2020版九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.2圆的切线课件（湘教版）

2.5.2  圆的切线 【知识再现】 1.如果一条直线与圆相切,那么它们有______个公共 点;  2.已知☉O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,直线l 与☉O相切⇔________.   1   d=r  【新知预习】 1.切线的判定定理:经过半径的外端并且___________ _________的直线是圆的切线.  2.切线的性质定理:圆的切线___________过切点的半径.   垂直于这 条半径   垂直于  【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 如图,在☉O中,AB为直径,BC为弦,CD为 切线,连接OC.若∠BCD=50°,则∠AOC 的度数为 (   ) A.40° B.50° C.80° D.100° C 知识点一 切线的判定(P67例2拓展) 【典例1】如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点. 以AC为直径的☉O交AB于点E. (1)求证:DE是☉O的切线. (2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长. 【尝试解答】(1)如图所示,连接OE,CE. ∵AC是☉O的直径, ∴∠AEC=∠BEC=90°. …………直径所对的圆周角是90° ∵D是BC的中点, ∴ED= BC=DC. ∴∠1=∠2.∵OE=OC,∴∠3=∠4. …………………………………………等边对等角 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD. ∵∠ACD=90°,∴∠OED= 90° ,即OE⊥DE. 又∵E是☉O上一点, ∴DE是☉O的切线. ……………………切线的判定 (2)由(1)知∠BEC=90°. 在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B为公共角, ∴△BEC∽ △BCA .∴ …………………………相似三角形对应边成比例 即BC2=BE·BA.∵AE∶EB=1∶2,设AE=x, 则BE=2x,BA=3x. 又∵BC=6,∴62=2x·3x. ∴x=   ,即AE= . 【学霸提醒】 证明切线的常用方法 1.若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半 径,则可先作出过此点的半径,再证其与直线垂直; 2.若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心作该 直线的垂线,再证垂足到圆心的距离等于半径. 【题组训练】 1.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外 一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA,若 ∠P=40°,当∠B等于多少时,PA与 ☉O相切 (   ) A.20°   B.25°   C.30°   D.40° B ★★2.(2019·廊坊模拟)如图,AB是☉O的弦,OP⊥OA交 AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB. (1)求证:BC是☉O的切线; (2)若☉O的半径为 ,OP=1,求BC的长. 解: (1)连接OB.∵OP⊥OA, ∴∠A+∠OPA=90°,∵CP=CB, ∴∠CPB=∠CBP,又∵∠APO=∠CPB, ∴∠APO=∠CBP. ∵OA=OB,∴∠OAP=∠OBP, ∴∠OBA+∠PBC=90°,即∠OBC=90°, ∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线; (2)略 知识点二 切线的性质(P68例3拓展) 【典例2】(2019·宿州一模)已知AB是☉O的直径,弦CD 与AB相交,∠BCD=25°. (1)如图1,求∠ABD的大小. (2)如图2,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P, 若DP∥AC,求∠OCD的度数. 【自主解答】(1)∵AB是直径, ∴∠ACB=90°,且∠BCD=25°,∴∠ACD=65°, ∵∠ACD=∠ABD,∴∠ABD=65°. (2)连接OD, ∵DP是☉O的切线, ∴∠ODP=90°, ∵∠DOB=2∠DCB, ∴∠DOB=2×25°=50°,∴∠P=40°, ∵AC∥DP,∴∠P=∠OAC=40°, ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=40°, ∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=65°-40°=25°. 【学霸提醒】 切线的三条性质及辅助线的作法 1.三条性质: (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于圆的半径. (3)圆的切线垂直于过切点的半径. 2.辅助线的作法: 连切点、圆心,得垂直关系. 【题组训练】 1. (2019·张家港期中)如图,点P在 ☉O外,PA是☉O的切线,点C在☉O上, PC经过圆心O,与圆交于点B,若∠P= 46°,则∠ACP= (   ) A.46° B.22° C.27° D.54° B ★2.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过 点A作☉O的切线交BE延长线于点C. (1)若∠ADE=25°,求∠C的度数. (2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长. 略 知识点三 切线的判定与性质的综合应用 【典例3】如图,已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB 交☉O于点D,E为AC的中点,连接DE. (1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长. (2)求证:ED是☉O的切线. 【尝试解答】(1)连接CD,如图1. ∵BC是☉O的直径,∴∠BDC= 90° ,即CD⊥ AB ,  …………直径所对的圆周角为直角, ∵AD=DB,OC=5,∴CD是AB的垂直平分线,  ∴AC=BC=2OC=10; ……线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. (2)连接OD,如图2所示, ∵∠ADC=90°,E为AC的中点, ∴DE=EC= AC, ……………直角三 角形斜边的中线等于斜边的一半, ∴∠1= ∠2 , ………………………等边对等角  ∵OD=OC,∴∠3= ∠4 , ……………等边对等角  ∵AC切☉O于点C,∴AC⊥OC, …………切线的性质 ∴∠1+∠3=∠2+∠4= 90° , …………等量代换  即DE⊥OD, ∴ED是☉O的切线. ……………………切线的判定 【学霸提醒】 切线判定与性质综合应用   证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判 定定理转化成证明垂直的问题.即已知切线,根据切线 的性质有:见切点,连半径,证垂直;关于证明圆的切线 的判定,常常是作垂直证半径或是连半径证垂直. 提醒:若问题中同时出现切线的性质与判定时,要明确 区分,若题目中没有给出公共点时,不能人为地设出公 共点再连接. 【题组训练】 1.已知AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平 行于弦AD.求证:DC是☉O的切线. 略 ★2.如图,DE是☉O的直径,过点D作☉O的切线AD,C是AD 的中点,AE交☉O于点B,且四边形BCOE是平行四边形. (1)BC是☉O的切线吗?若是,给出证明;若不是,请说明 理由. (2)若☉O半径为1,求AD的长. 略 ★★3.(2019·雅安中考)如图,已知AB是☉O的直径 ,AC,BC是☉O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作☉O的切线 交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点 F. (1)求证:DC是☉O的切线. (2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段 CF的长. 略 【火眼金睛】 如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,☉P与OA相切 于D,求证:OB与☉P相切. 正解:连接PD,过点P作PF⊥OB于点F. ∵OA与☉P相切于点D,∴PD⊥OA, 又∵OC平分∠AOB,PF⊥OB, ∴PF=PD,∴OB与☉P相切. 【一题多变】 如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线上一 点,且BC=CD,CE⊥AD于点E. (1)求证:直线EC为圆O的切线. (2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知 ∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值. 略 【母题变式】 (变换条件)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分 线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作☉O,使☉O经 过点A和点D. (1)求证:直线BC是☉O的切线. (2)若AC=3,∠B=30°,求☉O的半径. 解: (1)连接OD,则OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD, ∴∠CAD=∠ODA, ∴OD∥AC,∵∠C=90°, ∴∠ODB=90°,∴直线BC是☉O的切线; (2)∵∠B=30°,∴∠BAC=60°, ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=30°, ∴AD= 过点O作OM⊥AD垂足为M, 则AM= OA= ∴☉O的半径为2.