4.3.2空间两点间的距离公式课件(人教A版必修2)

课程目标设置 主题探究导学 典型例题精析 【例1】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，D1D=3，点M是B1C1 的中点，点N是AB的中点，建立如图所示 的空间直角坐标系. （1）写出点D，N，M的坐标； （2）求线段MD，MN的长度； （3）设点P是线段DN上的动点， 求|MP|的最小值. 思路点拨：（1）问根据图形写出相关点的坐标，（2）问代入 公式即可，（3）问可设P点坐标，得到|MP|的表达式，然后用 函数知识解答. 【练一练】1.在△ABC中，若A（-1,2,3),B(2,-2,3), 则AB边上的中线CD的长是_________. 【例2】设点P在x轴上，它到点P1（0， ，3）的距离为到点 P2（0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标. 思路点拨：根据点的位置特点，设出其坐标，代入两点间距离 公式后解方程即可. 【练一练】1.已知空间两点A（-3，-1，1），B（-2,2,3)，在 z轴上有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标 是______. 2.若点A（2,1,4)与点P（x,y,z)的距离为5，则x,y,z满足的关 系式是___________. 【例3】利用解析法证明长方体的对角线相等且互相平分. 已知：长方体ABCD-A1B1C1D1. 求证：|A1C|=|AC1|=|B1D|=|BD1|，且A1C、AC1、B1D、BD1互相平 分. 思路点拨：利用两点间距离公式可证明长方体的对角线相等， 利用中点公式可证明各对角线的中点重合，即相互平分. 【练一练】1.如图所示，在河的一侧有一塔CD=5 m,河宽BC= 3 m,另一侧有点A，AB=4 m,则点A与塔顶D的距离AD=___. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为面A1B1C1D1的中心，则 AP与PB1的位置关系是______. 知能巩固提升 一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·济宁高一检测）已知点A（3,-1,0),B(-2,1,-1)， 则|AB|等于( ) (A) (B) (C) (D)5 【解析】选C.根据空间两点间距离公式得|AB|= 2.点P（x,y,z)满足 则点P在( ) (A)以点（1，1，-1）为球心， 为半径的球面上 (B)以点（1，1，-1）为中心， 为棱长的正方体内 (C)以点（1，1，-1）为球心，2为半径的球面上 (D)无法确定 【解析】选C.由于P满足到定点(1，1，-1)的距离为定值2，故 在空间中P在以点(1，1，-1)为球心，2为半径的球面上. 3.已知点A（1，a,-5)，B（2a,-7,-2)(a∈R),则|AB|的最小值 是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选B. 二、填空题（每题5分，共10分） 4.已知A（1,-1,3)，B（3,-2,2)，在x轴上有一点P到A、B两点 的距离相等，则P点坐标是_____. 【解析】设P（x,0,0),则有 答案：（ 0,0) 5.已知A（2,1,1)，B（1,1,2),C(x,0,1),且∠BAC=90°, 则x=________. 【解题提示】构造直角三角形利用勾股定理解题. 【解析】由题意知，|BC|2=|AC|2+|AB|2，即(x-1)2+1+ (1-2)2=(x-2)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(1-2)2，解得 x=2. 答案：2 三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.已知△ABC的三个顶点A（1，5，2），B（2，3，4）， C（3，1，5）. (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度. 【解析】(1)由空间两点间距离公式得： ∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为 (2)由中点坐标公式得AC的中点坐标为(2,3, ). ∴AC边上中线的长度为： 7.在平面xOy内的直线3x-y+6=0上确定点P（x,y,z)，使点P到 定点M(2x,2x+5,x+2)的距离最小. 【解析】由已知可设点P（x,3x+6,0),则 |PM| ∴当x=-1时，|PM|取最小值为 ∴在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，取点P（-1,3,0)时，点P到 点M的距离最小. 1.（5分）已知三点A（-1，0，1），B（2，4，3），C（5，8 ，5），则A、B、C三点（ ） (A)构成等腰三角形 (B)构成直角三角形 (C)构成等腰直角三角形 (D)不能构成三角形 【解析】选D.由已知得 2.（5分）已知空间直角坐标系Oxyz中，点A（1,1,1)，平面α 过点A并且与直线OA垂直，动点P（x,y,z)是平面α内的任意一 点，则点P的坐标满足的条件是_______. 【解析】在Rt△OAP中，∵|OP|2=|OA|2+|AP|2 ∴x2+y2+z2=3+(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2, ∴x2+y2+z2=x2-2x+y2-2y+z2-2z+6, ∴2x+2y+2z-6=0. 即x+y+z-3=0为点P的坐标满足的条件. 答案：x+y+z-3=0 3.（5分）对于任意实数x,y,z,则 的最小值为________. 【解析】设P(x,y,z),M(-1,2,1),则 =|PO|+|PM|(O是坐标原点）， 由于x、y、z是任意实数，即点P是空间任一点，则 |PO|+|PM|≥|OM|= 则所求的最小值为 答案： 4.（15分）直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC=2，CB=CC1=4，E、F、M、N分别是 A1B1、AB、C1B1、CB的中点.如图建 立空间直角坐标系. （1）在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为正三角形； （2）能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三 角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，说明理由. 【解析】（1）∵EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的 点与A，B两点的距离相等， 设点P坐标为（1，2，z），且A（2，0，0），B(0，4，0)， 由|PA|=|AB|得 ∴z2=15. ∵z∈［0,4］,∴z= 故平面ABB1A1内的点P（1，2， ）使得△ABP为正三角形. （2）设MN上的点Q坐标为(0,2,z),F(1,2,0), ∵△AQB为直角三角形, ∴|QF|= |AB|. 即 整理得 ∴z2=4. ∵z∈［0,4］,∴z=2. 故MN上的点Q（0,2,2)使得△AQB为直角三角形.