湘教版九年级数学上册第一章 反比例函数 精品教学课件.ppt

1.1 反比例函数 第1章 反比例函数 湘教版九年级数学上册教学课件 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知 条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点) 学习目标 ？？ 导入新课 情境引入 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以 后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小 明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记 本数量y/本 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？ 你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 反比例函数的概念一 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有， 请写出它们的解析式. 合作探究 (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速 度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的 变化而变化； (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化. 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共 同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是常数．分式 分子 (k为常数，k ≠ 0) 的函数， 叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 一般地，形如 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范 围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例 函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确定的值与其对应. 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式 表示，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0) 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 练一练 是， 解：因为 是反比例函数 所以 4－k2=0， k－2≠0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根 据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的解析式. 1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须满足 . 2. 当m= 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠－1 ±1 练一练 确定反比例函数的解析式二 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 . 把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 解得 k =12. 因此 (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：把 x=4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一 般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系 数； ④写出反比例函数解析式. 练一练 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=3时，y=－4，所以有 解得 k =－12. 因此 (2) 把 y=6 代入 ，得 解得 x =－2. 例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa 是它的受力面积S m2的反比例函数，如图. （1）求p与S之间的函数表达式； （2）当S=0.5时，求p的值. 解：（1）设 （k≠0）， 因为函数图象过点（0.1,1000）, 代入上式，得 解得k=100. 所以p与S的函数表达式是 ； （2）当S=0.5时， p sO 0.1 1000 建立简单的反比例函数模型三 例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机 在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野 变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数 解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 当 v=100 时，f =40. 所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，所以 解得 k =4000. 因此 如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它 的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 练一练 解:因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以变量 y与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 当堂练习 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半 径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3； ③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的 半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的 速度为 x，放满一桶水的时间 y A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( )A 3. 填空 (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . (2) 若 是反比例函数，则m的取值范 围是 . (3) 若 是反比例函数，则m的取值范围 是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ －2 m = －1 4. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 所以有 ，解得 k =16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速 度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： (t>0)． (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125－40＝85 ( m/min )． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t＝25 时， ； 当 t＝8 时， . 能力提升： 6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1 ， 求：(1) y 关于 x 的关系式； 解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)， 则 . ∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1， －3=－k1+k2 ， ∴k1=1，k2=－2.∴ ∴ (2) 当 x = 时，y 的值. 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反 比 例 函 数 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第1课时 反比例函数     的图象与性质 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1.了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制 简单的反比例函数图象． 2.了解并学会应用反比例函数 图象的基 本性质．(重点、难点) 导入新课 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函 数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 复习引入 反比例函数的图象和性质一 例1 画反比例函数 与 的图象. 合作探究 提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0. 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 O－2 描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘 出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6－3－4 －1－5－6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得  的图象． 方法归纳         绘制反比例函数的图象与绘制一次函数 的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比 例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线 条自然，图象是延伸的，注意不要画成有明 确端点．曲线的发展趋势只能靠近 坐标轴,但不能和坐标轴相交． 观察这两个函数图象，回答问题：思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2) ， 你能得出同样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2 的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因 为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限 部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系. 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图 象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据 图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时， y1＜y2. 2．已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是________. 当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 3.在反比例函数  (k>0)的图象上有两点A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 ) 且x1>x2>0，则y1-y2的值为 ( ) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 B 4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m2－5=－1 ，m＞0， 解得 m=2. 5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，    解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 .    (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 性质：在每个象限内，y随x的增大 而减小 图象：分别位于第一、三象限 课堂小结 图象的画法（描点法）：列表、 描点、连线 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第2课时 反比例函数      的图象与性质 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1.了解反比例函数 的相关性质. (重点、难点） 2.理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系．  （重点、难点） 3.利用双曲线的性质解决简单的数学问题． 观察与思考 问题 下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这 些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢？可 以试着动手画一画． x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 反比例函数 图象与性质一 例1：画反比例函数 的图象. 解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为 列表 描点 连线 需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0． 解：列表如下 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 … 描点：以表中各组对应 值作为点的坐标，在直 角坐标系内描绘出相应 的点． 连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得  的图象． 1 2 3 4 5 6-1-3 -2-4-5-6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -6 -5 5 6 y x y = x4 O                                   图象的画法 与 图象的画法 类似，但在解题的时候要注 意图象所在的象限． 方法归纳 观察与思考 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图 象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象， 从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质 的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ y xO y xO y xO 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交； ●在每个象限内，y随x的增大而增大. 归纳： 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线， 它具有以下性质： k 的正负决定反比例函 数所在的象限和增减性 点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2 (填“>”“0还是k0 （2）如果点A（-3，y1），B（-2，y2）是该 函数上的两点，试比较y1、y2的大小. x y o 因为点A（-3，y1），B（-2，y2） 是该图像上的两点，且-3SC B. SA0 k2 >0 b0 合作探究 ① x y O x y O ② k2 2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时2 4 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热， 设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟 ．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次 函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热 一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这 时温度y与时间 x 成反比例 函数关系，已知第 12 分钟 时，材料温度是14℃． 针对训练 O y(℃) x(min)12 4 14 28 (1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出x的取值范围）； O y(℃) x(min)12 4 14 28 答案： y = 4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)， (x＞6). (2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解：当y =12时，y =4x+4，解得 x=2． 由 ，解得x =14. 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2=12 (分钟)． O y(℃) x(min)12 4 14 28 课堂小结 反 比 例 函 数 定义 图象 性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用