题 方位角问题 坡度问题