2020版八年级数学下册第1章直角三角形1-4角平分线的性质课件（湘教版）

1.4 角平分线的性质 【知识再现】 1.角的平分线：在角的内部，把角分成两个相等角的 _________叫作角的平分线.  2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边 _________，对应角_________.   射线   相等   相等  3.三角形全等的判定方法：(1)________； (2)________；(3)________；  (4)AAS；(5)HL.  SSS   SAS   ASA  【新知预习】阅读教材P22-24，归纳结论： 1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将 三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE 的大小关系，写出结论为__________.  PD=PE  PD PE 第一次 第二次 第三次 2.你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？ 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别是D，E，如图所示，求证：PD=PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=_________，  在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO(________)，  ∴PD=_______.   90°   AAS   PE  3.反过来，若P为∠AOB内的一点，且点P到边OA、OB的 距离相等，即PD=PE，你认为经过点P的射线OC平分 ∠AOB吗？为什么？ 解：平分；(提示：先利用HL证明三角形全等，然后利 用全等三角形的对应角相等即可证明) 4.通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质 是： 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平 分线上. 【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.(2019·盐城盐都区期末)如图，AO是∠BAC的平分 线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8 cm，则OM长 为 (   )C A.4 cm     B.5 cm C.8 cm D.20 cm 2.(2019·滨州期末)如图，AD平分∠BAC交BC于点D， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC=12，DF=2， AC=3，则AB的长是 (   )D A.2  B.4  C.7  D.9 3.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若 ∠POB=30°，则∠AOB=_______度.  60  知识点一 角平分线的性质定理(P22探究拓展) 【典例1】如图，已知在△ABC中，BD是角平分线， ∠C=90°，∠ABC=∠BAC，O是BD上一点，OM⊥BC于点M ，ON⊥AC于点N，且OM=ON，过点O作OP⊥AB于点P.世纪 金榜导学号 (1)求∠ABD的度数. (2)求证：AO平分∠BAC. (3)判断BM与AN之间的数量关系，并说明理由. 【自主解答】(1)∵在△ABC中，∠C=90°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， 又∵BD是角平分线，∴∠ABD的度数为22.5°. (2)∵OB平分∠CBA，OM⊥BC，OP⊥AB， ∴OM=OP， ∵OM=ON，∴ON=OP， 又∵ON⊥AC，OP⊥AB，∴AO平分∠BAC. (3)BM与AN之间的数量关系：BM=AN. 理由：∵AO平分∠BAC，∴∠OAP=22.5°， 又∵∠ABD的度数为22.5°， ∴∠OAP=∠OBP，∴AO=BO， 又∵OM=ON， ∴在Rt△BOM和Rt△AON中， ∴Rt△BOM≌Rt△AON(HL)，∴AN=BM. 【学霸提醒】 应用角平分线的性质的两点注意 1.应用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的 点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角 平分线上的点到角两边任意点距离相等. 2.由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等， 这是证线段相等的一个简便方法. 【题组训练】 1.(2019·临沂质检)如图，在直角坐标系中，AD是 Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点 D到AB的距离是______.  3  2.(2019·沁阳期末)如图，已知△ABC的周长是18， OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且 OD=2，则△ABC的面积是_______. 世纪金榜导学号  18  ★3.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D ，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请 猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由. 世纪金 榜导学号 解：AE=FG，AE∥FG.理由如下： ∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC=90°，FG⊥BC， AD⊥BC，∴FA=FG，∠AFC+∠ACF=90°， ∠FCD+∠CED=90°，∠ACF=∠FCD， ∴∠AFC=∠CED， ∵∠AEF=∠CED，∴∠AEF=∠AFC， ∴AE=AF，∴AE=FG， ∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG， ∴AE=FG，AE∥FG. 知识点二 角平分线的性质定理的逆定理 (P23例1、P24动脑筋拓展) 【典例2】如图，已知△ABC的∠ABC与∠ACB的外角平 分线交于点D，求证：D在∠BAC的平分线上. 【自主解答】略 【学霸提醒】 证明角平分线的“两种方法” 1.定义法：应用角平分线的定义. 2.定理法：应用“角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满 足两个条件：“垂直”和“相等”. 【题组训练】 1.如图，在△ABC中，∠B=42°， AD⊥BC于点D，点E是BD上一点， EF⊥AB于点F，若ED=EF，则∠AEC的度数为(   )                   A.60° B.62° C.64° D.66° D ★2.(2019·上海浦东新区期末)已知△ABC内一点P， 如果点P到AB，AC两边的距离相等，则点P (   ) A.在BC边的垂直平分线上 B.在BC边的高上 C.在BC边所对角的平分线上 D.在BC边的中线上 C ★3.(2019·宜昌伍家岗区期末)在正方形网格中， ∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应 是 (   ) A.M点   B.N点    C.P点   D.Q点 A ★★4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是 △ABD和△ACD的高. 世纪金榜导学号 求证：(1)∠DEF=∠DFE.(2)AD垂直平分EF. 证明：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC ，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE. (2)在Rt△AED和Rt△AFD中， ∴Rt△AED≌Rt△AFD， ∴AE=AF，∠EAD=∠FAD， ∴AD垂直平分EF. 【火眼金睛】 已知：如图所示，BF与CE相交于点D，BD=CD，BF⊥AC 于点F，CE⊥AB于点E.求证：点D在∠BAC的平分线上. 【正解】∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED=∠CFD， 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE=DF， ∴AD是∠BAC的平分线，即D在∠BAC的平分线上. 【一题多变】 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且 BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是多少？ 解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB， ∴DE=CD，∵BC=8，BD=5， ∴CD=BC-BD=3，∴DE=CD=3， 即点D到线段AB的距离是3. 【母题变式】 (2019·德惠期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AD平分∠CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长. 世纪金 榜导学号 解：如图，过D作DE⊥AB于点E， ∵∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5， ∴DE=CD=1.5， 在Rt△DEB中，由勾股定理得： BE= =2， ∵AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED， ∴Rt△ACD≌Rt△AED， ∴AC=AE， 设AC=AE=x，则AB=x+2， 由勾股定理得：AB2=AC2+CB2， 即(x+2)2=x2+42， 解得x=3， ∴AC=3.