人教版高中数学必修2 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系PPT课件

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 相交 平行 相交 （有一个公共点） 平行 （无公共点） a bo a b 复习与准备：平面内两条直线的位置关系       那空间中两直线还有没有 其他的位置关系呢？ 看一下生活中的例子： 立交桥中, 两条路线AB, CD A BC D 思考一  2.直线a,b平行吗？ 找不到一个平面使得 直线a,b在 同一共面内！ a b 1.直线a,b相交吗？ 不相交 不平行 3. 能否找到一个平面,   使得a,b两条直线都在 这个平面内？ 黑板两侧所在的直线与课桌边沿所 在直线是什么位置关系？ 既非平行 又非相交 空间中两条直线的位置关系 观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的 左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗? 平行吗?共面吗? •观察长方体的棱所在 直线,回答类似的问题. 思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎 样的名字才好呢？ •线段A′B所在直线与线段 CC′所在直线的位置关系 如何？ 不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 1.异面直线的定义: 定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面， 使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。 注1 例子：如图,在长方体中， 判断AB与HG是不是异面直线？ A B G F H E D C AB与HG不是异面直线。 任何 异面直线的画法异面直线的画法 α a b 图1 α β b a 图2 α a b 图3 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点， 常借助一个或两个平面来衬托. ①从有无公共点的角度： 有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点------------------相交直线相交直线 在同一平面内在同一平面内---------------- 相交直线相交直线 ②从是否共面的角度 没有公共点没有公共点------------------ 平行直线平行直线 异面直线异面直线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内------------------异面直线异面直线 平行直线平行直线 若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行 空间两条直线的位置关系 这样表示a、b异面正确吗？ α β b a 1.平面内的一条直线和平面外的一条 直线是异面直线。 答：错。 例1.判断题1 b a a与b是相交直线 a与b是平行直线a与b是异面直线 a bM 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 2.分别在两个平面内的两条直线一定异面。 a ba b 判断题2 注2 在不同平面内的两条直线不一定异面。 1．正方体ABCD－A1B1C1D1中， 与对角线AC1异面的棱有(  ) A．3条    B．4条 C．6条 D．8条 解析： 在正方体中与AC1异面的棱有BC、CD 、BB1、DD1、C1D1、A1D1共6条． 答案： C 2．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b(  ) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 答案： D A1 B1 C1 D1 A B CD A1 B1 C1 D1 A B CD 如图:AA1与CC1在同一平面吗? 直观上 理论上 BB1∥AA1,DD1∥AA1,BB1与DD1平行吗? ⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？ A B CD A1 B1 D1 C1M N 2、平行直线 公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示：设a，b，c为直线 a∥b c∥b a∥c a b c a，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c (空间、平面平行线的传递性) 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 分析： 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH＝FG E，F，G，H分别是各边中点 A B D E F G H C 连结BD,只需证： EH ∥BD且EH ＝ BD FG ∥BD且FG ＝ BD 例题示范 例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 A B D E F G H C ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 证明： 连结BD 在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四 边形EFGH是什么图形? E H F G A B C D 分析：在例题1的基础 上我们只需要证明平行 四边形的两条邻边相等。 菱形 变式一： 例2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分 别为AA1，CC1的中点． 求证：BF ED1.∥ A1 B1 C1 D1 A B CD F E 例4、如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分    别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。    求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ ＡＣ１ ３ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｐ Ｍ Ｎ 三角形重心是三角 形三边中线的交点, 重心到顶点的距离 与重心到对边中点 的距离之比为2：1 3. 等角定理 提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个 角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢 ? 观察思考：如图,∠ADC与∠A1D1C1 、∠ADC与 ∠A1B1C1的两边分别对应平行，这两组角的大小 关系如何？ A1 B1 C1D1 A B CD 3. 等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补。 3. 等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补。 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等. A B CD A1 B1 C1D1 M N 例5 [解题过程] 证明：(1) (2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1 ， ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补． 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1. 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,     AB =         , AD =          , AE = 2     (1)求BC 和EG 所成的角是多少度?     (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? (1)∵GF∥BC  ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o (2) ∵BF∥AE  ∴∠FBG（或其补角）为所求, Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o 例6 A B G F H E D C2 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段 所在的直线是异面直线的有 对。 D B AC E F H G 3 直线EF和直线HG 直线AB和直线HG 直线AB和直线CD 探探 究究 课堂小结： 这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、 相交、异面），平行公理和等角定理及其推论． 异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判 定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“ 作—证—算—答”  作业布置: P51 A组3、4（1）（2）（3）、5、6.